05挑戰(zhàn)壓軸題（解答題三）-2022年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（原卷版）

2022年中考數(shù)學(xué)沖刺挑戰(zhàn)壓軸題專題匯編（江西考卷）05挑戰(zhàn)壓軸題（解答題三）1．（2021·江西）課本再現(xiàn)（1）在證明“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，小明只撕下三角形紙片的一個(gè)角拼成圖1即可證明，其中與相等的角是______；類比遷移（2）如圖2，在四邊形中，與互余，小明發(fā)現(xiàn)四邊形中這對(duì)互余的角可類比（1）中思路進(jìn)行拼合：先作，再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，發(fā)現(xiàn)，，之間的數(shù)量關(guān)系是_________；方法運(yùn)用（3）如圖3，在四邊形中，連接，，點(diǎn)是兩邊垂直平分線的交點(diǎn)，連接，．①求證：；②連接，如圖4，已知，，，求的長(zhǎng)（用含，的式子表示）．2．（2020·江西）某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后，針對(duì)圖1中所示的“由直角三角形三邊向外側(cè)作多邊形，它們的面積，，之間的關(guān)系問(wèn)題”進(jìn)行了以下探究：類比探究（1）如圖2，在中，為斜邊，分別以為斜邊向外側(cè)作，，，若，則面積，，之間的關(guān)系式為；推廣驗(yàn)證（2）如圖3，在中，為斜邊，分別以為邊向外側(cè)作任意，，，滿足，，則（1）中所得關(guān)系式是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；拓展應(yīng)用如圖4，在五邊形中，，，，，點(diǎn)在上，，，求五邊形的面積．3．（2019·江西）【特例感知】（1）如圖1，對(duì)于拋物線，，，下列結(jié)論正確的序號(hào)是_______；①拋物線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)；②拋物線的對(duì)稱軸由拋物線的對(duì)稱軸依次向左平移個(gè)單位得到；③拋物線與直線的交點(diǎn)中，相鄰兩點(diǎn)之間的距離相等．【形成概念】（2）把滿足（為正整數(shù)）的拋物線稱為“系列平移拋物線”．【知識(shí)應(yīng)用】在（2）中，如圖2．①“系列平移拋物線”的頂點(diǎn)依次為，用含的代數(shù)式表示頂點(diǎn)的坐標(biāo)，并寫出該頂點(diǎn)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)之間的關(guān)系式；②“系列平移拋物線”存在“系列整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）”：，其橫坐標(biāo)分別為（為正整數(shù)），判斷相鄰兩點(diǎn)之間的距離是否都相等，若相等，直接寫出相鄰兩點(diǎn)之間的距離；若不相等，說(shuō)明理由．③在②中，直線分別交“系列平移拋物線”于點(diǎn)連接，判斷是否平行？并說(shuō)明理由．4．（2018·江西）小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：

求解體驗(yàn)

(1)已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),則=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0,1）成中心對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式是.

抽象感悟

我們定義：對(duì)于拋物線,以軸上的點(diǎn)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的拋物線,則我們又稱拋物線為拋物線的“衍生拋物線”，點(diǎn)為“衍生中心”.

(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求的取值范圍.

問(wèn)題解決

(3)已知拋物線

①若拋物線的衍生拋物線為,兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求的值及衍生中心的坐標(biāo)；

②若拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為,其頂點(diǎn)為；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…(為正整數(shù)).求的長(zhǎng)(用含的式子表示).5．（2017·江西）我們定義：如圖1，在△ABC看，把AB點(diǎn)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC'，連接B'C'．當(dāng)α+β=180°時(shí)，我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．特例感知：（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”．①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=BC；②如圖3，當(dāng)∠BAC=90°，BC=8時(shí)，則AD長(zhǎng)為．猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AD與BC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用（3）如圖4，在四邊形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四邊形內(nèi)部是否存在點(diǎn)P，使△PDC是△PAB的“旋補(bǔ)三角形”？若存在，給予證明，并求△PAB的“旋補(bǔ)中線”長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．1．（2022·江西·新余四中九年級(jí)期末）如圖，一組拋物線（n為不大于12的正整數(shù)）的頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為，以為邊長(zhǎng)向右作正方形．當(dāng)時(shí)，拋物線為的頂點(diǎn)為，此時(shí)的正方形為，依此類推．(1)當(dāng)時(shí)，求拋物線的的頂點(diǎn)為和的坐標(biāo)；(2)求的坐標(biāo)（用含n的代數(shù)式表示）；(3)①若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，求n的值；②若拋物線（n為不大于12的正整數(shù)）的其中一條拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，寫出所有滿足條件的正方形的邊長(zhǎng)．2．（2022·湖北湖北·九年級(jí)期末）問(wèn)題背景：如圖1，在中，，，是邊上的中線，E是上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，的延長(zhǎng)線交邊于點(diǎn)P．問(wèn)題探究：(1)探究，之和與之間的數(shù)量關(guān)系．①先將問(wèn)題特殊化，如圖2，當(dāng)時(shí)，直接寫出，之和與之間的數(shù)量關(guān)系；②再探究一般情形，如圖1，當(dāng)不垂直時(shí)，證明①中的結(jié)論仍然成立；(2)拓展探究：如圖3，若的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P時(shí)，直接寫出一個(gè)等式，表示，，之間的數(shù)量關(guān)系．3．（2022·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如果有一條直線經(jīng)過(guò)三角形的某個(gè)頂點(diǎn)，將三角形分成兩個(gè)三角形，其中一個(gè)三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點(diǎn)D，連接AD．(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；(2)如圖2，點(diǎn)P為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PA+PC的值最??？求此時(shí)PA+PC的長(zhǎng)度．(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點(diǎn)Q為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求∠QAC的正弦值．4．（2022·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線（）與x軸交于點(diǎn)B．與y軸交于點(diǎn)A，直線與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，軸交CD于點(diǎn)E．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接AE，于點(diǎn)F．，，AG交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)G，設(shè)BF的長(zhǎng)為t，點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為n，求n與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．5．（2022·貴州遵義·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4（a≠0，a、b為常數(shù)）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（6，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C的直線y＝﹣x+4與x軸交于點(diǎn)D．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)如圖1，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試探究點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少時(shí)，△CDP的面積最大，并求出最大面積；(3)如圖2，點(diǎn)M是二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥CD于點(diǎn)E，MF//x軸交直線CD于點(diǎn)F，是否存在點(diǎn)M，使得△MEF≌△COD，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．1．（2022·遼寧大連·九年級(jí)期末）閱讀下面材料．小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC外，∠ADC＝120°，連接BD．用等式表示線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．小明經(jīng)過(guò)思考，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法：如圖2，延長(zhǎng)CD至E，使ED＝AD，連接AE．證△ADE是等邊三角形，△ACE≌△ABD，問(wèn)題得到解決．(1)填空：線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系為；(2)用學(xué)過(guò)的知識(shí)或參考小明的方法解決下面的問(wèn)題：①如圖3，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，∠ADC＝135°，連接BD．用等式表示線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．②如圖4，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，∠DAB＝∠DBA＝15°，將線段BD繞著點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，得到線段B'D，連接B'D．直接寫出的值．2．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋6與x軸交于點(diǎn)B（﹣4，0），C（2，0），與y軸交于點(diǎn)A，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，連接AP，BP，AB，CP．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若P點(diǎn)在第二象限的拋物線上，當(dāng)△ABP的面積是時(shí)，求△BCP的面積；(3)點(diǎn)D是線段AC上的一點(diǎn)，過(guò)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段AB上，且D，F(xiàn)兩點(diǎn)關(guān)于y軸上的某點(diǎn)成中心對(duì)稱，連接DF和EF，線段EF的長(zhǎng)度是否有最小值，如果有請(qǐng)直接寫出這個(gè)最小值，若沒(méi)有最小值請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2022·陜西西安·九年級(jí)期末）有這樣一類特殊邊角特征的四邊形，它們有“一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)”，我們稱之為“等對(duì)補(bǔ)四邊形”．(1)如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝AB，AE⊥CD于點(diǎn)E，若AE＝4，則四邊形ABCD的面積等于．(2)等對(duì)補(bǔ)四邊形中，經(jīng)過(guò)兩條相等鄰邊的公共頂點(diǎn)的一條對(duì)角線，必平分四邊形的一個(gè)內(nèi)角，即如圖2，四邊形ABCD中，AD＝DC，∠A+∠C＝180°，連接BD，求證：BD平分∠ABC．(3)現(xiàn)準(zhǔn)備在某地著名風(fēng)景區(qū)開(kāi)發(fā)一片國(guó)家稀有動(dòng)物核心保護(hù)區(qū)，保護(hù)區(qū)的規(guī)劃圖如圖3所示，該地規(guī)劃部門要求：四邊形ABCD是一個(gè)“等對(duì)補(bǔ)四邊形”，滿足AD＝DC，AB+AD＝12，∠BAD＝120°，因地勢(shì)原因，要求3≤AD≤6，求該區(qū)域四邊形ABCD面積的最大值．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．(1)求該拋物線解析式；(2)如圖1，點(diǎn)M為拋物線上第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，BM交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)BM將四邊形ABCM的面積分為1：2兩部分時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上D點(diǎn)下方一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線y＝x第一象限上的動(dòng)點(diǎn)，且DP＝OQ，求BP+BQ的最小值并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．5．（2022·四川省成都市石室聯(lián)合中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，