專題24圓的有關(guān)位置關(guān)系（共30道）（教師版）（02期）-2023年中考數(shù)學(xué)真題分類訓(xùn)練

專題24圓的有關(guān)位置關(guān)系(30道)一、單選題1．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題)如圖，為的直徑，點(diǎn)在的延長線上，，與相切，切點(diǎn)分別為C，D．若，則等于(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、、，交于，如圖，利用切線的性質(zhì)和切線長定理得到，，平分，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，則，根據(jù)圓周角定理得到，所以，然后求出即可．【詳解】解：連接、、，交于，如圖，，與相切，切點(diǎn)分別為，，，，平分，，，，，，∵∴∵∴在中，，，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理和解直角三角形．2．(2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題)如圖，的直徑，是弦，，，，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是(

)①；②是的切線；③B，E兩點(diǎn)間的距離是；④．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】連接、、，過點(diǎn)作交延長線于，于．①根據(jù)已知、垂徑定理和圓內(nèi)接四邊形證，，即可得到；②根據(jù)已知、垂徑定理、中垂線定理證，推出，不垂直，即可判斷不是的切線；③證，結(jié)合、，計(jì)算出、、，最后根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；④先計(jì)算出，推理出，設(shè)，用含的代數(shù)式表示和，代入求解即可．【詳解】如圖，連接、、，過點(diǎn)作交延長線于，于

的直徑，，，，，，是弦，，，(垂直于弦的直徑平分弦所對的弧)，，即，，，，(圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角)，，故結(jié)論①正確，，又(同弧所對圓周角是圓心角的一半)，，，，于，，，，，，故結(jié)論③正確，，，，平分(垂直于弦的直徑平分弦)，是的中垂線，，，，，，即，是弦，是銳角，是鈍角，是鈍角，，不垂直，不是的切線，故結(jié)論②不正確，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，解得：，，故結(jié)論④不正確綜上，①和③這2個(gè)結(jié)論正確，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)綜合，結(jié)合判斷切線、勾股定理、三角函數(shù)解直角三角形知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握、綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)推理證明和計(jì)算是解題的關(guān)鍵．二、解答題3．(2023·北京·統(tǒng)考中考真題)如圖，圓內(nèi)接四邊形的對角線，交于點(diǎn)，平分，．

(1)求證平分，并求的大??；(2)過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長．【答案】(1)見解析，(2)【分析】(1)根據(jù)已知得出，則，即可證明平分，進(jìn)而根據(jù)平分，得出，推出，得出是直徑，進(jìn)而可得；(2)根據(jù)(1)的結(jié)論結(jié)合已知條件得出，，是等邊三角形，進(jìn)而得出，由是直徑，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)求得的長，進(jìn)而即可求解．【詳解】(1)解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直徑，∴；(2)解：∵，，∴，則．∵，∴．∵，∴，∴是等邊三角形，則．∵平分，∴．∵是直徑，∴，則．∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，則，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直徑，∴此圓半徑的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了弧與圓周角的關(guān)系，等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．(2023·山東日照·統(tǒng)考中考真題)在探究“四點(diǎn)共圓的條件”的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小霞小組通過探究得出：在平面內(nèi)，一組對角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．請應(yīng)用此結(jié)論．解決以下問題：如圖1，中，()．點(diǎn)D是邊上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與B，C重合)，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到線段，連接．

(1)求證：A，E，B，D四點(diǎn)共圓；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；(3)已知，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，此時(shí)是四邊形的外接圓，直接寫出圓心P與點(diǎn)M距離的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證明，進(jìn)而證明，可以得到，由，可得，即可證明A、B、D、E四點(diǎn)共圓；(2)如圖所示，連接，根據(jù)等邊對等角得到，由圓周角定理得到，再由，得到，利用三角形內(nèi)角和定理證明，即，由此即可證明是的切線；(3)如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，先求出，再由三線合一定理得到，，解直角三角形求出，則，再解得到，則；由是四邊形的外接圓，可得點(diǎn)P一定在的垂直平分線上，故當(dāng)時(shí)，有最小值，據(jù)此求解即可．【詳解】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，即，又∵，∴，∴，∵，∴，∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓；(2)證明：如圖所示，連接，∵，∴，∵是四邊形的外接圓，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵是的半徑，∴是的切線；

(3)解：如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，∵，∴，∵點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，在中，，∴，∵是四邊形的外接圓，∴點(diǎn)P一定在的垂直平分線上，∴點(diǎn)P在直線上，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，∵，∴在中，，∴圓心P與點(diǎn)M距離的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對等角，解直角三角形，圓周角定理，切線的判定，三角形外接圓的性質(zhì)，垂線段最短等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．(2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題)如圖，是的直徑，與相交于點(diǎn)．過點(diǎn)的圓O的切線，交的延長線于點(diǎn)，．

(1)求的度數(shù)；(2)若，求的半徑．【答案】(1)(2)【分析】(1)連接，根據(jù)為的切線，則，由，則，根據(jù)圓周角定理可得，又，根據(jù)等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解；(2)證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】(1)如圖，連接．

為的切線，．，．，．，．(2)如圖，連接，，，．，，且，，，即，，，即半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)．正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．6．(2023·山東·統(tǒng)考中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，與軸相切于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，．連接，．

(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)如圖，連接，，過點(diǎn)P作，垂足為D，由垂徑定理得，由，得，，由切線性質(zhì)，得，，進(jìn)一步可證四邊形是矩形，得，中，，于是的坐標(biāo)；(2)如圖，由等腰三角三線合一，得，由圓周角定理，而，從而，中，，于是．【詳解】(1)如圖，連接，，過點(diǎn)P作，垂足為D，則∵點(diǎn)，∴，

∵與軸相切于點(diǎn)∴，∵∴四邊形是矩形∴∴中，∴點(diǎn)的坐標(biāo)(2)如圖，，∴而∴中，∴【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，添加輔助線構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．(2023·山東·統(tǒng)考中考真題)已知：射線平分為上一點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，若，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；(2)如圖2，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．求證：．【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析(2)見解析【分析】(1)過點(diǎn)A作于F，于G，先由角平分線性質(zhì)得，再證明，得，證明，得，從而得出，再根據(jù)平行線性質(zhì)與角平分線定義證明，得，從而得，即可得出結(jié)論；(2)連接，過點(diǎn)A作于H，作于G，證明，得，證明，得，證明，得，從而得，根據(jù)平行線等分線段定理即可得出結(jié)論．【詳解】(1)解：四邊形是菱形，理由如下：過點(diǎn)A作于F，于G，如圖1，

∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∵平分，∴∵∴∴∴∴，∴四邊形是菱形．(2)證明：連接，過點(diǎn)A作于H，作于G，如圖2，

∵平分，，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，，∵，，∴，∴，

∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，

∵，，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)，菱形的判定，全等三解形的判定與性質(zhì)，垂直定理，平行線等分線段定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．8．(2023·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題)如圖，線段與相切于點(diǎn)B，交于點(diǎn)M，其延長線交于點(diǎn)C，連接，，D為上一點(diǎn)且的中點(diǎn)為M，連接，．

(1)求的度數(shù)；(2)四邊形是否是菱形？如果是，請證明：如果不是，請說明理由；(3)若，求的長．【答案】(1)(2)是菱形，證明見解析(3)的長為【分析】(1)如圖，連接，證明，而，可得，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得答案；(2)先證明，即，而，求解，可得，證明，可得，再證明，可得，從而可得結(jié)論；(3)如圖，連接，，交于，證明為等邊三角形，可得，證明，，求解，再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】(1)解：如圖，連接，

∵線段與相切于點(diǎn)B，∴，而，∴，∵，∴；(2)四邊形是菱形，理由如下：∵的中點(diǎn)為M，，∴，即，而，∴，∴，∵的中點(diǎn)為M，為直徑，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形．(3)如圖，連接，，交于，

∵，，∴為等邊三角形，∴，∴，∵菱形，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，，∴的長為．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與系數(shù)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，弧，弦，圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理的應(yīng)用，切線的性質(zhì)，弧長的計(jì)算，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．9．(2023·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題)如圖，已知AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，與AC平行的圓O的一條切線交CD的延長線于點(diǎn)M，交AB的延長線于點(diǎn)E，切點(diǎn)為F，連接AF交CD于點(diǎn)N．(1)求證：CA=CN；(2)連接DF，若cos∠DFA=，AN=2，求圓O的直徑的長度．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】(1)連接OF，根據(jù)切線的性質(zhì)結(jié)合四邊形內(nèi)角和為360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角結(jié)合平行線的性質(zhì)即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通過互余利用角的計(jì)算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可證出CA=CN；(2)連接OC，由圓周角定理結(jié)合cos∠DFA=，AN=，即可求出CH、AH的長度，設(shè)圓的半徑為r，則OH=r﹣6，根據(jù)勾股定理即可得出關(guān)于r的一元一次方程，解之即可得出r，再乘以2即可求出圓O直徑的長度．【詳解】解：(1)連接OF，則∠OAF=∠OFA，如圖所示．∵M(jìn)E與⊙O相切，∴OF⊥ME．∵CD⊥AB，∴∠M+∠FOH=180°．∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，∴∠M=2∠OAF．∵M(jìn)E∥AC，∴∠M=∠C=2∠OAF．∵CD⊥AB，∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，∴∠ANC=90°﹣∠OAF，∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF，∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC，∴CA=CN．(2)連接OC，如圖2所示．∵cos∠DFA=，∠DFA=∠ACH，∴=．設(shè)CH=4a，則AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．設(shè)圓的半徑為r，則OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+(r﹣6)2，解得：r=，∴圓O的直徑的長度為2r=．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)；勾股定理；圓周角定理；解直角三角形．10．(2023·陜西·統(tǒng)考中考真題)如圖，內(nèi)接于，，過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，并與的延長線交于點(diǎn)，作，垂足為，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若的半徑，，求線段的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)如圖，連接，根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到結(jié)論；(2)如圖，根據(jù)圓周角定理得到為的直徑，求得．根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】(1)證明：如圖，連接，則，，，．；(2)如圖，，為的直徑，．，，，，又，．，，，連接，則，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．11．(2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題)如圖，點(diǎn)D，E在以為直徑的上，的平分線交于點(diǎn)B，連接，，，過點(diǎn)E作，垂足為H，交于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)先證明，再利用兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求證；(2)先利用勾股定理求出，再利用和正弦值即可求出．【詳解】(1)連接，∵，∴，∵是直徑，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；

(2)如圖，連接，∵的平分線交于點(diǎn)B，∴，∴，∴，∵是直徑，∴，∵，∴，，∴．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正弦函數(shù)、圓周角定理的推論和勾股定理等知識(shí)，學(xué)生應(yīng)理解與掌握正弦的定義、兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似和相似三角形的對應(yīng)邊成比例、圓周角定理的推論，即同弧或等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．12．(2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題)如圖，為的直徑，點(diǎn)C在上，與相切于點(diǎn)A，與延長線交于點(diǎn)B，過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)D．

(1)求證：；(2)點(diǎn)F為上一點(diǎn)，連接，，與交于點(diǎn)G．若，，，求的半徑及的長．【答案】(1)見解析(2)的半徑為；【分析】(1)根據(jù)與相切于點(diǎn)A得到，再根據(jù)得到，再根據(jù)得到即可根據(jù)角的關(guān)系解答；(2)連接，過點(diǎn)D作，交延長線于點(diǎn)M，在等多個(gè)直角三角形中運(yùn)用三角函數(shù)的定義求出半徑，再根據(jù)勾股定理求出，即可解答．【詳解】(1)證明：如圖，

∵為的直徑，與相切于點(diǎn)A，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．(2)連接，過點(diǎn)D作，交延長線于點(diǎn)M，如圖，

在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)的半徑為r，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴設(shè)，，在中，，∵，，∴，解得，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓與三角形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓、三角形的線段、角度關(guān)系并運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合思想．13．(2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題)如圖，，為的直徑，為上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切線與的延長線交于點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，弦，相交于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)；(2)若，求直徑的長．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余，得出，再根據(jù)等邊對等角，得出，再根據(jù)等量代換，得出，再根據(jù)，得出，即，得出，進(jìn)而計(jì)算即可得出答案；(2)連接，根據(jù)圓周角定理，得出，再根據(jù)中點(diǎn)的定義，得出，再根據(jù)同弧或同弦所對的圓周角相等，得出，再根據(jù)正切的定義，得出，再根據(jù)角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出，進(jìn)而即可得出答案．【詳解】(1)解：∵與相切于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴；(2)解：如圖，連接，

∵是直徑，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，在中，∵，，∴，在中，∵，∴，∴的直徑的長為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余、等邊對等角、圓周角定理及其推論、銳角三角函數(shù)、含角的直角三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．14．(2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題)如圖，正方形內(nèi)接于，在上取一點(diǎn)E，連接，．過點(diǎn)A作，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，連接，．

(1)求證：；(2)若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)如圖，連接，證明，再證明，，可得，結(jié)合，從而可得結(jié)論；(2)如圖，連接，，過作于，設(shè)，在上取Q，使，證明，，，可得，，求解，而，可得，，，可得，再求解x，利用進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】(1)解：如圖，連接，∵，則，

∴，∵正方形，∴，，∴，∴，∵，∴．(2)如圖，連接，，過作于，設(shè)，在上取Q，使，

∵O為正方形中心，∴，，而，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，而，∴，∴，∴，，而正方形的邊長，∴，解得：，∴，∵，，，∴，∴，而，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓，圓周角定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，含的直角三角形的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．15．(2023·浙江·統(tǒng)考中考真題)小賀在復(fù)習(xí)浙教版教材九上第81頁第5題后，進(jìn)行變式、探究與思考：如圖1，的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，且，．

(1)復(fù)習(xí)回顧：求的長．(2)探究拓展：如圖2，連接，點(diǎn)G是上一動(dòng)點(diǎn)，連接，延長交的延長線于點(diǎn)F．①當(dāng)點(diǎn)G是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；②設(shè)，，請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并說明理由；③如圖3，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請計(jì)算的長．【答案】(1)(2)①見解析；②；③的長為或【分析】(1)先求得的直徑為10，再利用垂徑定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；(2)①連接，由點(diǎn)G是的中點(diǎn)，推出，根據(jù)等角的余角相等即可證明結(jié)論成立；②利用勾股定理求得，利用垂徑定理得到，推出，證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解；③分兩種情況討論，當(dāng)和時(shí)，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】(1)解：連接，

∵的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，且，，∴，，∴，，在中，，∴；(2)解：①連接，

∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，∴，∴，∵的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，∴，∴，∴；②∵，，，∴，

∵的直徑垂直弦AB于點(diǎn)E，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴；③當(dāng)時(shí)，

在中，，∴，∵，∴，∴，即，∴；當(dāng)時(shí)，

在中，，在中，，∴，同理，∴，即，∴；綜上，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．16．(2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題)(1)如圖，是的直徑，與交于點(diǎn)F，弦平分，點(diǎn)E在上，連接、，________．求證：________．

從①與相切；②中選擇一個(gè)作為已知條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，將題目補(bǔ)充完整(填寫序號(hào))，并完成證明過程．(2)在(1)的前提下，若，，求陰影部分的面積．【答案】(1)②①，證明見解析(或①②，證明見解析)(2)【分析】(1)一：已知條件為②，結(jié)論為①與相切；連接，先證出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；二：已知條件為①與相切，結(jié)論為②；連接，先證出，再根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得證；(2)連接，先解直角三角形求出的長，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得的長，從而可得的長，然后根據(jù)圓周角定理可得，最后根據(jù)陰影部分的面積等于直角梯形的面積減去扇形的面積即可得．【詳解】解：(1)一：已知條件為②，結(jié)論為①與相切，證明如下：如圖，連接，

，，弦平分，，，，，，又是的半徑，與相切；二：已知條件為①與相切，結(jié)論為②，證明如下：如圖，連接，

，，弦平分，，，，與相切，，；(2)如圖，連接，

，，，，，又，，是等邊三角形，，，由圓周角定理得：，則陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形、扇形的面積、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握圓的切線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．(2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題)如圖，內(nèi)接于，是的直徑，平分交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，交的延長線于點(diǎn)F．

(1)求證：與相切；(2)若，，過點(diǎn)E作于點(diǎn)M，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)N，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)連接，由是的直徑可得，進(jìn)而可得，再根據(jù)圓周角定理可得，進(jìn)而可證，，即可證明與相切；(2)連接，，先證是等邊三角形，推出，再根據(jù)圓周角定理證明，進(jìn)而可得，再根據(jù)弧長公式即可求解．【詳解】(1)證明：如圖，連接，

是的直徑，，平分交于點(diǎn)E，，，，，，是的半徑，與相切；(2)解：如圖，連接，，

，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，是的直徑，，．即的長為．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，圓周角定理，弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)等，熟練應(yīng)用圓周角定理是解題的關(guān)鍵．18．(2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題)已知：A、B為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，為所對的圓周角．

知識(shí)回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側(cè)，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應(yīng)用(3)如圖③，在(2)的條件下，若，點(diǎn)C在位于直線上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)D在上，滿足的所有點(diǎn)D中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請證明．【答案】(1)①；②(2)見解析(3)見解析【分析】(1)①根據(jù)，結(jié)合圓周角定理求的度數(shù)；②構(gòu)造直角三角形；(2)只要說明點(diǎn)到圓上、和另一點(diǎn)的距離相等即可；(3)根據(jù)，構(gòu)造一條線段等于，利用三角形全等來說明此線段和相等．【詳解】(1)解：①，，，．②連接，過作，垂足為，

，，是等腰直角三角形，且，，，是等腰直角三角形，，在直角三角形中，，．(2)證明：延長交圓于點(diǎn)，則，

，，，，，，，為該圓的圓心．(3)證明：過作的垂線交的延長線于點(diǎn)，連接，延長交圓于點(diǎn)，連接，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是直徑，，，，，，，，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，還考查了勾股定理和三角形全等的知識(shí)，對于(3)構(gòu)造一條線段等于是關(guān)鍵．19．(2023·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題)如圖1，點(diǎn)為等邊的重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使得，連接，，，

(1)求證：四邊形為菱形．(2)如圖2，以點(diǎn)為圓心，為半徑作①判斷直線與的位置關(guān)系，并予以證明．②點(diǎn)為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)、點(diǎn)不重合)，連接并延長交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，求證：為定值．【答案】(1)見解析(2)①直線是的切線；②見解析【分析】(1)如圖1，延長交于點(diǎn)，連接，由是等邊三角形，是重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，得?，，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，于是即可得四邊形為菱形；(2)①延長交于點(diǎn)，連接，先證為的角平分線，進(jìn)而求得，又由菱形的性質(zhì)得，從而有，于是根據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論；②在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接、，由①得，進(jìn)而求得，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得，從而根據(jù)角的和差關(guān)系求得，于是證明得，即可證明結(jié)論成立．【詳解】(1)證明：如圖，延長交于點(diǎn)，連接，

∵是等邊三角形，是重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴中線過點(diǎn)，即、、三點(diǎn)共線，，，∴?，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵?，∴四邊形為菱形；(2)①解：直線是的切線，理由如下：延長交于點(diǎn)，連接，

∵是等邊三角形，是重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴中線過點(diǎn)，即、、三點(diǎn)共線，，，，∴為的角平分線，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴直線是的切線；②證明：在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接、，

由①得，∵，∴，∴，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴∴∵∴，即為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，切線的判定以及菱形的判定，熟練掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，重心的性質(zhì)以及切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．20．(2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考中考真題)如圖，是的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)，重合)，連接、，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)，且．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，，則的長為______．【答案】(1)證明見解析(2)8【分析】(1)利用圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)定理，對頂角相等，三角形的內(nèi)角和定理和圓的切線的判定定理解答即可得出結(jié)論；(2)利用直角三角形的邊角關(guān)系定理得到設(shè),則,利用x的代數(shù)式表示出線段，再利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論.【詳解】(1)證明：是的直徑，，，，，，，，，，，即．為的直徑，是的切線；(2)解：，，，設(shè)，則，，，，，是的直徑，，，，解得：不合題意，舍去或．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，圓的切線的判定定理，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵.21．(2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題)如圖，是的直徑，點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，若平分，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，求的值．【答案】(1)證明，見解析(2)證明，見解析(3)【分析】(1)連接，根據(jù)平分，則，根據(jù)，得，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，即可；(2)由(1)得，，根據(jù)，，相似三角形的判定和性質(zhì)，即可；(3)根據(jù)，則，設(shè)的半徑為，則，根據(jù)勾股定理求出；根據(jù)，，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)，在根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，即可．【詳解】(1)連接∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴是的切線．

(2)證明，如下：由(1)得，，∵，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．(3)∵，∴，設(shè)的半徑為，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓，相似三角形，銳角三角形函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵圓的切線定理的運(yùn)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的運(yùn)用．22．(2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題)如圖，已知是的直徑，直線是的切線，切點(diǎn)為，，垂足為．連接．

(1)求證：平分；(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為【分析】(1)連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出即可；(2)連接，過點(diǎn)O作于F，證明，根據(jù)正切的定義列式求出，再根據(jù)勾股定理求出即可．【詳解】(1)證明：連接，

∵直線是的切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即平分；(2)解：連接，過點(diǎn)O作于F，則，

∵，，∴，∴，∴，∴，∴，即的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，垂徑定理，解直角三角形以及勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用各性質(zhì)進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．23．(2023·四川德陽·統(tǒng)考中考真題)如圖，已知是的直徑，點(diǎn)，在上，的延長線與的延長線相交于點(diǎn)，且，．

(1)求證：是的平分線；(2)求的度數(shù)；(3)求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得到，進(jìn)而可證明結(jié)論．(2)連接，設(shè)，利用三角形的外角、圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)、等腰三角形的性質(zhì)將的各角分別用含的代數(shù)式表示出來，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得的值，進(jìn)而可求得答案．(3)設(shè)的半徑為，，可證得，根據(jù)，可得，用含有和的代數(shù)式表示出該等式，求解即可得到和的關(guān)系，進(jìn)而可求得答案．【詳解】(1)∵，∴．∵，∴．∴．∴是的平分線．(2)如圖所示，連接．

設(shè)．根據(jù)(1)證明可知，．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．(3)設(shè)的半徑為，，則．∵，∴．又，∴．∵，∴．∴．即．變形，得．解得．．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)、根據(jù)幾何圖形列一元二次方程，能采用數(shù)形結(jié)合的方法分析問題是解題的關(guān)鍵．24．(2023·四川雅安·統(tǒng)考中考真題)如圖，在中，，以為直徑的與交于點(diǎn)D，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長；(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】(1)連接，由圓周角定理得到，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)證得，由等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)，得到，由切線的判定即可證得與相切；(2)由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)求出，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出；，(3)設(shè)的邊高為，由可得，即可得出當(dāng)取最大值時(shí)，取最大值，根據(jù)進(jìn)而求解即可．【詳解】(1)證明：連接，如圖所示，

∵為的直徑，∴，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵是的半徑，∴與相切；(2)解：由(1)知，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，，又∵在中，，即：，∴(負(fù)值以舍去)，∴；(3)設(shè)的邊高為，

由(2)可知，又∵是直徑，∴，∴，∴，∴當(dāng)取最大值時(shí)，也取最大值，又∵，∴當(dāng)取最大值時(shí)，取最大值，此時(shí)邊高為取最大值為半徑，∴，∴∴，∴，綜上所述：的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的判定以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：(1)熟練掌握切線的判定方法；(2)通過解直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證得．(3)將的最大值轉(zhuǎn)化為的面積最大值．25．(2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題)如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，與相切于點(diǎn)D．(1)求證：是的切線；(2)延長交于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)F，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】(1)連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)P，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，推出，即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，的長，勾股定理求出，連接，過O作于點(diǎn)H，利用面積法求出，勾股定理求出，即可根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的長．【詳解】(1)證明：連接，過點(diǎn)O作于點(diǎn)P，∵與相切于點(diǎn)D．∴，∵是等腰直角三角形，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴，即是的半徑，∴是的切線；(2)解：∵，，，∴，，∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∵∴，在中，連接，過O作于點(diǎn)H，∴，∴∵，∴．

【點(diǎn)睛】此題考查了判定直線是圓的切線，切線的性質(zhì)定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．26．(2023·湖南·統(tǒng)考中考真題)如圖，點(diǎn)A，B，C在上運(yùn)動(dòng)，滿足，延長至點(diǎn)D，使得，點(diǎn)E是弦上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)，過點(diǎn)E作弦的垂線，交于點(diǎn)F，交的延長線于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M(點(diǎn)M在劣弧上)．

(1)是的切線嗎？請作出你的判斷并給出證明；(2)記的面積分別為，若，求的值；(3)若的半徑為1，設(shè)，，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】(1)是的切線，證明見解析(2)(3)【分析】(1)依據(jù)題意，由勾股定理，首先求出，從而，然后根據(jù)，可以得解；(2)由題意，據(jù)得，再由，進(jìn)而進(jìn)行變形利用方程的思想可以得解；(3)依據(jù)題意，連接，分別在中，找出邊之間的關(guān)系，進(jìn)而由，可以得解．【詳解】(1)解：是的切線．證明：如圖，在中，，∴．又點(diǎn)A，B，C在上，∴是的直徑．∵，∴．又，∴．∴．∴是的切線．(2)由題意得，．∵，∴．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．又，∴．∴．∴．由題意，設(shè)，∴．∴．∴．∵，∴．∴．(3)設(shè)，∵，∴．如圖，連接．

∴在中，．∴，．∴在中，，．在中，．(∵，∴)．在中，，．∴．即．∵，∴最大值為F與O重合時(shí)，即為1．∴．綜上，