2024年全國中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競賽浙江賽區(qū)初賽試題

2024年全國中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競賽浙江賽區(qū)初賽試題本卷共15道題目，12道填空題，3道解答題，所有答案填寫在答題紙上，滿分150分一、填空題（每小題8分，共計96分）1.設(shè)集合，集合．若，則實數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】先求出集合A，再根據(jù)集合的子集關(guān)系和二次函數(shù)性質(zhì)求出參數(shù)范圍【詳解】因為，要使,則,則,所以.故答案為：.2.設(shè)函數(shù)滿足，則這樣的函數(shù)有______個．【答案】10【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，對得三種情況進行討論.【詳解】令，則．對以下三種情況都滿足條件；；，共3種．同理對，有3種情況；，也有3種情況．又，，顯然滿足條件．所以滿足已知條件的函數(shù)共有個．故答案為：103.函數(shù)的最大值與最小值之積為______．【答案】##0.75【解析】【分析】利用換元法可得，求得，即可求解最值求解.【詳解】解令，，當(dāng)時，原式變形，由于或，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故或故或，．當(dāng)時，．綜上可得，所以的最大、最小值分別為，其積為．故答案為：4.已知數(shù)列滿足：，，，則通項______．【答案】【解析】【分析】將給定的遞推公式作等價變形，再構(gòu)造常數(shù)列求出通項即可.【詳解】由，，得，兩邊平方得，則，即有，因此數(shù)列常數(shù)列，，所以.故答案為：5.已知四面體的外接球半徑為1，，，則球心到平面的距離為______．【答案】【解析】【分析】先利用正弦定理求得的外接圓半徑為，再根據(jù)四面體的外接球半徑為1，利用勾股定理求解.【詳解】解：如圖所示：因為球心在平面上的投影就是的外心，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，解得，，四面體外接球半徑為1，即，所以球心到平面的距離為．故答案為：6.已知復(fù)數(shù)滿足，則______．【答案】【解析】【分析】由題意可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得，解之即可求解.詳解】設(shè)R)，由，得，所以，由，得，所以，，解得或，所以．故答案為：7.已知平面上單位向量垂直，為任意單位向量，且存在，使得向量與向量垂直，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】利用坐標(biāo)求出模，根據(jù)三角函數(shù)化簡即可得解.詳解】令，，，，于是，．由向量與向量垂直，得到．，當(dāng)，時，取到最小值．故答案為：8.若對所有大于2024的正整數(shù)，成立，則______．【答案】【解析】【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì):得到，即可求解.【詳解】因為，，，設(shè)，為正整數(shù)，那么，以及，得到為正整數(shù)．所以，，故.故答案為：9.設(shè)實數(shù)，且或，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】令，分與兩種情況分析得，再確定，，時即可得解.【詳解】令，則，，，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，當(dāng)，，時，，所以的最小值為．故答案為：.10.在平面直角坐標(biāo)系上，橢圓的方程為，為的左焦點；圓的方程為，為的圓心.直線與橢圓和圓相切于同一點.則當(dāng)最大時，實數(shù)______.【答案】【解析】【分析】利用切割線定理得到進而求出最后的結(jié)果.【詳解】因為在橢圓上，所以直線的方程為，即.由圓的性質(zhì)可知，直線與直線垂直，所以圓心坐標(biāo)滿足，即圓心坐標(biāo)軌跡方程為，記此直線為.要使最大，則過定點和定點所作的圓與直線相切于.設(shè)直線與軸相交于點.由切割線定理可知，，即有將代入上式解得（不合，舍去）或于是解得故答案為：11.設(shè)為正整數(shù)，且，則______．【答案】9【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合化簡計算求解得出n即可.【詳解】，，解得．故答案為：9.12.設(shè)整數(shù)，從編號的卡片中有放回地等概率抽取，并記錄下每次的編號．若1，2均出現(xiàn)或3，4均出現(xiàn)就停止抽取，則抽取卡片數(shù)的數(shù)學(xué)期望為______．【答案】【解析】【分析】建立相應(yīng)概率模型，得到遞推公式，，，求解出．【詳解】解記為初始狀態(tài)，含之一；含之一；含之一；含之一．記為從開始到達或所需要得次數(shù)，其中為之一．由定義，并得到以下遞推關(guān)系，，，解得：，，．故答案為：二、解答題（13題滿分14分，14、15題滿分各20分，合計54）13.正實數(shù)滿足；實數(shù)滿足，，定義函數(shù)，，試問，當(dāng)滿足什么條件時，存在使得定義在上的函數(shù)恰在兩點處達到最小值？【答案】【解析】【分析】根據(jù)A的不同取值進行分類討論，分別求出A的不同取值下的解析式，并研究其單調(diào)性和各段端點值及其大小關(guān)系即可求解.【詳解】令，、分別表示變量x代入其左右兩邊解析式得到的函數(shù)值，由題意，，對A的取值分類討論：（1）當(dāng)時，因為，則，所以，故此時最小值點有無窮多個，不符合，舍去；（2）當(dāng)時，因為，則，若，則，故此時；若，則，故此時；若，則，故此時；，又，故，，故在上單調(diào)遞減，在上恒為，在上單調(diào)遞增，又；H+所以此時最小值點唯一或有無窮多個，不符合，舍去；（3）當(dāng)時，同理可得又，故，，，，且；；，，；，，即，所以在上單調(diào)遞減，在上恒為，在上單調(diào)遞增，且，故此時最小值點唯一，不符合，舍去；（4）當(dāng)時，同理可得又，故，，，，且，=k3；，H+2，，所以在和上單調(diào)遞減，在上恒為，在上單調(diào)遞增，故此時最小值點唯一或無窮多個，不符合，舍去；（5）當(dāng)時，同理可得又，故，，，，且，=k3，故，，；，，故在和上單調(diào)遞減，在上恒為，在上單調(diào)遞增，所以此時恰有兩個最小值點的充要條件為，即，解得.【點睛】思路點睛：對A的取值進行分類討論，分別求出的解析式，根據(jù)其單調(diào)性和各段端點值大小關(guān)系進行分析即可求解.14.設(shè)集合，集合的個元子集滿足：對中任一二元子集，均存在，使得．求的最小值．【答案】【解析】【分析】先由已知條件證明，然后構(gòu)造一個例子使得成立，即可說明的最小值是.【詳解】一方面，對，假設(shè)包含的不超過兩個.由于每個至多包含個包含的二元子集，所以至多有個包含的二元子集包含于某個，但包含的二元子集有個，說明存在一個包含的二元子集不包含于任何，這與已知矛盾.所以至少存在三個包含，這就意味著全體的元素個數(shù)之和至少是.而每個的元素個數(shù)都是，所以，得.這就得到了.另一方面，設(shè)，，，，.則兩兩交集為空，且全體并集就是.然后令，，，，，.此時可以驗證，對，由于必然都落在之一，故分情況驗證即知一定存在一個集合同時包含，此時.綜上，的最小值為.15.設(shè)，均為整系數(shù)多項式，且.若對無窮多個素數(shù)，存在有理根，證明：必存在有理根.【答案】證明見解析【解析】【分析】記的有理根為，，由，得到，所以有界，若子列，則必有，下證可為有理數(shù)即可.【詳解】記的有理根為