2023-2024學(xué)年北京房山區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京房山高二（上）期中數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.（1，4） B.（2，1） C.（2，8） D.（4，2）2.如圖，平行六面體中，為中點(diǎn)．設(shè)，，，用基底表示向量，則（）A. B.C. D.3.在如圖所示的正方體中，異面直線與所成角的大小為（）A.30° B.45° C.60° D.90°4.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，（）A. B. C.2 D.45.如圖，在四面體中，平面，，則下列敘述中錯(cuò)誤的是（）A.是直線與平面所成角B.是二面角的一個(gè)平面角C.線段的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線的距離D.線段的長(zhǎng)是點(diǎn)A到平面的距離6.已知直線：與直線：平行，則的值為（）A.或2 B. C.2 D.7.在同一平面直角坐標(biāo)中，表示：與：的直線可能正確的是（）A. B.C. D.8.長(zhǎng)方體中，，為的中點(diǎn)，，則（）A.1 B.2 C.3 D.49.設(shè)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做圓：的切線，則切線長(zhǎng)的最小值為（）A.2 B. C.3 D.10.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262~公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點(diǎn)，，圓，在圓上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．11.已知，，則直線的斜率__________．12.已知，，，則外接圓的方程為_(kāi)___________．13.已知直線與平面所成角為，，是直線上兩點(diǎn)，且，則線段在平面內(nèi)的射影的長(zhǎng)等于____________．14.如圖，長(zhǎng)方體中，，，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于____________；點(diǎn)到直線的距離等于____________．15.已知圓：和直線：，則圓心到直線的距離等于_____________；若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，寫出一個(gè)符合要求的實(shí)數(shù)的值，______________．16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，是等邊三角形，為的中點(diǎn)，且底面，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)．給出下面四個(gè)結(jié)論：①對(duì)任意點(diǎn)，都有；②存在點(diǎn)，使平面；③二面角的正切值為；④平面平面．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________．三、解答題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．17.已知三條直線：，：，：．（1）求直線，的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程；（3）求過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程．18.已知圓的圓心為點(diǎn)，半徑為2．（1）寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與圓交于A，B兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．19.如圖，在四棱錐中，底面，底面是正方形，，為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大小；（3）求點(diǎn)到平面的距離．20.如圖，在三棱柱中，平面，是的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）判斷直線與平面是否相交，如果相交，求出A到交點(diǎn)H的距離；如果不相交，求直線到平面的距離．21.已知圓：和直線：．（1）寫出圓的圓心和半徑；（2）若在圓上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱，且以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的方程．

參考答案第一部分（選擇題共50分）一、選擇題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.【答案】A【分析】用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.2.【答案】B【分析】利用幾何圖形的關(guān)系，結(jié)合向量的加法運(yùn)算，即可求解.【詳解】.故選：B3.【答案】C【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義及正方體的特征求解【詳解】連接，，如圖，因?yàn)檎襟w中，所以就是與所成的角，在中，.∴.故選：C4.【答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積定義計(jì)算即可.【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體中,易知，因?yàn)?，與的夾角為，所以與的夾角為，.故選：D5.【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直即可求解AD，根據(jù)平面，即可得，進(jìn)而判斷C，結(jié)合二面角的定義即可判斷B.【詳解】對(duì)于AD，由于平面，所以是直線與平面所成角，線段的長(zhǎng)是點(diǎn)到平面的距離，故AD正確，對(duì)于B，平面，平面,所以,又，平面，所以平面，平面,故,又，平面,平面,故是二面角的一個(gè)平面角，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由于，所以線段的長(zhǎng)是點(diǎn)A到直線的距離，C正確,故選：B6.【答案】D【分析】根據(jù)兩直線平行，即可列式求解.【詳解】因?yàn)椋?，解得?故選：D7.【答案】C【分析】結(jié)合各選項(xiàng)分析直線的斜率與在軸上的截距，即可判斷.【詳解】對(duì)于A：由圖可得直線的斜率，在軸上的截距；而的斜率，矛盾，故A錯(cuò)誤．對(duì)于B：由圖可得直線的斜率，在軸上的截距；而的斜率，矛盾，故B錯(cuò)誤．對(duì)于C：由圖可得直線的斜率，在軸上的截距；而的斜率，在軸上的截距，即，故C正確．對(duì)于D：由圖可得直線的斜率，在軸上的截距；而的斜率，矛盾，故D錯(cuò)誤．故選：C．8.【答案】A【分析】連接，設(shè)，表示出，，，利用勾股定理計(jì)算可得.【詳解】如圖連接，設(shè)，則，，，因?yàn)椋?，即，解得（?fù)值舍去）.故選：A9.【答案】B【分析】根據(jù)切線最小時(shí)為圓心到直線上的點(diǎn)的距離最小時(shí)可以求出圓心到直線的距離，再求出切線長(zhǎng)即可.【詳解】圓心為，半徑為，設(shè)切點(diǎn)為，要使得切線長(zhǎng)最小，則最小，此時(shí)，所以，所以，故選：B10.【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)求出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)題意可得兩個(gè)圓有公共點(diǎn)，根據(jù)圓心距大于或等于半徑之差的絕對(duì)值小于或等于半徑之和，解不等式即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)，，，所以即，所以，可得圓心，半徑，由圓可得圓心，半徑，因?yàn)樵趫A上存在點(diǎn)滿足，所以圓與圓有公共點(diǎn)，所以，整理可得：，解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D.第二部分（非選擇題共100分）二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．11.【答案】2【分析】根據(jù)直線斜率公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】根據(jù)題意，，故答案為：2.12.【答案】【分析】首先設(shè)外接圓的方程為，從而得到，再解方程組即可.【詳解】設(shè)外接圓的方程為，則，所以外接圓的方程為：.故答案為：13.【答案】【分析】依題意可得線段在平面內(nèi)的射影的長(zhǎng)等于.【詳解】因?yàn)橹本€與平面所成角為，，是直線上兩點(diǎn)，且，則線段在平面內(nèi)的射影的長(zhǎng)等于.故答案為：14.【答案】①.②.##【分析】以向量，，所在方向?yàn)檩S，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求點(diǎn)到點(diǎn)的距離；連接，作垂直，垂足為，求出向量在向量上的投影，由勾股定理即可求點(diǎn)到直線的距離.【詳解】如圖，以向量，，所在方向?yàn)檩S，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，，則，，所以，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于.連接，作垂直，垂足為，由，，所以，，所以，又，所以點(diǎn)到直線的距離.故答案為：；.15.【答案】①.②.（答案不唯一）.【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算；將圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為轉(zhuǎn)化為半徑與圓心到直線的距離之間的關(guān)系即可求解.【詳解】圓心到直線的距離為；因?yàn)閳A上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，解得.故答案為：；（答案不唯一）.16.【答案】②③④【分析】根據(jù)題意，利用空間直線與直線，直線與平面位置關(guān)系，依次進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于①，若點(diǎn)與點(diǎn)C重合，顯然不滿足，所以①錯(cuò)；對(duì)于②，若點(diǎn)為線段中點(diǎn)，取線段中點(diǎn)E，連接，則且，所以且，則四邊形為平行四邊形，得，因?yàn)槠矫妫矫嫠云矫?，所以②正確；對(duì)于③，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，且底面，過(guò)作于，則即為二面角的平面角，根據(jù)邊長(zhǎng)可求得，，所以，所以③正確；對(duì)于④，因?yàn)榈酌?，平面，所以平面平面，所以④正確；故答案為：②③④三、解答題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．17.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）聯(lián)立直線方程，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解；（3）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解；【小問(wèn)1詳解】聯(lián)立，解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問(wèn)2詳解】直線的方程可化為： 所以因?yàn)樗笾本€與直線平行，所以所求直線的斜率為所以所求直線方程為故所求直線方程為；【小問(wèn)3詳解】由（II）知因?yàn)樗笾本€與直線垂直，所以所求直線的斜率為所以所求直線方程為故所求直線方程為．18.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程定義可得解；（2）求出圓心到直線的距離，再利用勾股定理計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A心，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】圓心到直線的距離，，.19.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）【分析】（1）根據(jù)線線，線面的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即可證明線面垂直；（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）可知向量是平面的法向量，利用向量法求線面角的大??；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的定義，即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫妫?，又，，平面，所以平面，平面，所以，因?yàn)?，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以向量為軸的方向向量，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，由（1）可知，向量是平面的法向量，設(shè)直線與平面所成角為，所以,則，所以直線與平面所成角的大小為；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)椋瑒t，由（2）可知，直線與平面所成角的大小為，所以點(diǎn)到平面的距離為.20.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）相交，【分析】（1）構(gòu)造中位線，利用線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求二面角的余弦值；（3）利用平面的性質(zhì)，即可判斷直線與平面的位置關(guān)系，并利用圖形求解.【小問(wèn)1詳解】連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)辄c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，所以，且平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，所以，且平面，所以如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，以向量為軸的方向向量建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以平面的法向量為，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，則，所以二面角的余弦值為；【小問(wèn)3詳解】如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以，即，則21.【答案】（1）圓心為，半徑為（2）或【分析】（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑；（2）推出直