2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)育英學(xué)校高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市海淀區(qū)育英學(xué)校高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U=Z，集合A=x∈Z∣?2<x<2,B=?1,0,1,2，則?A.?1,2 B.1 C.0,1 D.22.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)1+ai2?i所對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的值可以為(

)A.?12 B.1 C.2 3.sin1050°的值為(

)A.?12 B.12 C.?4.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在其定義域上為增函數(shù)的是(

)A.y=sinx B.y=x|x| C.y=tan5.平面向量a?與向量b?滿足a??(a?+b?)=3，且A.π6 B.π3 C.2π36.已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,φ<πA.3 B.1 C.?1 D.7.設(shè)a=20.3，b=sinπ12，A.c<b<a B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c8.在?ABC中，A=π4，則“sinB<22A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.分貝(dB)、奈培(Np)均可用來量化聲音的響度，其定義式分別為1dB=10lgAA0，1Np=12lnAA0，其中A為待測值，AA.8.686 B.4.343 C.0.8686 D.0.11510.已知點(diǎn)集Λ=(x,y)|x∈Z,y∈Z,S=(a,b)∈Λ|1≤a≤5,1≤b≤5.設(shè)非空點(diǎn)集T?Λ，若對S中任意一點(diǎn)P，在T中存在一點(diǎn)Q(Q與P不重合)，使得線段PQ上除了點(diǎn)P,Q外沒有Λ中的點(diǎn)，則TA.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)f(x)=3?xlg(x+1)的定義域?yàn)?2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱.若α∈π6,π3，則cos13.已知平面內(nèi)四個不同的點(diǎn)A，B，C，D滿足BA=2DB?2DC，則ACBC14.已知函數(shù)fx=1x?a(1)當(dāng)a=0時，函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為

(2)若函數(shù)fx的值域?yàn)锳，存在實(shí)數(shù)m?A，則a的取值范圍為

．15.已知函數(shù)fx=λsinπ2x+φλ>0,0<φ<π的部分圖象如圖1所示，A、B分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過A作x軸的垂線，交x軸于A′，點(diǎn)C為該部分圖象與x軸的交點(diǎn).將繪有該圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時給出下列四個結(jié)論：①φ=π②圖2中，AB?③圖2中，過線段AB的中點(diǎn)且與AB垂直的平面與x軸交于點(diǎn)C；④圖2中，S是?A′BC及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合.設(shè)集合T=Q∈SAQ≤2，則T其中所有正確結(jié)論的序號是

．三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)在?ABC中，b2(1)求∠A；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使?ABC存在且唯一確定，求?ABC的面積．條件①：cosB=條件②：a+b=12；條件③：c=12．注：如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分；如果選擇多組符合要求的條件分別解答，按第一組解答計分．17.(本小題12分)已知函數(shù)fx=x(1)求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)求函數(shù)fx在0,2(3)求證：存在唯一的x0，使得fx18.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=2sin(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)設(shè)g(x)=f(x)fx?π6.當(dāng)x∈[0,m]時，g(x)的取值范圍為0,2+19.(本小題12分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn(1)如果λ=0，求數(shù)列an(2)如果λ=2，求證：數(shù)列an+1(3)如果數(shù)列an為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．20.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=mxln(1)當(dāng)m=1時，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(2)若f(x)≤0在區(qū)間[1,+∞)上恒成立，求m的取值范圍；(3)試比較ln4與221.(本小題12分)給定整數(shù)nn≥2，數(shù)列A2n+1:x1、x2、?、x2n+1每項(xiàng)均為整數(shù)，在A2n+1中去掉一項(xiàng)xk，并將剩下的數(shù)分成個數(shù)相同的兩組，其中一組數(shù)的和與另外一組數(shù)的和之差的最大值記為mk?(Ⅰ)已知數(shù)列A5:1、2、3、3、3，寫出m1、m2、(Ⅱ)若x1≤x2≤?≤x2n+1，當(dāng)i?n+1j?n+1≥0(Ⅲ)已知數(shù)列A2n+1的特征值為n?1，求1≤i<j≤2n+1x參考答案1.D

2.D

3.A

4.B

5.C

6.A

7.B

8.A

9.A

10.B

11.(?1,0)∪(0,3]

12.?113.3

14.1,+∞；15.3

；

；

；

；

；；②③16.解：(1)因?yàn)?/p>

b2+c2?a又因?yàn)?/p>

A∈(0,π)

，所以

A=π3(2)由(1)知

A=π3若選①②：

cosB=1114

，

由

cosB=1114

，可得

由正弦定理

asinA=bsinB

，可得

a32=又由余弦定理

a2=b2+c即

c2?5c?24=0

，解得

c=8

或

c=?3

(舍去所以

?ABC

的面積為

S=12若選①③：

cosB=1114

且

由

cosB=1114

，可得

因?yàn)?/p>

A+B+C=π

，可得

sinC=sin由正弦定理

asinA=csinC

，可得

a所以

?ABC

的面積為

S=12若選：②③：

a+b=12

且

c=12

，因?yàn)?/p>

b2+c2?a2=bc

，可得解得

b=0

，不符合題意，(舍去)．

17.解：(Ⅰ)由f(x)=x3?x，得f′(x)=3x2?1，

所以f′(1)=2，又f(1)=0，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為：y?0=2(x?1)，

即：2x?y?2=0；

(Ⅱ)令x[0,(f?0+f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因?yàn)閒(0)=0，f(2)=6，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為6；

(Ⅲ)證明：設(shè)?(x)=f(x)?g(x)=x3?3x+3，

則?′(x)=3x2?3=3(x?1)(x+1)，

令?′x(?∞,?1)?1(?1,1)1(1,+∞)?+0?0+?(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增則?(x)的增區(qū)間為(?∞,?1)，(1,+∞)，減區(qū)間為(?1,1)，

又?(1)=1>0，?(?1)>?(1)>0，所以函數(shù)?(x)在(?1,+∞)沒有零點(diǎn)，

又?(?3)=?15<0，

所以函數(shù)?(x)在(?∞,?1)上有唯一零點(diǎn)x0，

綜上，在(?∞,+∞)上存在唯一的x0，使得18.解：(Ⅰ)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足的條件為：π2+2kπ≤x+π6≤32π+2kπ，k∈Z，

解得：π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ，k∈Z，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為{x|π3+2kπ≤x≤4π3+2kπ,k∈Z}；

(Ⅱ)由題意可得：g(x)=2sin(x+π6)?2sinx

=23sin2x+2sinxcosx

=319.(1)λ=0時，Sn當(dāng)n=1時，a1當(dāng)n≥2時，an所以an(2)證明：當(dāng)λ=2時，Sn所以Sn+1相減得：an+1所以an+1又有Sn=2an?n3所以數(shù)列an+13為首項(xiàng)為所以an+1(3)由(1)可知，顯然λ≠0當(dāng)n=1時，則S1=λa當(dāng)n≥2時，SnSn?1相減得an即an因?yàn)棣恕佟?，所以a1所以an所以an因?yàn)閿?shù)列an所以{1λ+1所以λ的取值范圍是λ>1或λ<?1．

20.解：(1)當(dāng)

m=1

時，

f(x)=xln?x?∴f′x=所以曲線

fx

在點(diǎn)

1,f1

處切線的斜率

k=f′(1)=?1

，又

f所以曲線

fx

在點(diǎn)

1,f1

處切線的方程為

y=?x?1

即

(2)

fx≤0

在區(qū)間

1,+∞

上恒成立，即

mxlnx?x2即

mlnx?x+1x≤0

令

gx=mlnx?x+1xg′(x)=mx?1?1x2當(dāng)

m≤0

時，有

mx≤0

，則

g′x<0∴gx

在

1,+∞

∴gx≤g當(dāng)

m>0

時，令

?(x)=?x2其對應(yīng)方程

?x2+mx?1=0

的判別式

若

Δ≤0

即

0<m≤2

時，有

?x≤0

，即

g′∴gx

在

1,+∞

∴gx≤g若

Δ>0

即

m>2

時，

?x=?x2+mx?1

，對稱軸

x=m方程

?x2+mx?1=0

的大于1的根為

∴x∈1,x0

，

?x>0

x∈x0,+∞

，

?x<0

所以函數(shù)

gx

在

1,x0

上單調(diào)遞增，

綜上，

fx≤0

在區(qū)間

1,+∞

上恒成立，實(shí)數(shù)

m

的取值范圍為

?∞,2(3)由(2)知，當(dāng)

m=2

時，

fx≤0

，在區(qū)間

1,+∞即

2xlnx≤x2?1

取

x=2

代入上式得

22ln

21.(Ⅰ)由題知：m1=3+3?2+3A5的特征值為1(Ⅱ)m理由如下：由于i?n+1當(dāng)i、j∈1,2,?,n+1根據(jù)定義可知：mi同理可得：mj所以mi?m當(dāng)i、j∈n+1,n+2,?,2n+1m=mj所以mi?m綜上有：mi(Ⅲ)不妨設(shè)x11≤i<j≤2n+1