高考數(shù)學(xué)一輪難題復(fù)習(xí)數(shù)列典型解答題(學(xué)生版+解析)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)一輪難題復(fù)習(xí)數(shù)列典型解答題1．牢記概念與公式等差數(shù)列、等比數(shù)列(其中n∈N*)等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d(1)q≠1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q)；(2)q＝1，Sn＝na12.活用定理與結(jié)論(1)等差、等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì)①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數(shù)列①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(Sm≠0)(2)判斷等差數(shù)列的常用方法①定義法an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；②通項(xiàng)公式法an＝pn＋q(p，q為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；③中項(xiàng)公式法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；④前n項(xiàng)和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．(3)判斷等比數(shù)列的常用方法①定義法eq\f(an＋1,an)＝q(q是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列；②通項(xiàng)公式法an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列；③中項(xiàng)公式法aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．3．?dāng)?shù)列求和的常用方法(1)等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和，直接利用公式求和．(2)通項(xiàng)公式形如{an·bn}(其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列)的數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和．(3)通項(xiàng)公式形如an＝eq\f(c,an＋b1an＋b2)(其中a，b1，b2，c為常數(shù))用裂項(xiàng)相消法求和．(4)通項(xiàng)公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a為常數(shù)，n∈N*)等正負(fù)項(xiàng)交叉的數(shù)列求和一般用并項(xiàng)法．并項(xiàng)時(shí)應(yīng)注意分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論．(5)分組求和法：分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成cn＝an＋bn形式的數(shù)列求和問題的方法，其中{an}與{bn}是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列．(6)并項(xiàng)求和法：先將某些項(xiàng)放在一起求和，然后再求Sn.4．?dāng)?shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法證明分以下兩個(gè)步驟：(1)證明當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立；(2)假設(shè)n＝m時(shí)，命題成立，那么可以推導(dǎo)出在n＝m＋1時(shí)命題也成立．(m代表任意自然數(shù))例題1．幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了三款軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)，這三款軟件的激活碼分別為下面數(shù)學(xué)問題的三個(gè)答案：已知數(shù)列，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，再接下來的三項(xiàng)是，以此類推，試根據(jù)下列條件求出三款軟件的激活碼（1）A款應(yīng)用軟件的激活碼是該數(shù)列中第四個(gè)三位數(shù)的項(xiàng)數(shù)的平方（2）B款應(yīng)用軟件的激活碼是該數(shù)列中第一個(gè)四位數(shù)及其前所有項(xiàng)的和（3）C款應(yīng)用軟件的激活碼是滿足如下條件的最小整數(shù)：①；②該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪例題2．已知數(shù)列，滿足；（1）若，，，求的通項(xiàng)公式；（2）若，，，求的前項(xiàng)和為；（3）若，，滿足恒成立，求的取值范圍；例題3．已知數(shù)列滿足，，.（1）若，寫出所有可能的值；（2）若數(shù)列是遞增數(shù)列，且、、成等差數(shù)列，求p的值；（3）若，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.例題4．無窮數(shù)列滿足：為正整數(shù)，且對(duì)任意正整數(shù)，為前項(xiàng)、、、中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù).（1）若，求和的值；（2）已知命題存在正整數(shù)，使得，判斷命題的真假并說明理由；（3）若對(duì)任意正整數(shù)，都有恒成立，求的值.例題5．本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．從數(shù)列中取出部分項(xiàng)，并將它們按原來的順序組成一個(gè)數(shù)列，稱之為數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．設(shè)數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為、公差為的無窮等差數(shù)列．（1）若，，成等比數(shù)列，求其公比．（2）若，從數(shù)列中取出第2項(xiàng)、第6項(xiàng)作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，試問該數(shù)列是否為的無窮等比子數(shù)列，請(qǐng)說明理由．（3）若，從數(shù)列中取出第1項(xiàng)、第項(xiàng)（設(shè)）作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，試問當(dāng)且僅當(dāng)為何值時(shí)，該數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，請(qǐng)說明理由．例題6．將邊長(zhǎng)分別為、、、…、、、…的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第個(gè)、第個(gè)、……、第個(gè)陰影部分圖形.設(shè)前個(gè)陰影部分圖形的面積的平均值為.記數(shù)列滿足，（1）求的表達(dá)式；（2）寫出，的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）定義，記，且恒成立，求的取值范圍.例題7．（理）已知等差數(shù)列的公差是，是該數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）試用表示，其中、均為正整數(shù)；（2）利用（1）的結(jié)論求解：“已知，求”；（3）若數(shù)列前項(xiàng)的和分別為，試將問題（1）推廣，探究相應(yīng)的結(jié)論.若能證明，則給出你的證明并求解以下給出的問題；若無法證明，則請(qǐng)利用你的研究結(jié)論和另一種方法計(jì)算以下給出的問題，從而對(duì)你猜想的可靠性作出自己的評(píng)價(jià).問題：“已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和，求數(shù)列的前2010項(xiàng)的和.”例題8．對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意的都有成立，那么就把這樣一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，以下簡(jiǎn)稱周期.例如當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列，當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列.（1）設(shè)數(shù)列滿足，，（、不同時(shí)為），且數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，求常數(shù)的值；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．①若，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；②若，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；（3）設(shè)數(shù)列滿足，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試問是否存在、，使對(duì)任意的都有成立，若存在，求出、的取值范圍；不存在，說明理由.例題9．已知點(diǎn)、是雙曲線：的左右焦點(diǎn)，其漸近線為，且右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3.（1）求雙曲線的方程；（2）過的直線與相交于、兩點(diǎn)，直線的法向量為，且，求的值；（3）在（2）的條件下，若雙曲線在第四象限的部分存在一點(diǎn)滿足，求的值及的面積.例題10．定義的“倒平均數(shù)”為．已知數(shù)列前項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為，記．（1）比較與的大??；（2）設(shè)函數(shù)，對(duì)（1）中的數(shù)列，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立？若存在，求出最大的實(shí)數(shù)；若不存在，說明理由．（3）設(shè)數(shù)列滿足，且，且，且是周期為3的周期數(shù)列，設(shè)為前項(xiàng)的“倒平均數(shù)”，求．例題11．對(duì)于項(xiàng)數(shù)為m的有窮數(shù)列數(shù)集，記（k=1,2,…,m），即為中的最大值，并稱數(shù)列是的控制數(shù)列.如1,3,2,5,5的控制數(shù)列是1,3,3,5,5.（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列為2,3,4,5,5，寫出所有的；（2）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足（C為常數(shù)，k=1,2,…,m）.求證：（k=1,2,…,m）；（3）設(shè)m=100，常數(shù).若，是的控制數(shù)列，求.例題12．給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對(duì)任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.例題13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足.（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在滿足（1）的條件下，求數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式；試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)一輪難題復(fù)習(xí)數(shù)列典型解答題1．牢記概念與公式等差數(shù)列、等比數(shù)列(其中n∈N*)等差數(shù)列等比數(shù)列通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1(q≠0)前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2)d(1)q≠1，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q)；(2)q＝1，Sn＝na12.活用定理與結(jié)論(1)等差、等比數(shù)列{an}的常用性質(zhì)等差數(shù)列等比數(shù)列性質(zhì)①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq；②an＝am＋(n－m)d；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數(shù)列①若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；②an＝am·qn－m；③Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(Sm≠0)(2)判斷等差數(shù)列的常用方法①定義法an＋1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；②通項(xiàng)公式法an＝pn＋q(p，q為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；③中項(xiàng)公式法2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列；④前n項(xiàng)和公式法Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．(3)判斷等比數(shù)列的常用方法①定義法eq\f(an＋1,an)＝q(q是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列；②通項(xiàng)公式法an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列；③中項(xiàng)公式法aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列．3．?dāng)?shù)列求和的常用方法(1)等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和，直接利用公式求和．(2)通項(xiàng)公式形如{an·bn}(其中{an}為等差數(shù)列，{bn}為等比數(shù)列)的數(shù)列，利用錯(cuò)位相減法求和．(3)通項(xiàng)公式形如an＝eq\f(c,an＋b1an＋b2)(其中a，b1，b2，c為常數(shù))用裂項(xiàng)相消法求和．(4)通項(xiàng)公式形如an＝(－1)n·n或an＝a·(－1)n(其中a為常數(shù)，n∈N*)等正負(fù)項(xiàng)交叉的數(shù)列求和一般用并項(xiàng)法．并項(xiàng)時(shí)應(yīng)注意分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論．(5)分組求和法：分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成cn＝an＋bn形式的數(shù)列求和問題的方法，其中{an}與{bn}是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列．(6)并項(xiàng)求和法：先將某些項(xiàng)放在一起求和，然后再求Sn.4．?dāng)?shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法證明分以下兩個(gè)步驟：(1)證明當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立；(2)假設(shè)n＝m時(shí)，命題成立，那么可以推導(dǎo)出在n＝m＋1時(shí)命題也成立．(m代表任意自然數(shù))例題1．幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了三款軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)，這三款軟件的激活碼分別為下面數(shù)學(xué)問題的三個(gè)答案：已知數(shù)列，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，再接下來的三項(xiàng)是，以此類推，試根據(jù)下列條件求出三款軟件的激活碼（1）A款應(yīng)用軟件的激活碼是該數(shù)列中第四個(gè)三位數(shù)的項(xiàng)數(shù)的平方（2）B款應(yīng)用軟件的激活碼是該數(shù)列中第一個(gè)四位數(shù)及其前所有項(xiàng)的和（3）C款應(yīng)用軟件的激活碼是滿足如下條件的最小整數(shù)：①；②該數(shù)列的前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪【答案】（1）2809；（2）4083；（3）1897【解析】【分析】（1）講數(shù)列按照規(guī)律重新書寫成行列形式，依次觀察三位數(shù)出現(xiàn)的順序；（2）根據(jù)第一問重新書寫的形式找到第一個(gè)四位數(shù)1024所在位置即可求和；（3）先確定第1000項(xiàng)出現(xiàn)在哪一行，再計(jì)算前m行所有項(xiàng)之和，要變成2的整數(shù)冪形式需要再加多少，即可求解.【詳解】（1）由題可以將數(shù)列排成如下形式：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，1，2，4，8，16，32，…由2的整數(shù)冪可知：第一個(gè)三位數(shù)是，下一行產(chǎn)生第二個(gè)和第三個(gè)三位數(shù)，依次是，下一行產(chǎn)生第四個(gè)三位數(shù)，觀察數(shù)列規(guī)律：①每行的行數(shù)即該行的項(xiàng)數(shù)，②第行的最后一項(xiàng)，第三個(gè)三位數(shù)出現(xiàn)在第9行最后一項(xiàng)，第四個(gè)三位數(shù)出現(xiàn)在第10行第8項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)為，所以A款應(yīng)用軟件的激活碼是2809.（2）由2的整數(shù)冪可知第一個(gè)四位數(shù)是，第11行第11項(xiàng)，根據(jù)規(guī)律：設(shè)上面數(shù)列第行數(shù)列之和為，可得，所以第一個(gè)四位數(shù)及其以前所有項(xiàng)之和為（3）由題：前行一共項(xiàng)，由條件①，設(shè)，可得，滿足條件的最小整數(shù)至少在第45行或大于第45行中的某個(gè)項(xiàng)數(shù)，根據(jù)條件②：前行所有項(xiàng)之和，要滿足這個(gè)數(shù)是2的整數(shù)冪，必須第行前項(xiàng)之和為，且前項(xiàng)之和即，，，即，要使取值最小，只有當(dāng)時(shí)滿足題意，此時(shí)，所以滿足條件的最小整數(shù).【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)數(shù)列的綜合應(yīng)用，對(duì)理解辨析能力要求較高，對(duì)已知數(shù)列進(jìn)行重新排成一個(gè)方便思考觀察規(guī)律的形式進(jìn)行解題，能夠事半功倍.例題2．已知數(shù)列，滿足；（1）若，，，求的通項(xiàng)公式；（2）若，，，求的前項(xiàng)和為；（3）若，，滿足恒成立，求的取值范圍；【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）若，，，，利用等差數(shù)列求通項(xiàng)公式；（2）若，，，，，構(gòu)造新的等比數(shù)列，再求通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和為；（3）若，，，滿足恒成立，通過得出，再證明其充分性即可.【詳解】（1）若，，，，所以是以3為首相，1為公差的等差數(shù)列，，即；（2）若，，，，所以，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，所以，前項(xiàng)和；（3）若，，，滿足恒成立，，滿足恒成立，即恒成立，必有即即，解得；下面證明其充分性：當(dāng)時(shí)，先用數(shù)學(xué)歸納法證明：由題：，，，，當(dāng)時(shí)，，命題成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即，則則，所以對(duì)于，都有所以，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，綜上所述：的取值范圍.【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用解法，第三問根據(jù)含參遞推關(guān)系證明不等式，用到一種思路：通過題目已知條件推出一個(gè)必要條件，再探究其充分性得解，在涉及探索性的問題中應(yīng)用較廣，與正整數(shù)有關(guān)的命題可以考慮數(shù)學(xué)歸納法證明.例題3．已知數(shù)列滿足，，.（1）若，寫出所有可能的值；（2）若數(shù)列是遞增數(shù)列，且、、成等差數(shù)列，求p的值；（3）若，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）、、、；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由，，，分別取、、即可得出的所有可能取值；（2）由數(shù)列是遞增數(shù)列，得出，且有，得出、關(guān)于的表達(dá)式，然后利用、、成等差數(shù)列得出關(guān)于的方程，解出即可；（3）由數(shù)列是遞增數(shù)列得出，可得，但，可得出，可得出，由數(shù)列為遞減數(shù)列，同理可得，進(jìn)而得到，再利用累加法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，或.當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或.因此，的所有可能取值有、、、；（2）數(shù)列是遞增數(shù)列，則，則，，，同理得，由于、、成等差數(shù)列，則，即，整理得，，解得；（3）數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，即①，但，所以②，由①②知，，所以③.數(shù)列是遞減數(shù)列，同理可得，所以④，由③④知，.由累加法得.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的遞推關(guān)系、絕對(duì)值的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，同時(shí)也考查了利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.例題4．無窮數(shù)列滿足：為正整數(shù)，且對(duì)任意正整數(shù)，為前項(xiàng)、、、中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù).（1）若，求和的值；（2）已知命題存在正整數(shù)，使得，判斷命題的真假并說明理由；（3）若對(duì)任意正整數(shù)，都有恒成立，求的值.【答案】（1），；（2）真命題，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意直接寫出、、的值，可得出結(jié)果；（2）分和兩種情況討論，找出使得等式成立的正整數(shù)，可得知命題為真命題；（3）先證明出“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”的充要條件，由此可得出，然后利用定義得出，由此可得出的值.【詳解】（1）根據(jù)題意知，對(duì)任意正整數(shù)，為前項(xiàng)、、、中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，因此，，，；（2）真命題，證明如下：①當(dāng)時(shí)，則，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，命題為真命題；（3）先證明：“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”的充要條件.假設(shè)存在，使得“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”.則數(shù)列的前項(xiàng)為，，，，，，后面的項(xiàng)順次為，，，，故對(duì)任意的，，對(duì)任意的，取，其中表示不超過的最大整數(shù)，則，令，則，此時(shí)，有，這與矛盾，故若存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立，必有；從而得證.另外：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為，故，則.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列知識(shí)的應(yīng)用，涉及到命題真假的判斷，同時(shí)也考查了數(shù)列新定義問題，解題時(shí)要充分從題中數(shù)列的定義出發(fā)，充分利用分類討論思想，綜合性強(qiáng)，屬于難題.例題5．本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．從數(shù)列中取出部分項(xiàng)，并將它們按原來的順序組成一個(gè)數(shù)列，稱之為數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．設(shè)數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為、公差為的無窮等差數(shù)列．（1）若，，成等比數(shù)列，求其公比．（2）若，從數(shù)列中取出第2項(xiàng)、第6項(xiàng)作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，試問該數(shù)列是否為的無窮等比子數(shù)列，請(qǐng)說明理由．（3）若，從數(shù)列中取出第1項(xiàng)、第項(xiàng)（設(shè)）作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，試問當(dāng)且僅當(dāng)為何值時(shí)，該數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，請(qǐng)說明理由．【答案】略【解析】【詳解】（1）由題設(shè)，得，即，得，又，于是，故其公比．（4分）（2）設(shè)等比數(shù)列為，其公比，，（6分）由題設(shè)．假設(shè)數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，則對(duì)任意自然數(shù)，都存在，使，即，得，（8分）當(dāng)時(shí)，，與假設(shè)矛盾，故該數(shù)列不為的無窮等比子數(shù)列．（10分）（3）①設(shè)的無窮等比子數(shù)列為，其公比（），得，由題設(shè)，在等差數(shù)列中，，，因?yàn)閿?shù)列為的無窮等比子數(shù)列，所以對(duì)任意自然數(shù)，都存在，使，即，得，由于上式對(duì)任意大于等于的正整數(shù)都成立，且，均為正整數(shù)，可知必為正整數(shù)，又，故是大于1的正整數(shù)．（14分）②再證明：若是大于1的正整數(shù)，則數(shù)列存在無窮等比子數(shù)列．即證明無窮等比數(shù)列中的每一項(xiàng)均為數(shù)列中的項(xiàng)．在等比數(shù)列中，，在等差數(shù)列中，，，若為數(shù)列中的第項(xiàng)，則由，得，整理得，由，均為正整數(shù)，得也為正整數(shù)，故無窮等比數(shù)列中的每一項(xiàng)均為數(shù)列中的項(xiàng)，得證．綜上，當(dāng)且僅當(dāng)是大于1的正整數(shù)時(shí)，數(shù)列存在無窮等比子數(shù)列．（18分）例題6．將邊長(zhǎng)分別為、、、…、、、…的正方形疊放在一起，形成如圖所示的圖形，由小到大，依次記各陰影部分所在的圖形為第個(gè)、第個(gè)、……、第個(gè)陰影部分圖形.設(shè)前個(gè)陰影部分圖形的面積的平均值為.記數(shù)列滿足，（1）求的表達(dá)式；（2）寫出，的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）定義，記，且恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2），，；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分別求出每一個(gè)陰影部分圖形的面積，即可得到前個(gè)陰影部分圖形的面積的平均值；（2）依據(jù)遞推式，結(jié)合分類討論思想，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）先求出的表達(dá)式，再依題意得到，分類討論不等式恒成立的條件，取其交集，即得所求范圍．【詳解】（1）由題意有，第一個(gè)陰影部分圖形面積是：；第二個(gè)陰影部分圖形面積是：；第三個(gè)陰影部分圖形面積是：；所以第個(gè)陰影部分圖形面積是：；故；（2）由（1）知，，，所以，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，綜上，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．（3）由（2）知，，，由題意可得，恒成立，①當(dāng)時(shí)，，即，所以，②當(dāng)時(shí)，，即，所以，③當(dāng)時(shí)，，即，所以，綜上，．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式求法，數(shù)列不等式恒成立問題的解法以及分類討論思想的運(yùn)用，意在考查學(xué)生邏輯推理能力及運(yùn)算能力．例題7．（理）已知等差數(shù)列的公差是，是該數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）試用表示，其中、均為正整數(shù)；（2）利用（1）的結(jié)論求解：“已知，求”；（3）若數(shù)列前項(xiàng)的和分別為，試將問題（1）推廣，探究相應(yīng)的結(jié)論.若能證明，則給出你的證明并求解以下給出的問題；若無法證明，則請(qǐng)利用你的研究結(jié)論和另一種方法計(jì)算以下給出的問題，從而對(duì)你猜想的可靠性作出自己的評(píng)價(jià).問題：“已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，前項(xiàng)和，求數(shù)列的前2010項(xiàng)的和.”【答案】（1）（2）（3）【解析】【詳解】（1）解：不妨設(shè)，則有，∴.（2）（文科）解法一：由條件，可得得：，由（1）中結(jié)論得：．解法二：，則．（理）由條件，可得得：，則.（3）（理科）推廣的結(jié)論為：若公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則該數(shù)列的前項(xiàng)和為：+…………（）對(duì)正整數(shù)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：1當(dāng)時(shí)，由問題（1）知，等式（）成立；2假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即，當(dāng)時(shí)，，這表明對(duì)等式（）也成立；根據(jù)1、2知，對(duì)一切正整數(shù)，（）式都成立.利用以上結(jié)論，問題解法如下：由，則利用探究結(jié)論可得：.不利用以上結(jié)論，解法如下：由得：；代入①可得.所以，.例題8．對(duì)于數(shù)列，如果存在一個(gè)正整數(shù)，使得對(duì)任意的都有成立，那么就把這樣一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，以下簡(jiǎn)稱周期.例如當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列，當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列.（1）設(shè)數(shù)列滿足，，（、不同時(shí)為），且數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，求常數(shù)的值；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．①若，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；②若，試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說明理由；（3）設(shè)數(shù)列滿足，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，試問是否存在、，使對(duì)任意的都有成立，若存在，求出、的取值范圍；不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）①不是；②是，且最小正周期為；（3）存在，且，.【解析】【分析】（1）直接利用數(shù)列是周期為的周期數(shù)列以及可以推出即可求出實(shí)數(shù)的值；（2）先利用求得或.①由得出，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可判斷出數(shù)列是否為周期數(shù)列；②由得出，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可判斷出數(shù)列是否為周期數(shù)列；（3）先由數(shù)列滿足，推出數(shù)列以及數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，求出數(shù)列的前項(xiàng)，即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和以及數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍，即可求出對(duì)應(yīng)的、的取值范圍.【詳解】（1）由數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，且，即；（2）當(dāng)時(shí)，，又，得；當(dāng)時(shí)，.即或.①由有，則為等差數(shù)列，即，由于對(duì)任意的都有，所以不是周期數(shù)列；②由有，數(shù)列為等比數(shù)列，即，即對(duì)任意都成立，即當(dāng)時(shí)，是周期為的周期數(shù)列；（3）假設(shè)存在、，滿足題設(shè).于是，又，則.所以是周期為的周期數(shù)列，所以的前項(xiàng)分別為、、.則，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述：，為使恒成立，只要，即可，綜上，假設(shè)存在、，滿足題設(shè)，，.【點(diǎn)睛】本題是在新定義下對(duì)數(shù)列知識(shí)的綜合考查，考查數(shù)列的周期性、等差數(shù)列通項(xiàng)以及求和，解題時(shí)要充分理解數(shù)列周期性的定義，考查分類討論數(shù)學(xué)思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.例題9．已知點(diǎn)、是雙曲線：的左右焦點(diǎn)，其漸近線為，且右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3.（1）求雙曲線的方程；（2）過的直線與相交于、兩點(diǎn)，直線的法向量為，且，求的值；（3）在（2）的條件下，若雙曲線在第四象限的部分存在一點(diǎn)滿足，求的值及的面積.【答案】（1）（2）（3），【解析】【分析】（1）由漸近線為，可知，由右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為3，可知，再根據(jù)，求解，，即可.（2）由題意可知，直線的方程為，將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，得，根據(jù)韋達(dá)定理，確定，，再由，得，求解的值，即可.（3）有（2）可知，從而確定，設(shè)，由得，代入雙曲線的方程，解得值以及點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式，求解點(diǎn)到直線的距離.再求解的面積即可.【詳解】解：（1）由題意得解得，，所以雙曲線的方程為：.（2）直線的方程為，由，得（*）所以由得即代入化簡(jiǎn)，并解得（舍去負(fù)值）（3）把代入（*）并化簡(jiǎn)得，此時(shí)，所以設(shè)，由得代入雙曲線的方程解得（舍），，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線方程，直線與雙曲線位置關(guān)系以及弦長(zhǎng)問題.同時(shí)也考查運(yùn)算能力，屬于難題.例題10．定義的“倒平均數(shù)”為．已知數(shù)列前項(xiàng)的“倒平均數(shù)”為，記．（1）比較與的大??；（2）設(shè)函數(shù)，對(duì)（1）中的數(shù)列，是否存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立？若存在，求出最大的實(shí)數(shù)；若不存在，說明理由．（3）設(shè)數(shù)列滿足，且，且，且是周期為3的周期數(shù)列，設(shè)為前項(xiàng)的“倒平均數(shù)”，求．【答案】（1）；（2）1；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)求出，得到，進(jìn)而求出，作出比較大小即可；（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，由(1)的結(jié)果，即可求出實(shí)數(shù)；（3）由得，分類討論和，根據(jù)是周期為3的周期數(shù)列，即可求出數(shù)列的前項(xiàng)和，進(jìn)而得到，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，由題意得，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而也滿足此式.所以，因此，所以，故；(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，由（1）知數(shù)列是遞增數(shù)列，所以只要，即，解得或，所以存在最大的實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒成立；(3)由得；①若，則，，，因?yàn)槭侵芷跒?的周期數(shù)列，所以，即，解得，此時(shí)，為符合題意；②若，則，，因?yàn)槭侵芷跒?的周期數(shù)列，所以，即，解得或，不符合題意，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則對(duì)，