2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章變化率與導(dǎo)數(shù)2.2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義學(xué)案含解析北師大版選修2-2

PAGE2導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第15頁[自主梳理]一、導(dǎo)數(shù)的概念當(dāng)Δx趨于0時(shí)，假如平均改變率趨于一個(gè)________，那么這個(gè)值就是函數(shù)y＝f(x)在________的瞬時(shí)改變率．在數(shù)學(xué)中，稱瞬時(shí)改變率為函數(shù)y＝f(x)在__________的導(dǎo)數(shù)，通常用符號(hào)____________表示，記作f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,x1→x0))eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝________________.二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y＝f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，是曲線y＝f(x)在點(diǎn)______處的切線的________．函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的斜率反映了導(dǎo)數(shù)的幾何意義．[雙基自測(cè)]1．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，則a＝()A．－1 B.eq\f(1,2) C．1 D.eq\f(1,3)2．設(shè)f(x)在x＝1處有導(dǎo)數(shù)且滿意lieq\o(m,\s\up6(,x→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝－1，則過曲線y＝f(x)上點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為()A．2 B．－1 C．1 D．13．已知f(x)＝2x2－x，則f′(x)＝__________，f′(1)＝________.4．曲線f(x)＝eq\f(1,3)x3－2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))處切線的傾斜角為________．[自主梳理]一、固定的值x0x0點(diǎn)f′(x0)lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)二、(x0，f(x0))斜率[雙基自測(cè)]1．C因?yàn)閒′(－1)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))[a(Δx)2－3aΔx＋3a]＝3a＝3，所以a＝1.2．Blieq\o(m,\s\up6(,x→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝lieq\o(m,\s\up6(,x→0))eq\f(f1－2x－f1,－2x)＝lieq\o(m,\s\up6(,－2x→0))eq\f(f[1＋－2x]－f1,－2x)＝f′(1)＝－1.3．4x－13因?yàn)棣＝2(x＋Δx)2－(x＋Δx)－(2x2－x)＝4xΔx－Δx＋2(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4xΔx－Δx＋2Δx2,Δx)＝4x－1＋2Δx.故f′(x)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))(4x－1＋2Δx)＝4x－1.所以f′(1)＝4×1－1＝3.4．45°因?yàn)閗＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\f(1,3)－1＋Δx3－2－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－13－2)),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(－12Δx－Δx2＋\f(1,3)Δx3,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－Δx＋\f(1,3)Δx2))＝1，所以直線的傾斜角為45°.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第15頁探究一求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)[例1]求函數(shù)y＝f(x)＝eq\f(4,x2)在x＝2處的導(dǎo)數(shù)．[解析]∵Δy＝eq\f(4,Δx＋22)－eq\f(4,22)＝eq\f(4,Δx＋22)－1＝－eq\f(Δx2＋4Δx,Δx＋22)，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(Δx＋4,Δx＋22).∴f′(2)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝－lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δx＋4,Δx＋22)＝－1.由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟(1)求函數(shù)值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均改變率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；(3)取極限，得導(dǎo)數(shù)f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(Δy,Δx).1．求函數(shù)f(x)＝eq\f(1,\r(x))在x＝1處的導(dǎo)數(shù)．解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝eq\f(1,\r(1＋Δx))－1＝eq\f(1－\r(1＋Δx),\r(1＋Δx))＝eq\f(－Δx,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx))，∴eq\f(Δy,Δx)＝－eq\f(1,\r(1＋Δx)1＋\r(1＋Δx)).當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，1＋Δx無限趨近于1，∴eq\f(Δy,Δx)無限趨近于－eq\f(1,2)，∴f′(1)＝－eq\f(1,2).探究二求曲線的切線方程[例2]求曲線y＝2x2＋1在點(diǎn)P(1,3)處的切線方程．[解析]曲線y＝f(x)＝2x2＋1在點(diǎn)P(1,3)處的斜率為：k＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(21＋Δx2＋1－3,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(2Δx2＋4Δx,Δx)＝4.∴切線方程為y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.求曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程的步驟：(1)求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)；(2)依據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，得切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．2．已知f(x)＝x3在點(diǎn)P處的切線斜率為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及切線方程．解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，xeq\o\al(3,0))，∴斜率k＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(x0＋Δx3－x\o\al(3,0),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(3x\o\al(2,0)Δx＋3x0Δx2＋Δx3,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))[3xeq\o\al(2,0)＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3xeq\o\al(2,0).∴3xeq\o\al(2,0)＝3，x0＝±1.∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)或(－1，－1)，則切線方程為y－1＝3(x－1)或y＋1＝3(x＋1)，即為3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.探究三導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用[例3]已知拋物線y＝2x2＋1，求：(1)拋物線上哪一點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°？(2)拋物線上哪一點(diǎn)處的切線平行于直線4x－y－2＝0?(3)拋物線上哪一點(diǎn)處的切線垂直于直線x＋8y－3＝0?[解析]設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0，y0)，則Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2xeq\o\al(2,0)－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴eq\f(Δy,Δx)＝4x0＋2Δx.當(dāng)Δx趨于零時(shí)，eq\f(Δy,Δx)趨于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵拋物線的切線的傾斜角為45°，∴切線的斜率為tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝eq\f(1,4)，該點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(9,8))).(2)∵拋物線的切線平行于直線4x－y－2＝0，∴切線的斜率為4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，該點(diǎn)為(1,3)．(3)∵拋物線的切線與直線x＋8y－3＝0垂直，∴切線的斜率為8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，該點(diǎn)為(2,9)．解答此類題目時(shí)，所給的直線的傾斜角或斜率是解題的關(guān)鍵，由這些信息得知函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、進(jìn)而可求此點(diǎn)的橫坐標(biāo)．解題時(shí)留意解析幾何中直線方程學(xué)問的應(yīng)用，如直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，直線的平行、垂直等．3．求經(jīng)過點(diǎn)(2,0)且與曲線y＝eq\f(1,x)相切的直線方程．解析：可以驗(yàn)證點(diǎn)(2,0)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為P(x0，y0)．由f′(x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(\f(1,x0＋Δx)－\f(1,x0),Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(－Δx,Δx·x0＋Δx·x0)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(－1,x0x0＋Δx)＝－eq\f(1,x\o\al(2,0)).故所求直線方程為y－y0＝－eq\f(1,x\o\al(2,0))(x－x0)．由點(diǎn)(2,0)在所求的直線上，得xeq\o\al(2,0)y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲線y＝eq\f(1,x)上，得x0y0＝1，聯(lián)立可解得x0＝1，y0＝1，所以直線方程為x＋y－2＝0.因?qū)?dǎo)數(shù)的概念理解不透徹而致誤[例4]已知f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)為4，則lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝________.[解析]lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝lieq\o(m,\s\up6(,Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx0＋2Δx－fx0,2Δx)×2))＝2lieq\o(m,\s\up6(,Δx