四川省內(nèi)江市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第五章，必修第二冊第六章至第七章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限.故選：C2.若三角形的三邊長分別為，，，則該三角形的形狀是（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不能確定的【答案】B【解析】【分析】不妨設(shè)中，，，利用余弦定理得到，從而得到為鈍角，即可判斷.【詳解】不妨設(shè)中，，，因?yàn)?，則，由余弦定理可得，又，所以為鈍角，故該三角形為鈍角三角形.故選：B3.已知單位向量，滿足，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，又，所以，所以在上的投影向量?故選：A4.已知函數(shù)，則“”是“的最小正周期為”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及正切型函數(shù)的周期性計(jì)算可得.【詳解】當(dāng)時(shí)，則的最小正周期，故充分性成立；若的最小正周期為，即，解得，故必要性不成立；所以“”是“的最小正周期為”充分不必要條件.故選：B5.折扇是我國傳統(tǒng)文化的延續(xù)，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，如圖1，圖2是某折扇的結(jié)構(gòu)簡化圖，已知，，若之間的弧長為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用弧長公式，得到，再利用余弦定理求出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，在中，，所以，得到，故選：D.6.已知，函數(shù)，，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依題意為最大值或最小值，從而得到為函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出，最后確定的最小正值.【詳解】因?yàn)椋?，，即為最大值或最小值，即為函?shù)的一條對稱軸，所以，解得，又，所以當(dāng)時(shí)取得最小值.故選：B7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是線段上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若，則（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】先求出直線的方程，根據(jù)在線段上，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，列出方程，再根據(jù)列方程，解方程組，得到點(diǎn)坐標(biāo)，可求的長度.【詳解】如圖：點(diǎn)A，C在一次函數(shù)的圖象上.設(shè)，則，，，解得（舍去），所以，，.故選：B8.如圖，為了測量兩山頂間距離，飛機(jī)沿水平方向在兩點(diǎn)進(jìn)行測量，在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)．已知飛機(jī)在點(diǎn)時(shí)，測得，在點(diǎn)時(shí)，測得，，千米，則（）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件得到是等邊三角形，從而有，記直線與直線的交點(diǎn)為，根據(jù)條件得到為的中點(diǎn)，從而有，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，可得是等邊三角形，千?記直線與直線的交點(diǎn)為，，所以為的中點(diǎn)，所以為等腰三角形，，又，所以千米，故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知點(diǎn)，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.是直角三角形B.若點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形C若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)向量垂直、平行的坐標(biāo)表示，線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解后判斷各選項(xiàng)．【詳解】，，所以，，是直角三角形，A正確.若點(diǎn)，則,，四邊形是平行四邊形，B正確.若，則，C錯(cuò)誤.若，則是中點(diǎn)，，D正確.故選：ABD．10.已知復(fù)數(shù)，，均不為0，則下列說法正確的是（）A.若復(fù)數(shù)滿足，且，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.若，則D若復(fù)數(shù)，滿足，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)概念判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算判斷B；舉反例判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)概念以及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng)，令，a，，則，因?yàn)椋?，所以，則，故，故A正確；對于B選項(xiàng)，令，則由，得，所以，故B正確；對于C選項(xiàng)，令，，此時(shí)，，，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，令，，則，所以，，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.在上的最大值為3D.將的圖象向左平移個(gè)單位長度，得到的新圖象關(guān)于軸對稱【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式及誘導(dǎo)公式化簡，再計(jì)算可判斷A，計(jì)算可判斷B，由自變量范圍求出范圍，換元后利用對勾函數(shù)求最值可判斷C，根據(jù)圖象平移計(jì)算即可判斷D.【詳解】.因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤.因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，B正確.若，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，C正確.，則，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，是兩個(gè)不共線的單位向量，，，若與共線，則______．【答案】【解析】【分析】依題意可得，再由平面向量基本定理得到方程組，解得即可.【詳解】因?yàn)椋遗c共線，所以，即，又，是兩個(gè)不共線的單位向量，所以，解得.故答案為：13.如圖，四邊形的頂點(diǎn)都在圓上，且經(jīng)過圓的圓心，若圓的半徑為，，四邊形的面積為，則______．【答案】【解析】【分析】連接、，即可得到，再由、面積公式及三角恒等變換公式得到，從而求出，即可得解.【詳解】連接、，因?yàn)閳A的半徑為，，則是等邊三角形，所以，四邊形的面積，解得.因?yàn)?，所以，則，所以是等邊三角形，所以.故答案為：14.若，，均為單位向量，且，的取值范圍是，則______，的取值范圍是______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)條件，利用模長的計(jì)算公式，即可求出；設(shè)，根據(jù)條件得到的取值范圍，再利用，分類討論的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】由題可知：，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，不妨設(shè)，則，因?yàn)榈娜≈捣秶?，得到所以的取值范圍是，又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上，的取值范圍是，故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）求的最大值及取得最大值時(shí)x的取值集合．【答案】（1）（2）最大值為0，【解析】【分析】（1）由三角恒等變換化簡函數(shù)解析式，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的最小正周期；（2）由正弦型函數(shù)性質(zhì)求的最大值及取得最大值時(shí)x的取值集合．【小問1詳解】．所以的最小正周期．【小問2詳解】，則函數(shù)最大值為0．當(dāng)取得最大值時(shí)，，即．所以的最大值為0，取得最大值時(shí)的取值集合為16.已知向量，．（1）若，求；（2）若，，求與的夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量垂直的坐標(biāo)表示求得，然后由模的坐標(biāo)表示計(jì)算；（2）由向量平行的坐標(biāo)表示求得，然后由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求向量夾角的余弦值．【小問1詳解】由題意，因?yàn)椋瑒t，得，則，所以；【小問2詳解】由已知，又，，所以，得，則，故．17.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．（1）求角的大??；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用同角公式切化弦，正弦定理邊化角求解即得.（2）利用三角形面積公式求出，再余弦定理列方程求解即得.【小問1詳解】依題意，，在中，由正弦定理得，因此，而，則，又，所以.【小問2詳解】由的面積為，得，解得，由余弦定理得，而，則，解得，，所以的周長為.18.在平行四邊形中，，，，是線段中點(diǎn)，，．（1）若，與交于點(diǎn)，，求的值；（2）求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)、，用、作為一組基底表示出，再由平面向量基本定理得到方程組，求出、，即可得到，從而求出、，即可得解；（2）用、作為基底表示出、，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及定義得到關(guān)于的函數(shù)，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，即為的中點(diǎn)，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，設(shè)，則，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，設(shè)，則，又、不共線，根據(jù)平面向量基本定理得，解得，所以，又，則，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.19.若定義在A上的函數(shù)和定義在B上的函數(shù)，對任意的，存在，使得（t為常數(shù)），則稱與具有關(guān)系．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)，，判斷與是否具有關(guān)系，并說明理由；（2）若函數(shù)，，且與具有關(guān)系，求a的最大值；（3）若函數(shù)，，且與具有關(guān)系，求m的取值范圍．【答案】（1）與是否具有關(guān)系，理由見解析（2）5（3）或【解析】【分析】（1）先求出，在的值域?yàn)?，從而得到對任意的，存在，使得，得到結(jié)論；（2）求出，結(jié)合，得到，得到不等式，求出的取值范圍，求出最大值；（3）由題意得到的值域，其中，換元后得到，由對稱軸進(jìn)行分類討論，得到的值域，從而得到不等式，求出答案.【小問1詳解】與是否具有關(guān)系，理由如下：時(shí)，，故，，又在的值域?yàn)?，由于，即是的真子集，故對任意的，存在，使得，與是否具有關(guān)系.【小問2詳解】時(shí)，，由題意得，任意的，存在，使得，又，，故，即，解得，故的最大值為5；【小問3詳解】由題意得對任意的，存在，使得，又，故的值域，令，，令，則，設(shè)，若對稱軸，即時(shí)，，則，解得，與求交集，結(jié)果為，若，即時(shí)，，則，解得，與取交集，結(jié)果為，若，即時(shí)，，則，解得或，與取交集，結(jié)果為，若，即時(shí)，，則