2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章立體幾何初步專題訓(xùn)練含解析北師大版必修第二冊(cè)

PAGE專題強(qiáng)化訓(xùn)練(五)立體幾何初步(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．如圖所示，視察四個(gè)幾何體，其中推斷正確的是()A．①是棱臺(tái) B．②是圓臺(tái)C．③是棱錐 D．④不是棱柱C[圖①不是由棱錐截來的，所以①不是棱臺(tái)；圖②上、下兩個(gè)面不平行，所以②不是圓臺(tái)；圖③是棱錐，圖④前、后兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊平行，所以④是棱柱，故選C．]2．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線AB，A1D1A．30° B．45°C．60° D．90°D[由于AD∥A1D1，則∠BAD是異面直線AB，A1D1所成的角，很明顯∠BAD＝90°.]3．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)說法：①若m⊥α，n∥α，則m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m∥α，則m∥γ；③若m∥α，n∥α，則m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β.其中正確說法的序號(hào)是()A．① B．②③C．③④ D．①④A[②假如m?γ，則m不平行于γ；③若m∥α，n∥α，則m，n相交，平行或異面；④若α⊥γ，β⊥γ，則α，β相交或平行．]4．正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中，有4個(gè)為每個(gè)面都是等邊三角形的正三棱錐的頂點(diǎn)，則這個(gè)三棱錐的表面積與正方體的表面積之比為()A．1∶eq\r(2) B．1∶eq\r(3)C．2∶eq\r(2) D．3∶eq\r(6)B[設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，S正方體表面積＝6a2，正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)a，則三棱錐表面積為S三棱錐表面積＝4×eq\f(\r(3),4)×2a2＝2eq\r(3)a2.∴eq\f(S三棱錐表面積,S正方體表面積)＝eq\f(2\r(3)a2,6a2)＝eq\f(1,\r(3)).]5．下列說法中，錯(cuò)誤的是()A．若平面α∥平面β，平面α∩平面γ＝l，平面β∩平面γ＝m，則l∥mB．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝l，m?α，m⊥l，則m⊥βC．若直線l⊥平面α，平面α⊥平面β，則l∥βD．若直線l∥平面α，平面α∩平面β＝m，直線l?平面β，則l∥mC[對(duì)于A，由面面平行的性質(zhì)定理可知為真命題，故A正確；對(duì)于B，由面面垂直的性質(zhì)定理可知為真命題，故B正確；對(duì)于C，若l⊥α，α⊥β，則l∥β或l?β，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由線面平行的性質(zhì)定理可知為真命題，故D正確．綜上，選C．]二、填空題6．半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為________．eq\f(\r(3),24)πR3[設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，則有2πr＝πR，則r＝eq\f(1,2)R.又由已知，得圓錐母線長(zhǎng)為R，所以圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(R2－r2)＝eq\f(\r(3),2)R，故體積為V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(3),24)πR3.]7．在三棱錐P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長(zhǎng)為________．8[如圖，過點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA、PC于點(diǎn)E、F，過E、F分別作EN∥PB、FM∥PB，分別交AB、BC于點(diǎn)N、M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(面EFMN為所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周長(zhǎng)為2×4＝8.]8．如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的點(diǎn)，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC．(填圖中的一條直線)AF[∵AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的點(diǎn)，∴BC⊥AC．∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．∵AF?平面PAC，∴AF⊥BC．又AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC．]三、解答題9．如圖，在三棱錐V－ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB．[證明](1)因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥VB．又因?yàn)閂B?平面MOC，OM?平面MOC，所以VB∥平面MOC．(2)因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB．又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，且OC?平面ABC，所以O(shè)C⊥平面VAB．又因?yàn)镺C?平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB．10．如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1，B′C∩BC′＝O，求：(1)AO與A′C′所成角的大??；(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB與平面AOC所成角的大?。甗解](1)∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC．∵OC⊥OB，AB⊥平面BCC′B′，∴OC⊥AB．又AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又OA?平面ABO，∴OC⊥OA．在Rt△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)，AC＝eq\r(2)，sin∠OAC＝eq\f(OC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠OAC＝30°.即AO與A′C′所成的角為30°.(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.由題知OE⊥平面ABCD，∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．在Rt△OAE中，OE＝eq\f(1,2)，AE＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，∴tan∠OAE＝eq\f(OE,AE)＝eq\f(\r(5),5).(3)由(1)知OC⊥平面AOB．又∵OC?平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC．即平面AOB與平面AOC所成的角為90°.11．已知a，b表示兩條不同的直線，α，β表示兩個(gè)不同的平面，下列說法錯(cuò)誤的是()A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，則a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，則α⊥βC．若a⊥α，a⊥b，α∥β，則b∥βD．若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥βC[對(duì)于A，若a⊥α，α∥β，則a⊥β，又b⊥β，故a∥b，故A正確；對(duì)于B，若a⊥α，a⊥b，則b?α或b∥α，∴存在直線m?α，使得m∥b，又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正確；對(duì)于C，若a⊥α，a⊥b，則b?α或b∥α，又α∥β，∴b?β或b∥β，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若α∩β＝a，a∥b，則b∥α或b∥β，故D正確，故選C．]12．如圖，三棱錐V－ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA＝VB，AD＝BD，則下列結(jié)論中不成立的是()A．AC＝BCB．VC⊥VDC．AB⊥VCD．S△VCD·AB＝S△ABC·VOB[因?yàn)閂A＝VB，AD＝BD，所以VD⊥AB．因?yàn)閂O⊥平面ABC，AB?平面ABC，所以VO⊥AB．又VO∩VD＝V，所以AB⊥平面VCD．又CD?平面VCD，VC?平面VCD，所以AB⊥VC，AB⊥CD．又AD＝BD，所以AC＝BC(線段垂直平分線的性質(zhì))．因?yàn)閂O⊥平面ABC，所以VV－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·VO.因?yàn)锳B⊥平面VCD，所以VV－ABC＝VB－VCD＋VA－VCD＝eq\f(1,3)S△VCD·BD＋eq\f(1,3)S△VCD·AD＝eq\f(1,3)S△VCD·(BD＋AD)＝eq\f(1,3)S△VCD·AB，所以eq\f(1,3)S△ABC·VO＝eq\f(1,3)S△VCD·AB，即S△VCD·AB＝S△ABC·VO.綜上知，A，C，D正確．]13．已知四面體A－BCD的棱都相等，G為△ABC的重心，則異面直線AG與CD所成角的余弦值為________．eq\f(\r(3),6)[如圖，設(shè)四面體A－BCD的棱長(zhǎng)為a，延長(zhǎng)AG交BC于E，取BD的中點(diǎn)F，連接EF，AF.由題意知E為BC的中點(diǎn)，所以CD∥EF，所以∠AEF即異面直線AG與CD所成的角．由題意知AE＝AF＝eq\f(\r(3),2)a，EF＝eq\f(1,2)a，則在△AEF中，cos∠AEF＝eq\f(\f(1,2)EF,AE)＝eq\f(\r(3),6).]14．已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB＝90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)．若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為________．144π[∵S△OAB是定值，且VO－ABC＝VC－OAB，∴當(dāng)OC⊥平面OAB時(shí)，VC－OAB最大，即VO－ABC最大．設(shè)球O的半徑為R，則(VO－ABC)max＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝eq\f(1,6)R3＝36，∴R＝6，∴球O的表面積S＝4πR2＝4π×62＝144π.]15．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\o(CD,\s\up10(︵))所在平面垂直，M是eq\o(CD,\s\up10(︵))上異于C，D的點(diǎn)．(1)證明：平面AMD⊥平面BMC；(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說明理由．[解](1)證明：由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因?yàn)锽C⊥CD，BC?平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥D