浙江省嘉興市七校2025屆高二數學第一學期期末監(jiān)測模擬試題含解析

浙江省嘉興市七校2025屆高二數學第一學期期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，過拋物線的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C.若，且，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.2．設等差數列，的前n項和分別是，若，則（）A. B.C. D.3．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題4．已知是函數的導函數，則（）A0 B.2C.4 D.65．用數學歸納法證明時，第一步應驗證不等式（）A. B.C. D.6．已知圓：，是直線的一點，過點作圓的切線，切點為，，則的最小值為（）A. B.C. D.7．已知，是雙曲線的左、右焦點，點A是的左頂點，為坐標原點，以為直徑的圓交的一條漸近線于、兩點，以為直徑的圓與軸交于兩點，且平分，則雙曲線的離心率為（）A. B.2C. D.38．實數m變化時，方程表示的曲線不可以是（）A.直線 B.圓C橢圓 D.雙曲線9．已知等差數列的前項和為，，，則（）A. B.C. D.10．設橢圓C：的右焦點為F，過原點O的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，那么的周長的取值范圍為（）A. B.C. D.11．已知函數的導函數滿足，則（）A. B.C.3 D.412．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A.54 B.45C.27 D.81二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，，，則動點P的軌跡方程為______，P到坐標原點的距離的最小值為______14．若等比數列滿足，則的前n項和____________15．下圖是4個幾何體的展開圖，圖①是由4個邊長為3的正三角形組成；圖②是由四個邊長為3的正三角形和一個邊長為3的正方形組成；圖③是由8個邊長為3的正三角形組成；圖④是由6個邊長為3的正方形組成若直徑為4的球形容器（不計容器厚度）內有一幾何體，則該幾何體的展開圖可以是______（填所有正確結論的番號）16．已知數列滿足，，則使得成立的n的最小值為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動圓過點且動圓內切于定圓：記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線方程；（2）若、是曲線上兩點，點滿足求直線的方程.18．（12分）已知數列是公差為2的等差數列，它的前n項和為Sn，且成等比數列.（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和.19．（12分）已知數列滿足，且，，成等比數列.（1）求數列的通項公式;（2）設數列的前項和為，求的最小值及此時的值.20．（12分）如圖，在長方體中，，．點E在上，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值21．（12分）如圖，四棱錐中，是邊長為4的正三角形，為正方形，平面平面，、分別為、中點.（1）證明：平面；（2）求直線EP與平面AEF所成角的正弦值.22．（10分）設數列的前項和為，已知，且（1）證明：；（2）求

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】分別過點作準線的垂線，分別交準線于點，,設，推出；根據，進而推導出，結合拋物線定義求出；最后由相似比推導出，即可求出拋物線的方程.【詳解】如圖分別過點作準線的垂線，分別交準線于點，,設與交于點.設，,，由拋物線定義得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以拋物線的方程為.故選：A2、C【解析】結合等差數列前項和公式求得正確答案.【詳解】依題意等差數列，的前n項和分別是，由于，故可設，，當時，，，所以，所以.故選：C3、B【解析】根據正弦函數的性質判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【詳解】因為的值域為，所以命題為假命題因為，所以命題為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B4、D【解析】由導數運算法則求出導函數，再計算導數值【詳解】由題意，，所以故選：D5、B【解析】取即可得到第一步應驗證不等式.【詳解】由題意得，當時，不等式為故選：B6、A【解析】根據題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線長定理，將問題轉化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，設四邊形的面積為，由題設及圓的切線性質得，，∵，∴，圓心到直線的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A7、B【解析】由直徑所對圓周角是直角，結合雙曲線的幾何性質和角平分線定義可解.【詳解】由圓的性質可知，，，所以，因為，所以又因為平分，所以，由，得，所以，即所以故選：B8、B【解析】根據的取值分類討論說明【詳解】時方程化為，為直線，時，方程化為，為橢圓，時，方程化為，為雙曲線，而，因此曲線不可能是圓故選：B9、C【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，解得，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數列的通項公式和前項和公式，屬于基礎題.10、A【解析】根據橢圓的對稱性橢圓的定義可得，結合的范圍求的周長的取值范圍.【詳解】的周長，又因為A，B兩點為過原點O的動直線l與橢圓C的交點，所以A，B兩點關于原點對稱，橢圓C的左焦點為，則，所以，又因為三點不共線，所以，所以的周長的取值范圍為，故選：A.11、C【解析】先對函數求導，再由，可求出的關系式，然后求【詳解】由，得，因為，所以，所以，故選：C12、B【解析】由三視圖可得該幾何體是由平行六面體切割掉一個三棱錐而成，直觀圖如圖所示，所以該幾何體的體積為故選B點睛：本題考查了組合體的體積，由三視圖還原出幾何體，由四棱柱的體積減去三棱錐的體積.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.l【解析】根據雙曲線的定義得到動點的軌跡方程，從而求出到坐標原點的距離的最小值；【詳解】解：因為，所以動點P的軌跡為以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的下支．因為，，所以，，，所以動點P的軌跡方程為故P到坐標原點的距離的最小值為故答案為：；；14、##【解析】由已知及等比數列的通項公式得到首項和公比，再利用前n項和公式計算即可.【詳解】設等比數列的公比為，由已知，得，解得，所以.故答案為：15、①【解析】根據幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進而求其外接球半徑，并與4比較大小，即可確定答案.【詳解】若幾何體外接球球心為，半徑為，①由題設，幾何體為棱長為3的正四面體，為底面中心，則，，所以，可得，即，滿足要求；②由題設，幾何體為棱長為3的正四棱錐，為底面中心，則，所以，可得，即，不滿足要求；③由題設，幾何體為棱長為3的正八面體，其外接球直徑同棱長為3的正四棱錐，故不滿足要求；④由題設，幾何體為棱長為3的正方體，體對角線的長度即為外接球直徑，所以，不滿足要求；故答案為：①16、11【解析】由題設可得，結合等比數列的定義知從第二項開始是公比為2的等比數列，進而寫出的通項公式，即可求使成立的最小值n.【詳解】因為，所以，兩式相除得，整理得.因為，故從第二項開始是等比數列，且公比為2，因為，則，所以，則，由得：，故故答案為：11.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據兩圓內切，以及圓過定點列式求軌跡方程；（2）利用重心坐標公式可知，，再設直線的方程為與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系求解直線方程.【詳解】（1）由已知可得，兩式相加可得則點的軌跡是以、為焦點，長軸長為的橢圓，則因此曲線的方程是(2)因為，則點是的重心，易得直線的斜率存在，設直線的方程為，聯立消得：且①②由①②解得則直線的方程為即【點睛】本題考查直線與橢圓的問題關系，本題的關鍵是根據求得，.18、（1），（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出，進而可求得的通項公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項相消求和法可求得結果【詳解】（1）因為數列是公差為2的等差數列，且成等比數列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.19、（1）（2）；或【解析】（1）由題意得到數列為公差為的等差數列，結合，，成等比數列，列出方程求得，即可得到數列的通項公式；（2）由，得到時，，當時，，當時，，結合等差數列的求和公式，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，數列滿足，所以數列為公差為的等差數列，又由，，成等比數列，可得，即，解得，所以數列的通項公式.【小問2詳解】解：由數列的通項公式，令，即，解得，所以當時，；當時，；當時，，所以當或時，取得最小值，最小值為.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，分別寫出，，的坐標，證明，，即可得證；（2）由（1）知，的法向量為，直接寫出平面法向量，按照公式求解即可.【小問1詳解】在長方體中，以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標系因為，，所以，，，，，則，，，所以有，，則，，又所以平面小問2詳解】由（1）知平面的法向量為，而平面法向量為所以，由圖知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為21、（1）見解析（2）【解析】（1）連接，證明，即可證明平面；（2）取的中點，連接，由平面平面，得平面，建立如圖所示空間直角坐標系，利用向量法即可求得答案.【小問1詳解】證明：連接，是正方形，是的中點，是的中點，是的中點，，平面，平面，平面；【小問2詳解】取的中點，連接，則，因為是邊長為4的正三角形，所以，因為平面平面，且平面平面，所以平面，建立如圖所示空間直角坐標系，則，則，設平面的法向量，則有，可取，則，所以直線EP與平面AEF所成角的正弦值為.22、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當時，由題可得，，兩式子相減可得，即，然后驗證當n=1時，命題成立即可；（2）通過求解數列的奇數項與偶數項的和即可得到其對應前n項和的通項公式.【詳解】（1）由條件，對任意，有，因而對任意，有，兩式相減，得，即，又，所以，故對一切，（2）由（1）知，，所以，于是數列是首項，公比為3的等比數列，數列是首項，公比為3的等比數列，所以，于是從而，綜上所述，