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文檔簡介
專題4.3等差數(shù)列的概念(重難點題型精講)1.等差數(shù)列的概念(1)等差數(shù)列的概念一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,常用字母d表示.
(2)對等差數(shù)列概念的理解
①“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”.
②由概念可知,如果-()恒等于一個常數(shù),那么數(shù)列{}就是等差數(shù)列.
③如果一個數(shù)列,不是從第2項起,而是從第3項或以后起,每一項與它的前一項的差是同一常數(shù),那么這個數(shù)列不是等差數(shù)列.
④若數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差盡管都等于常數(shù),但這些常數(shù)不都相等,那么這個數(shù)列不是等差數(shù)列.
⑤對于公差d,需要強調(diào)的是它是從第2項起,每一項與其前一項的差,不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.2.等差中項由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列,這時A叫做a與b的等差中項,則有2A=a+b.反之,若2A=a+b,則a,A,b三個數(shù)成等差數(shù)列.3.等差數(shù)列的通項公式(1)等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式為=+(n-1)d,其中為首項,d為公差.(2)等差數(shù)列通項公式的變形已知等差數(shù)列{}中的任意兩項,(n,m,m≠n),則
-=(n-m)d4.等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系由等差數(shù)列的通項公式=+(n-1)d,可得=dn+(-d),當d=0時,=為常數(shù)列,當d≠0時,=+(n-1)d是關于n的一次函數(shù),一次項系數(shù)就是等差數(shù)列的公差,因此等差數(shù)列{}的圖象是直線y=dx+(-d)上一群均勻分布的孤立的點.5.等差數(shù)列的單調(diào)性由等差數(shù)列的通項公式和一次函數(shù)的關系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.
①當d>0時,數(shù)列為遞增數(shù)列,如圖①所示;
②當d<0時,數(shù)列為遞減數(shù)列,如圖②所示;
③當d=0時,數(shù)列為常數(shù)列,如圖③所示.
因此,無論公差為何值,等差數(shù)列都不會是擺動數(shù)列.6.等差數(shù)列的性質(zhì)設{}為等差數(shù)列,公差為d,則
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q),則+=+.
(2)數(shù)列{+b}(,b是常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列.
(3)若{}是公差為d'的等差數(shù)列,{}與{}的項數(shù)一致,則數(shù)列{+(,為常數(shù))是公差為d+d'的等差數(shù)列.
(4)下標成等差數(shù)列且公差為m的項,,,(k,m)組成公差為md的等差數(shù)列.
(5)在等差數(shù)列{}中,若=m,=n,m≠n,則有=0.【題型1等差數(shù)列的基本量的求解】【方法點撥】根據(jù)所給條件,求解等差數(shù)列的基本量,即可得解.【例1】(2022·河南商丘·高三階段練習(文))已知an為等差數(shù)列,若a30=100,a100=30A.1 B.12 C.?1 D.【變式1-1】(2022·河南安陽·高二期中)已知等差數(shù)列an中,a3+a5=18,A.1 B.2 C.3 D.4【變式1-2】(2022·浙江臺州·模擬預測)已知數(shù)列an滿足:?m,n∈N*,am+n=amA.1 B.2 C.3 D.2022【變式1-3】(2022·甘肅·高二階段練習)首項為?24的等差數(shù)列,從第10項開始為正數(shù),則公差d的取值范圍是(
).A.d>83 B.d<3 C.53【題型2等差中項】【方法點撥】根據(jù)題目條件,結合等差中項的定義,即可得解.【例2】(2022·陜西·高二階段練習)已知a=4,b=8,則a,b的等差中項為(A.6 B.5 C.7 D.8【變式2-1】(2022·全國·高二課時練習)已知a=13+2,b=13?A.3 B.2 C.33 D.【變式2-2】(2022·四川省高二階段練習(文))等差數(shù)列an的前三項依次為x,2x+1,4x+2,則x的值為(
A.5x+5 B.2x+1 C.2 D.0【變式2-3】(2022·浙江·高三專題練習)設a、m是實數(shù),則“m=5”是“m為a和10?a的等差中項”的(
)A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.非充分也非必要條件【題型3等差數(shù)列的通項公式】【方法點撥】結合所給數(shù)列的遞推公式,分析數(shù)列之間的規(guī)律關系,轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】(2022·甘肅·高二階段練習)已知數(shù)列an為等差數(shù)列,a4=2,a7A.a(chǎn)n=?2n+10 B.a(chǎn)n=?2n+5 C.【變式3-1】(2022·陜西寶雞·高二期中)已知等差數(shù)列an的前三項為a?1,a+1,2a+1,則此數(shù)列的通項公式為(
A.2n?5 B.2n?3C.2n?1 D.2n+1【變式3-2】(2022·全國·高一課時練習)在等差數(shù)列an中,若a7=4,a19A.a(chǎn)n=n+1C.a(chǎn)n=【變式3-3】(2022·河南·二模(理))已知等差數(shù)列{an}各項均為正數(shù),a1+A.2n B.n+2C.3n?2 D.n【題型4等差數(shù)列的單調(diào)性】【方法點撥】判斷單調(diào)性的方法:①轉(zhuǎn)化為函數(shù),借助函數(shù)的單調(diào)性,如基本初等函數(shù)的單調(diào)性等,研究數(shù)列的單調(diào)性.②利用定義判斷:作差比較法,即作差比較與的大??;作商比較法,即作商比較與的大小,從而判斷出數(shù)列{}的單調(diào)性.【例4】(2022·北京·高三階段練習)已知等差數(shù)列an單調(diào)遞增且滿足a1+a8A.-∞,3 B.3,6 C.3,+∞ D.6,+∞【變式4-1】(2022·全國·高二課時練習)已知點1,5,2,3是等差數(shù)列an圖象上的兩點,則數(shù)列an為(A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.常數(shù)列 D.無法確定【變式4-2】(2022·北京·高考真題)設an是公差不為0的無窮等差數(shù)列,則“an為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0,當n>N0A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【變式4-3】(2021·全國·高二課時練習)下面是關于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個結論:p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列;p3:數(shù)列ann是遞增數(shù)列;p4:數(shù)列{aA.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4【題型5等差數(shù)列的判定與證明】【方法點撥】判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法:(1)定義法:-=d(常數(shù))(n){}是等差數(shù)列.(2)遞推法(等差中項法):=+(n){}是等差數(shù)列.(3)通項公式法:=pn+q(p,q為常數(shù),n){}是等差數(shù)列.【例5】(2022·江蘇·高二階段練習)已知數(shù)列an滿足an+1=(1)求a2(2)證明:數(shù)列1a【變式5-1】(2022·全國·高三專題練習)在數(shù)列{an}中,a(1)求a2,a(2)證明:數(shù)列1an為等差數(shù)列,并求數(shù)列【變式5-2】(2022·河南·高三階段練習(文))已知數(shù)列an滿足a1=1,a(1)證明:an(2)求數(shù)列an【變式5-3】(2022·全國·高三專題練習)若數(shù)列an的各項均為正數(shù),對任意n∈N*,an+12=a(1)求a1(2)求證:數(shù)列an【題型6利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題】【方法點撥】對于等差數(shù)列的運算問題,可觀察已知項和待求項的序號之間的關系,利用等差數(shù)列的性質(zhì)進行求解,這樣可以減少運算量,提高運算速度.【例6】(2022·江蘇·高二期中)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,a2+A.8 B.12 C.15 D.24【變式6-1】(2022·福建莆田·高二期中)公差不為0的等差數(shù)列an中,a3+A.10 B.18 C.22 D.28【變式6-2】(2022·浙江寧波·一模)已知數(shù)列an與bn均為等差數(shù)列,且a3+b5=4A.5 B.6 C.7 D.8【變式6-3】(2022·廣東肇慶·高三階段練習)已知an是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列,且a6+2a7A.10 B.20 C.25 D.50專題4.3等差數(shù)列的概念(重難點題型精講)1.等差數(shù)列的概念(1)等差數(shù)列的概念一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,常用字母d表示.
(2)對等差數(shù)列概念的理解
①“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”.
②由概念可知,如果-()恒等于一個常數(shù),那么數(shù)列{}就是等差數(shù)列.
③如果一個數(shù)列,不是從第2項起,而是從第3項或以后起,每一項與它的前一項的差是同一常數(shù),那么這個數(shù)列不是等差數(shù)列.
④若數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差盡管都等于常數(shù),但這些常數(shù)不都相等,那么這個數(shù)列不是等差數(shù)列.
⑤對于公差d,需要強調(diào)的是它是從第2項起,每一項與其前一項的差,不要把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒.2.等差中項由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列,這時A叫做a與b的等差中項,則有2A=a+b.反之,若2A=a+b,則a,A,b三個數(shù)成等差數(shù)列.3.等差數(shù)列的通項公式(1)等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式為=+(n-1)d,其中為首項,d為公差.(2)等差數(shù)列通項公式的變形已知等差數(shù)列{}中的任意兩項,(n,m,m≠n),則
-=(n-m)d4.等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系由等差數(shù)列的通項公式=+(n-1)d,可得=dn+(-d),當d=0時,=為常數(shù)列,當d≠0時,=+(n-1)d是關于n的一次函數(shù),一次項系數(shù)就是等差數(shù)列的公差,因此等差數(shù)列{}的圖象是直線y=dx+(-d)上一群均勻分布的孤立的點.5.等差數(shù)列的單調(diào)性由等差數(shù)列的通項公式和一次函數(shù)的關系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.
①當d>0時,數(shù)列為遞增數(shù)列,如圖①所示;
②當d<0時,數(shù)列為遞減數(shù)列,如圖②所示;
③當d=0時,數(shù)列為常數(shù)列,如圖③所示.
因此,無論公差為何值,等差數(shù)列都不會是擺動數(shù)列.6.等差數(shù)列的性質(zhì)設{}為等差數(shù)列,公差為d,則
(1)若m+n=p+q(m,n,p,q),則+=+.
(2)數(shù)列{+b}(,b是常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列.
(3)若{}是公差為d'的等差數(shù)列,{}與{}的項數(shù)一致,則數(shù)列{+(,為常數(shù))是公差為d+d'的等差數(shù)列.
(4)下標成等差數(shù)列且公差為m的項,,,(k,m)組成公差為md的等差數(shù)列.
(5)在等差數(shù)列{}中,若=m,=n,m≠n,則有=0.【題型1等差數(shù)列的基本量的求解】【方法點撥】根據(jù)所給條件,求解等差數(shù)列的基本量,即可得解.【例1】(2022·河南商丘·高三階段練習(文))已知an為等差數(shù)列,若a30=100,a100=30A.1 B.12 C.?1 D.【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列對應的點都在一條直線上這個性質(zhì)求公差.【解答過程】設an的公差為d,則d=故選:C.【變式1-1】(2022·河南安陽·高二期中)已知等差數(shù)列an中,a3+a5=18,A.1 B.2 C.3 D.4【解題思路】利用等差數(shù)列的通項公式得到關于a1,d的方程組,從而求得【解答過程】因為an所以a1+2d+a所以an的公差為2故選:B.【變式1-2】(2022·浙江臺州·模擬預測)已知數(shù)列an滿足:?m,n∈N*,am+n=amA.1 B.2 C.3 D.2022【解題思路】令m=1,則an+1=a【解答過程】令m=1,則an+1故an+1?a故數(shù)列an∴a∴aa1故選:A.【變式1-3】(2022·甘肅·高二階段練習)首項為?24的等差數(shù)列,從第10項開始為正數(shù),則公差d的取值范圍是(
).A.d>83 B.d<3 C.53【解題思路】根據(jù)給定條件,利用等差數(shù)列通項公式列式求解作答.【解答過程】依題意,令該等差數(shù)列為{an}因數(shù)列{an}從第10項開始為正數(shù),因此a9≤0所以公差d的取值范圍是83故選:D.【題型2等差中項】【方法點撥】根據(jù)題目條件,結合等差中項的定義,即可得解.【例2】(2022·陜西·高二階段練習)已知a=4,b=8,則a,b的等差中項為(A.6 B.5 C.7 D.8【解題思路】利用等差中項的性質(zhì)進行求解即可【解答過程】設a,b的等差中項為所以2m=a+b,因為a=4,b=8,所以m=6,故選:A.【變式2-1】(2022·全國·高二課時練習)已知a=13+2,b=13?A.3 B.2 C.33 D.【解題思路】利用等差中項的定義求解.【解答過程】由等差中項的定義得:則a,b的的等差中項為:a+b2=3故選:A.【變式2-2】(2022·四川省高二階段練習(文))等差數(shù)列an的前三項依次為x,2x+1,4x+2,則x的值為(
A.5x+5 B.2x+1 C.2 D.0【解題思路】根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到方程,解得即可;【解答過程】解:依題意22x+1=x+4x+2,解得故選:D.【變式2-3】(2022·浙江·高三專題練習)設a、m是實數(shù),則“m=5”是“m為a和10?a的等差中項”的(
)A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.非充分也非必要條件【解題思路】利用等差中項的定義判斷可得結論.【解答過程】m為a和10?a的等差中項?m=a+10?a因此,“m=5”是“m為a和10?a的等差中項”的充要條件.故選:C.【題型3等差數(shù)列的通項公式】【方法點撥】結合所給數(shù)列的遞推公式,分析數(shù)列之間的規(guī)律關系,轉(zhuǎn)化求解即可.【例3】(2022·甘肅·高二階段練習)已知數(shù)列an為等差數(shù)列,a4=2,a7A.a(chǎn)n=?2n+10 B.a(chǎn)n=?2n+5 C.【解題思路】設數(shù)列an的首項為a1,公差為d,列方程組求出【解答過程】解:設數(shù)列an的首項為a1,公差為由題得a1+3d=2所以數(shù)列的通項為an故選:A.【變式3-1】(2022·陜西寶雞·高二期中)已知等差數(shù)列an的前三項為a?1,a+1,2a+1,則此數(shù)列的通項公式為(
A.2n?5 B.2n?3C.2n?1 D.2n+1【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列an的前三項為a?1,a+1,2a+1,由2a+1=【解答過程】因為等差數(shù)列an的前三項為a?1,a+1,2a+1所以2a+1解得a=2,所以a1所以an故選:C.【變式3-2】(2022·全國·高一課時練習)在等差數(shù)列an中,若a7=4,a19A.a(chǎn)n=n+1C.a(chǎn)n=【解題思路】利用等差數(shù)列的通項公式,列式求得數(shù)列的基本量,進而求得其通項公式.【解答過程】設等差數(shù)列an的公差為d,則a因為a7=4a19=2所以an的通項公式為a故選:A.【變式3-3】(2022·河南·二模(理))已知等差數(shù)列{an}各項均為正數(shù),a1+A.2n B.n+2C.3n?2 D.n【解題思路】利用等差數(shù)列的性質(zhì)及通項公式求得首項與公差,即可得到數(shù)列{a【解答過程】設等差數(shù)列{a由a1+a2+又a1∴a1?∴a1,a3是方程∴a1=2,a故數(shù)列{an故選A.【題型4等差數(shù)列的單調(diào)性】【方法點撥】判斷單調(diào)性的方法:①轉(zhuǎn)化為函數(shù),借助函數(shù)的單調(diào)性,如基本初等函數(shù)的單調(diào)性等,研究數(shù)列的單調(diào)性.②利用定義判斷:作差比較法,即作差比較與的大??;作商比較法,即作商比較與的大小,從而判斷出數(shù)列{}的單調(diào)性.【例4】(2022·北京·高三階段練習)已知等差數(shù)列an單調(diào)遞增且滿足a1+a8A.-∞,3 B.3,6 C.3,+∞ D.6,+∞【解題思路】設出公差,根據(jù)單調(diào)遞增,得到d>0,結合等差數(shù)列的性質(zhì)得到a1+【解答過程】因為an為等差數(shù)列,設公差為d因為數(shù)列an單調(diào)遞增,所以d所以a1則2a6-6=3故選:C.【變式4-1】(2022·全國·高二課時練習)已知點1,5,2,3是等差數(shù)列an圖象上的兩點,則數(shù)列an為(A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.常數(shù)列 D.無法確定【解題思路】利用等差數(shù)列的圖象所在直線的斜率判斷.【解答過程】等差數(shù)列an的圖象所在直線的斜率k=則直線呈下降趨勢,故數(shù)列an故選:B.【變式4-2】(2022·北京·高考真題)設an是公差不為0的無窮等差數(shù)列,則“an為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0,當n>N0A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解題思路】設等差數(shù)列an的公差為d,則d≠0【解答過程】設等差數(shù)列an的公差為d,則d≠0,記x為不超過x若an為單調(diào)遞增數(shù)列,則d>0若a1≥0,則當n≥2時,an>a由an=a1+n?1d>0可得n>1?所以,“an是遞增數(shù)列”?“存在正整數(shù)N0,當n>N若存在正整數(shù)N0,當n>N0時,an>0,取k∈假設d<0,令an=ak+當n>k?akd+1時,a所以,“an是遞增數(shù)列”?“存在正整數(shù)N0,當n>N所以,“an是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0,當n>N故選:C.【變式4-3】(2021·全國·高二課時練習)下面是關于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個結論:p1:數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;p2:數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列;p3:數(shù)列ann是遞增數(shù)列;p4:數(shù)列{aA.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4【解題思路】公差d>0的等差數(shù)列an是遞增數(shù)列;數(shù)列n??an不一定是遞增數(shù)列;數(shù)列【解答過程】解:設等差數(shù)列首項a1,d>0,則an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),∴數(shù)列{an}遞增,故pnan=dn2+(a1-d)n,當n<d?a12dann=d+a1?dn,當[an+1+3(n+1)d]-(an+3nd)=an+1-an+3d=4d>0,所以{an+3nd}遞增,故故選:D.【題型5等差數(shù)列的判定與證明】【方法點撥】判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法:(1)定義法:-=d(常數(shù))(n){}是等差數(shù)列.(2)遞推法(等差中項法):=+(n){}是等差數(shù)列.(3)通項公式法:=pn+q(p,q為常數(shù),n){}是等差數(shù)列.【例5】(2022·江蘇·高二階段練習)已知數(shù)列an滿足an+1=(1)求a2(2)證明:數(shù)列1a【解題思路】(1)利用賦值法,由遞推關系式依次求得a2(2)將推遞關系式進行變形,得到1a【解答過程】(1)因為an+1=所以a2(2)因為an+1所以an+1則1a故1a又a1=3,所以所以數(shù)列1an?2是首項為1【變式5-1】(2022·全國·高三專題練習)在數(shù)列{an}中,a(1)求a2,a(2)證明:數(shù)列1an為等差數(shù)列,并求數(shù)列【解題思路】(1)利用賦值法得到關于a2(2)利用倒數(shù)法得到1an+1?1a【解答過程】(1)因為2a所以當n=1時,2a2a1=a1當n=2時,2a3a2=a2所以a2=1(2)因為2a所以1an+1?所以數(shù)列1a故1an=3+【變式5-2】(2022·河南·高三階段練習(文))已知數(shù)列an滿足a1=1,a(1)證明:an(2)求數(shù)列an【解題思路】(1)依題意可得an?1(2)由(1)可得an2+1a【解答過程】(1)解:因為an所以an?1an所以an又a1=1,所以所以an2+1a(2)解:由(1)可得an所以an解得a因為a1=1且a
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