舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修2專題8.7 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（重難點題型精講）（含答案及解析）

專題8.7空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（重難點題型精講）1．平面(1)平面的概念

生活中的一些物體通常給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.(2)平面的畫法

①與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.

②當(dāng)平面水平放置時，如圖(1)所示，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時，如圖(2)所示，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.(3)平面的表示方法

平面一般用希臘字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱.如圖中的平面可以表示為：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.2．點、直線、平面的位置關(guān)系的符號表示點、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號語言來表示，點為元素，直線、平面都是點構(gòu)成的集合.點與直線(平面)之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示，直線與平面之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示.點、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示舉例如下：3．三個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論(1)三個基本事實及其表示

(2)三個基本事實的作用

基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.

基本事實2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面.

基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.(2)基本事實1和2的三個推論4．空間中直線與直線的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系

我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.5．空間中直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下：6．空間中平面與平面的位置關(guān)系(1)兩種位置關(guān)系兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下：(2)兩種位置關(guān)系平行平面的畫法技巧

畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.7．平面分空間問題一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢?三個平面呢?

(1)兩個平面有兩種情形：

①當(dāng)兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當(dāng)兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).(2)三個平面有五種情形：

①當(dāng)三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當(dāng)兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當(dāng)三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當(dāng)三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當(dāng)三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】【方法點撥】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及其推論，結(jié)合題目條件，進(jìn)行求解即可.【例1】（2023·高一課時練習(xí)）下列命題中，正確命題的個數(shù)是（

）①四邊相等的四邊形為菱形；②若四邊形有兩個對角都為直角，則這個四邊形是圓內(nèi)接四邊形；③“平面不經(jīng)過直線”的等價說法是“直線上至多有一個點在平面內(nèi)”；④若兩個平面有一條公共直線，則這兩平面的所有公共點都在這條公共直線上．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】（2022春·上海浦東新·高二期末）如圖，α∩β=l，A,B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l=M，過A,B,C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過（

）A．點A B．點B C．點C但不過點M D．點C和點M【變式1-2】（2022·高一課時練習(xí)）已知α、β為平面，A、B、M、N為點，a為直線，下列推理中錯誤的是（

）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，則a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，則直線MN?α，直線MN?βC．A∈α，A∈β，則α∩β=AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共線，則α、β重合【變式1-3】（2022·上海·高二專題練習(xí)）下列命題中①空間中三個點可以確定一個平面.②直線和直線外的一點，可以確定一個平面.③如果三條直線兩兩相交，那么這三條直線可以確定一個平面.④如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線可以確定一個平面.⑤如果兩個平面有無數(shù)個公共點，那么這兩個平面重合.真命題的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【題型2點共線、點線共面問題】【方法點撥】證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要依據(jù)是基本事實3.證明點、線共面的主要依據(jù)是基本事實1、基本事實2及其推論，常用的方法有：(1)輔助平面法，先證明有關(guān)點、線確定平面，再證明其余點、線確定平面，最后證明平面,重合；(2)納入平面法，先由條件確定一個平面，再證明有關(guān)的點、線在此平面內(nèi).【例2】（2022秋·上海虹口·高二階段練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)證明：E、F、D、B四點共面；(2)對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC,BD交于點(3)證明：BE、DF、CC【變式2-1】（2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：CE，D1(2)在（1）的結(jié)論中，G是D1E上一點，若FG交平面ABCD于點H，求證：P，E，【變式2-3】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在三棱錐A?BCD中，作截面PQR，PQ，CB的延長線交于點M，RQ，DB的延長線交于點N，RP，DC的延長線交于點K．判斷M，N，K三點是否共線，并說明理由．【題型3直線與直線的位置關(guān)系】【方法點撥】1.定義法：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線異面.2.推論法：一條直線上兩點與另一條與它異面的直線上兩點所連成的兩條直線為異面直線.3.證明立體幾何問題的一種重要方法(反證法)：第一步，提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，由此假設(shè)推出與已知條件或某一基本事實、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步，推翻假設(shè)，從而證明原結(jié)論是正確的.【例3】（2022秋·上海靜安·高二階段練習(xí)）設(shè)A、B、C、D是某長方體四條棱的中點，則直線AB和直線CD的位置關(guān)系是（

）.A．相交 B．平行 C．異面 D．無法確定【變式3-1】（2023秋·上海浦東新·高二期末）已知三條直線l1，l2，l3滿足l1∥l2且lA．平行 B．垂直 C．共面 D．異面【變式3-2】（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，P是正方體ABCD?A1B1C1DA．DD1 B．AC C．AD【變式3-3】（2022秋·湖南常德·高三期中）下圖是正方體的平面展開圖,在這個正方體中,下列判斷不正確的是（

）A．BF∥DN B．CM∥BNC．DF⊥BN D．直線AE與DN的夾角為60【題型4直線與平面的位置關(guān)系】【方法點撥】判斷空間中直線與平面的位置關(guān)系，一般先作出幾何圖形，直觀判斷，然后依據(jù)基本事實給出證明.另外，借助模型(如正方體、長方體)舉反例也是解決這類問題的有效方法.【例4】（2022春·浙江寧波·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．直線在平面內(nèi) B．直線與平面相交但不垂直C．直線與平面相交且垂直 D．直線與平面平行【變式4-1】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）若m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若m//α,α//β，則m//βB．若m⊥α,α⊥β，則m//βC．若m//n,n//α，則m//αD．若m⊥α,α//β，則m⊥β【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）l1、l2是空間兩條直線，α是平面，以下結(jié)論正確的是（A．如果l1∥α，l2∥α，則一定有l(wèi)1∥B．如果l1⊥l2，C．如果l1⊥l2，l2⊥α，則一定有D．如果l1⊥α，l2∥α【變式4-3】（2022春·廣東廣州·高一期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，A．在正方體ABCD?A1BB．在正方體ABCD?A1BC．在正方體ABCD?A1BD．平面α截正方體ABCD?A【題型5平面與平面的位置關(guān)系】【方法點撥】兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：平行和相交.判斷兩個平面之間的位置關(guān)系的主要依據(jù)是兩個平面之間有沒有公共點.解題時要善于將自然語言或符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言，借助空間圖形進(jìn)行判斷.【例5】（2023·高一課時練習(xí)）平面α上有三個不共線點到平面β距離相等，則平面α與平面β的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行【變式5-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）在四棱臺ABCD?A1B1C1DA．相交 B．平行C．不確定 D．異面【變式5-2】（2022·黑龍江·高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，下列命題中的真命題為（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β B．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α⊥β D．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α∥β【變式5-3】（2022·高一課時練習(xí)）給出下列三個命題：①若平面α/平面β，β⊥平面γ，則α⊥γ②若平面α/平面β，β/平面γ，則③若平面α⊥平面β，β⊥平面γ，則α⊥γ．其中真命題的個數(shù)是．A．1 B．2 C．3 D．4【題型6平面分空間問題】【方法點撥】掌握平面分空間的幾種情況，根據(jù)題目條件，進(jìn)行求解即可.【例6】（2022秋·上海浦東新·高二階段練習(xí)）三個平面不可能將空間分成（

）個部分A．5 B．6 C．7 D．8【變式6-1】（2022·高一課時練習(xí)）空間中兩個平面將空間分成的部分?jǐn)?shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．3或4【變式6-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）空間的4個平面最多能將空間分成（

）個區(qū)域．A．13 B．14 C．15 D．16【變式6-3】（2022春·江西·高一階段練習(xí)）三棱柱各面所在平面將空間分為（

）A．14部分 B．18部分 C．21部分 D．24部分專題8.7空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系（重難點題型精講）1．平面(1)平面的概念

生活中的一些物體通常給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.(2)平面的畫法

①與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.

②當(dāng)平面水平放置時，如圖(1)所示，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時，如圖(2)所示，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.(3)平面的表示方法

平面一般用希臘字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四邊形的四個頂點，或者相對的兩個頂點的大寫英文字母作為這個平面的名稱.如圖中的平面可以表示為：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.2．點、直線、平面的位置關(guān)系的符號表示點、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號語言來表示，點為元素，直線、平面都是點構(gòu)成的集合.點與直線(平面)之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示，直線與平面之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示.點、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示舉例如下：3．三個基本事實及基于基本事實1和2的三個推論(1)三個基本事實及其表示

(2)三個基本事實的作用

基本事實1：①確定一個平面；②判斷兩個平面重合；③證明點、線共面.

基本事實2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗平面.

基本事實3：①判斷兩個平面相交；②證明點共線；③證明線共點.(2)基本事實1和2的三個推論4．空間中直線與直線的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系

我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線a,b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖所示.5．空間中直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下：6．空間中平面與平面的位置關(guān)系(1)兩種位置關(guān)系兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下：(2)兩種位置關(guān)系平行平面的畫法技巧

畫兩個互相平行的平面時，要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應(yīng)邊平行.7．平面分空間問題一個平面將空間分成兩部分，那么兩個平面呢?三個平面呢?

(1)兩個平面有兩種情形：

①當(dāng)兩個平面平行時，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當(dāng)兩個平面相交時，將空間分成四部分，如圖(2).(2)三個平面有五種情形：

①當(dāng)三個平面互相平行時，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當(dāng)兩個平面平行，第三個平面與它們相交時，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當(dāng)三個平面相交于同一條直線時，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當(dāng)三個平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點時，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當(dāng)三個平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時，將空間分成七部分，如圖(5).【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】【方法點撥】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及其推論，結(jié)合題目條件，進(jìn)行求解即可.【例1】（2023·高一課時練習(xí)）下列命題中，正確命題的個數(shù)是（

）①四邊相等的四邊形為菱形；②若四邊形有兩個對角都為直角，則這個四邊形是圓內(nèi)接四邊形；③“平面不經(jīng)過直線”的等價說法是“直線上至多有一個點在平面內(nèi)”；④若兩個平面有一條公共直線，則這兩平面的所有公共點都在這條公共直線上．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】根據(jù)空間四邊形可判斷①②錯誤，有平面的基本性質(zhì)可判斷③④正確.【解答過程】由空間四邊形可判斷①②錯誤.“平面不經(jīng)過直線”即直線與平面相交或者平行，所以③正確.由平面的基本性質(zhì)，如果兩個平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線,可判斷④正確.故選：B.【變式1-1】（2022春·上海浦東新·高二期末）如圖，α∩β=l，A,B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l=M，過A,B,C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過（

）A．點A B．點B C．點C但不過點M D．點C和點M【解題思路】利用點線面的位置關(guān)系證得MC?γ與MC?β，從而得到β∩γ=MC，據(jù)此解答即可.【解答過程】對于AB，易得A,B?β，故必不在γ與β的交線上，故AB錯誤；對于CD，因為過A,B,C三點的平面記作γ，所以面ABC與γ是同一個面，因為直線AB∩l=M，所以M∈AB?面ABC，則M∈γ，又C∈面ABC，則C∈γ，所以MC?γ；因為AB∩l=M，α∩β=l，所以M∈l?β，又C∈β，所以MC?β，所以β∩γ=MC，所以γ與β的交線必通過點C和點M，故C錯誤，D正確.故選：D．【變式1-2】（2022·高一課時練習(xí)）已知α、β為平面，A、B、M、N為點，a為直線，下列推理中錯誤的是（

）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，則a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，則直線MN?α，直線MN?βC．A∈α，A∈β，則α∩β=AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共線，則α、β重合【解題思路】利用基本事實2可判斷AB選項；利用基本事實3可判斷C選項；利用基本事實1可判斷D選項.【解答過程】對于A選項，A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，由基本事實2可知a?β，A對；對于B選項，M∈α，N∈α，則直線MN?α，同理可知，直線MN?β，B對；對于C選項，A∈α，A∈β，則A為平面α、β的一個公共點，但平面α、β相交于過點A的一條直線，而不是點A，C錯；對于D選項，A、B、M∈α，且A、B、M不共線，則A、B、M可確定平面α，同理可知，A、B、M可確定平面β，故α、β重合，D對.故選：C.【變式1-3】（2022·上海·高二專題練習(xí)）下列命題中①空間中三個點可以確定一個平面.②直線和直線外的一點，可以確定一個平面.③如果三條直線兩兩相交，那么這三條直線可以確定一個平面.④如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線可以確定一個平面.⑤如果兩個平面有無數(shù)個公共點，那么這兩個平面重合.真命題的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】根據(jù)空間位置關(guān)系可直接判斷各命題.【解答過程】命題①：空間中不共線三個點可以確定一個平面，錯誤；命題②：直線和直線外的一點，可以確定一個平面，正確；命題③：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點，則無法確定一個平面，所以命題③錯誤；命題④：如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線不能確定一個平面，所以命題④錯誤；命題⑤：兩個平面有無數(shù)個公共點，則兩平面可能相交，所以命題⑤錯誤；故選：A.【題型2點共線、點線共面問題】【方法點撥】證明三個或三個以上的點在同一條直線上，主要依據(jù)是基本事實3.證明點、線共面的主要依據(jù)是基本事實1、基本事實2及其推論，常用的方法有：(1)輔助平面法，先證明有關(guān)點、線確定平面，再證明其余點、線確定平面，最后證明平面,重合；(2)納入平面法，先由條件確定一個平面，再證明有關(guān)的點、線在此平面內(nèi).【例2】（2022秋·上海虹口·高二階段練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)證明：E、F、D、B四點共面；(2)對角線A1C與平面BDC1交于點O，AC,BD交于點(3)證明：BE、DF、CC【解題思路】（1）證明EF//BD，即可說明E、F、D、B四點共面.（2）先證明點O∈面AA1C1C和O∈面BDC1，即點O在面AA1C1C與面BDC（3）延長DF,BE交于G,由于面DCG∩面BCG=CC1，則G在交線【解答過程】（1）連接EF,BD,B∵在長方體ABCD?A1∴B∵E、F分別是B1C1和∴EF//B∴EF//BD，∴E、F、D、B四點共面；（2）∵AA∴A,A1,C,O∈A1C,∴O∈面AA∵對角線A1C與平面BDC∴O∈面BDCO在面AA1C1∵AC∩BD=∴M∈面AA1C1C∴面AA1C1C∩∴O∈C1即點C1（3）延長DF,BE交于G，∵DG?面DCG，∴G∈DG，∴G∈面DCG，∵BE?面BCG，∴G∈BE，∴G∈面BCG，∵面DCG∩面BCG=CC∴G∈CC∴BE、DF、CC【變式2-1】（2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，可得EF∥BD以及GH∥（2）因為AC是平面ABC和平面ACD的交線，只需證明P點是平面ABC和平面ACD的交點，即可證得P∈AC，進(jìn)而得到三點共線.【解答過程】（1）因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥在△BCD中，因為BGGC=DHHC=所以EF∥所以E，F(xiàn)，G，H四點共面.（2）因為EG∩FH=P，所以P∈EG.由已知可得，E∈AB，G∈BC，AB?平面ABC，AC?平面ABC，所以EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈FH，F(xiàn)H?平面ADC，P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的一個公共點.又平面ABC∩平面ADC=AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點共線.【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：CE，D1(2)在（1）的結(jié)論中，G是D1E上一點，若FG交平面ABCD于點H，求證：P，E，【解題思路】（1）連接A1B，CD1，可得到EF//CD1且EF≠CD1，則EC與D1F相交，設(shè)交點為P，則能得到P（2）可證明P，E，H都在平面PCD1與平面【解答過程】（1）證明：連接A1B，C正方體ABCD?A1B1C1D∴EF//A1∵CD1//∴EF//CD∴EC與D1F相交，設(shè)交點為∵P∈EC，EC?平面ABCD，∴P∈平面ABCD；又∵P∈FD1，F(xiàn)D1?平面ADD∴P為兩平面的公共點，∵平面ABCD∩平面ADD1A1∴CE、D1F、DA（2）在（1）的結(jié)論中，G是D1E上一點，F(xiàn)G交平面ABCD于點則FH?平面PCD1，∴H∈平面PCD1，又∴H∈平面PCD1∩同理，P∈平面PCD1∩E∈平面PCD1∩∴P，E，H都在平面PCD1與平面∴P，E，H三點共線．【變式2-3】（2022·高一課時練習(xí)）如圖，在三棱錐A?BCD中，作截面PQR，PQ，CB的延長線交于點M，RQ，DB的延長線交于點N，RP，DC的延長線交于點K．判斷M，N，K三點是否共線，并說明理由．【解題思路】由點共面、面共線可得答案.【解答過程】M，N，K三點共線．理由如下：因為M、N即在平面BCD內(nèi)又在平面PRQ內(nèi)，所以M、N在平面BCD與平面PRQ的交線上，所以MN是平面BCD與平面PRQ的交線，N、K即在平面BCD內(nèi)又在平面NKR內(nèi)，所以N、K在平面BCD與平面NKR的交線上，所以NK是平面BCD與平面NKR的交線，又平面NKR與平面PRQ是同一平面，所以MN與NK是同一條直線，即M，N，K三點共線．【題型3直線與直線的位置關(guān)系】【方法點撥】1.定義法：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線異面.2.推論法：一條直線上兩點與另一條與它異面的直線上兩點所連成的兩條直線為異面直線.3.證明立體幾何問題的一種重要方法(反證法)：第一步，提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，由此假設(shè)推出與已知條件或某一基本事實、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步，推翻假設(shè)，從而證明原結(jié)論是正確的.【例3】（2022秋·上海靜安·高二階段練習(xí)）設(shè)A、B、C、D是某長方體四條棱的中點，則直線AB和直線CD的位置關(guān)系是（

）.A．相交 B．平行 C．異面 D．無法確定【解題思路】在長方體中，延長ME，DC，AB，即會得到直線AB和直線CD的位置關(guān)系.【解答過程】如圖，延長ME使ME=EF，因為A，B，C，D為棱的中點，所以延長DC，AB都會交EF中點H處，所以直線AB和直線CD的位置關(guān)系為相交.故選：A.【變式3-1】（2023秋·上海浦東新·高二期末）已知三條直線l1，l2，l3滿足l1∥l2且lA．平行 B．垂直 C．共面 D．異面【解題思路】根據(jù)空間直線平行垂直的定義，結(jié)合等角定理進(jìn)行判定.【解答過程】若l1∥l根據(jù)空間直線垂直的定義，可得l1故選：B.【變式3-2】（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，P是正方體ABCD?A1B1C1DA．DD1 B．AC C．AD【解題思路】根據(jù)異面直線的知識確定正確答案.【解答過程】P在邊A1C1上運(yùn)動，則BP?當(dāng)P運(yùn)動到A1C1的中點P1時，AC//A1BP∩平面ACC1A1=P，P?AC當(dāng)P運(yùn)動到點C1時，BP//A故選：B.【變式3-3】（2022秋·湖南常德·高三期中）下圖是正方體的平面展開圖,在這個正方體中,下列判斷不正確的是（

）A．BF∥DN B．CM∥BNC．DF⊥BN D．直線AE與DN的夾角為60【解題思路】將正方體進(jìn)行還原,再根據(jù)正方體中的平行垂直之間關(guān)系即可判斷選項的正誤.【解答過程】解:由題知將正方體還原如圖所示,由圖可知BF⊥DN,CM//故選項A錯誤,選項B正確;∵AE//DF,AE⊥BN,故選項C正確;連接AC,CE,∵DN//CE,且∴∠AEC=60°,即直線AE與DN的夾角為故選項D正確.故選:A.【題型4直線與平面的位置關(guān)系】【方法點撥】判斷空間中直線與平面的位置關(guān)系，一般先作出幾何圖形，直觀判斷，然后依據(jù)基本事實給出證明.另外，借助模型(如正方體、長方體)舉反例也是解決這類問題的有效方法.【例4】（2022春·浙江寧波·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．直線在平面內(nèi) B．直線與平面相交但不垂直C．直線與平面相交且垂直 D．直線與平面平行【解題思路】根據(jù)正方體性質(zhì)判斷直線BC與面A1【解答過程】由正方體的性質(zhì)知：面A1AC1即為面A1ACC故選：B.【變式4-1】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）若m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若m//α,α//β，則m//βB．若m⊥α,α⊥β，則m//βC．若m//n,n//α，則m//αD．若m⊥α,α//β，則m⊥β【解題思路】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)鍵逐項判斷即可【解答過程】解：對于A，若m//α,α//β，則m//β或m?β，故A不正確；對于B，若m⊥α,α⊥β，則m//β或m?β，故B不正確；對于C，若m//n,n//α，則m//α或m?α，故C不正確；對于D，若m⊥α,α//β，則m⊥β，故D正確.故選：D.【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）l1、l2是空間兩條直線，α是平面，以下結(jié)論正確的是（A．如果l1∥α，l2∥α，則一定有l(wèi)1∥B．如果l1⊥l2，C．如果l1⊥l2，l2⊥α，則一定有D．如果l1⊥α，l2∥α【解題思路】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系逐一核對四個選項得答案．【解答過程】對于A，若l1∥α，l2∥α，則有l(wèi)1∥l2或l1與l2相交或?qū)τ贐、C，如果l1⊥l2，l2⊥α，則有l(wèi)1∥α或?qū)τ贒，如果l1⊥α，則l1垂直α內(nèi)的所有直線，又l2∥α，則過l2與α相交的平面交α于a，則l2∴l(xiāng)1⊥l故選：D．【變式4-3】（2022春·廣東廣州·高一期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，A．在正方體ABCD?A1BB．在正方體ABCD?A1BC．在正方體ABCD?A1BD．平面α截正方體ABCD?A【解題思路】根據(jù)題意可得BC交平面α于點F，A1B1交平面α于點E，D1D故不存在某條棱與平面α平行，即可以判斷選項A錯誤；由六個面的12條面對角線與平面α都相交，即可判斷選項B錯誤；體對角線全部與面α相交，即可判斷選項C錯誤；補(bǔ)全圖形可得平面α截正方體AC1所得的截面為五邊形【解答過程】對于選項A，BC交平面α于點F，BC?平面α，∴BC,AD,A1DA1B1交平面α于點E，A∴A1B1,D1D交平面α于點D1，D∴D1D,故A錯誤；觀察幾何體可知六個面的12條面對角線與平面α都相交，故B錯誤；四條體對角線全部與面D1故C錯誤.如下圖，取AB中點為G，易得D1取CD中點為H，連接BH，易得BH//DG，再取CH中點為M，連接FM，則FM//BH，∴FM//D∴FM是平面α與正方體底面ABCD的交線，延長MF，與AB的延長線交于N，連接EN，交BB1于則可得五邊形D1EPFM即為平面α交正方體故D正確；

故選：D.【題型5平面與平面的位置關(guān)系】【方法點撥】兩個平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：平行和相交.判斷兩個平面之間的位置關(guān)系的主要依據(jù)是兩個平面之間有沒有公共點.解題時要善于將自然語言或符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言，借助空間圖形進(jìn)行判斷.【例5】（2023·高一課時練習(xí)）平面α上有三個不共線點到平面β距離相等，則平面α與平面β的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行【解題思路】根據(jù)面面關(guān)系結(jié)合圖形來分析判斷.【解答過程】如圖1，若α∥β，則平面α上任一點到平面β距離相等，故平面α上一定存在三個不共線點到平面β距離相等；如圖2，若α與β相交，則平面α上一定存在位于異側(cè)的三個不共線點到平面β距離相等；故平面α與平面β的位置關(guān)系是相交或平行.故選：D.【變式5-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）在四棱臺ABCD?A1B1C1DA．相交 B．平行C．不確定 D．異面【解題思路】根據(jù)棱臺的定義即可得出結(jié)果.【解答過程】解：如圖所示，由棱臺的定義可知，平面ABB1A故選：A.【變式5-2】（2022·黑龍江·高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，下列命題中的真命題為（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β B．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α⊥β D．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α∥β【解題思路】在A中，α與β相交或平行；在B中，α與β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答過程】解：由l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α與β相交或平行，故A錯誤；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α與β相交或平行，故B錯誤；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D錯誤．故選：C．【變式5-3】（2022·高一課時練習(xí)）給出下列