舉一反三系列高考高中數(shù)學(xué)同步及復(fù)習(xí)資料人教A版必修2專題8.7 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（重難點(diǎn)題型精講）（含答案及解析）

專題8.7空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（重難點(diǎn)題型精講）1．平面(1)平面的概念

生活中的一些物體通常給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.(2)平面的畫法

①與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.

②當(dāng)平面水平放置時(shí)，如圖(1)所示，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，如圖(2)所示，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.(3)平面的表示方法

平面一般用希臘字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱.如圖中的平面可以表示為：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.2．點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的符號表示點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號語言來表示，點(diǎn)為元素，直線、平面都是點(diǎn)構(gòu)成的集合.點(diǎn)與直線(平面)之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示，直線與平面之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示.點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示舉例如下：3．三個(gè)基本事實(shí)及基于基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論(1)三個(gè)基本事實(shí)及其表示

(2)三個(gè)基本事實(shí)的作用

基本事實(shí)1：①確定一個(gè)平面；②判斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線共面.

基本事實(shí)2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗(yàn)平面.

基本事實(shí)3：①判斷兩個(gè)平面相交；②證明點(diǎn)共線；③證明線共點(diǎn).(2)基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論4．空間中直線與直線的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系

我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如圖所示.5．空間中直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下：6．空間中平面與平面的位置關(guān)系(1)兩種位置關(guān)系兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下：(2)兩種位置關(guān)系平行平面的畫法技巧

畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對應(yīng)邊平行.7．平面分空間問題一個(gè)平面將空間分成兩部分，那么兩個(gè)平面呢?三個(gè)平面呢?

(1)兩個(gè)平面有兩種情形：

①當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，將空間分成四部分，如圖(2).(2)三個(gè)平面有五種情形：

①當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當(dāng)三個(gè)平面相交于同一條直線時(shí)，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點(diǎn)時(shí)，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時(shí)，將空間分成七部分，如圖(5).【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及其推論，結(jié)合題目條件，進(jìn)行求解即可.【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）①四邊相等的四邊形為菱形；②若四邊形有兩個(gè)對角都為直角，則這個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形；③“平面不經(jīng)過直線”的等價(jià)說法是“直線上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)”；④若兩個(gè)平面有一條公共直線，則這兩平面的所有公共點(diǎn)都在這條公共直線上．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-1】（2022春·上海浦東新·高二期末）如圖，α∩β=l，A,B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l=M，過A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)M【變式1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知α、β為平面，A、B、M、N為點(diǎn)，a為直線，下列推理中錯(cuò)誤的是（

）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，則a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，則直線MN?α，直線MN?βC．A∈α，A∈β，則α∩β=AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共線，則α、β重合【變式1-3】（2022·上海·高二專題練習(xí)）下列命題中①空間中三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.②直線和直線外的一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面.③如果三條直線兩兩相交，那么這三條直線可以確定一個(gè)平面.④如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線可以確定一個(gè)平面.⑤如果兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合.真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型2點(diǎn)共線、點(diǎn)線共面問題】【方法點(diǎn)撥】證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上，主要依據(jù)是基本事實(shí)3.證明點(diǎn)、線共面的主要依據(jù)是基本事實(shí)1、基本事實(shí)2及其推論，常用的方法有：(1)輔助平面法，先證明有關(guān)點(diǎn)、線確定平面，再證明其余點(diǎn)、線確定平面，最后證明平面,重合；(2)納入平面法，先由條件確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)的點(diǎn)、線在此平面內(nèi).【例2】（2022秋·上海虹口·高二階段練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)證明：E、F、D、B四點(diǎn)共面；(2)對角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC,BD交于點(diǎn)(3)證明：BE、DF、CC【變式2-1】（2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線.【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：CE，D1(2)在（1）的結(jié)論中，G是D1E上一點(diǎn)，若FG交平面ABCD于點(diǎn)H，求證：P，E，【變式2-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐A?BCD中，作截面PQR，PQ，CB的延長線交于點(diǎn)M，RQ，DB的延長線交于點(diǎn)N，RP，DC的延長線交于點(diǎn)K．判斷M，N，K三點(diǎn)是否共線，并說明理由．【題型3直線與直線的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】1.定義法：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線異面.2.推論法：一條直線上兩點(diǎn)與另一條與它異面的直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直線.3.證明立體幾何問題的一種重要方法(反證法)：第一步，提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，由此假設(shè)推出與已知條件或某一基本事實(shí)、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步，推翻假設(shè)，從而證明原結(jié)論是正確的.【例3】（2022秋·上海靜安·高二階段練習(xí)）設(shè)A、B、C、D是某長方體四條棱的中點(diǎn)，則直線AB和直線CD的位置關(guān)系是（

）.A．相交 B．平行 C．異面 D．無法確定【變式3-1】（2023秋·上海浦東新·高二期末）已知三條直線l1，l2，l3滿足l1∥l2且lA．平行 B．垂直 C．共面 D．異面【變式3-2】（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，P是正方體ABCD?A1B1C1DA．DD1 B．AC C．AD【變式3-3】（2022秋·湖南常德·高三期中）下圖是正方體的平面展開圖,在這個(gè)正方體中,下列判斷不正確的是（

）A．BF∥DN B．CM∥BNC．DF⊥BN D．直線AE與DN的夾角為60【題型4直線與平面的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】判斷空間中直線與平面的位置關(guān)系，一般先作出幾何圖形，直觀判斷，然后依據(jù)基本事實(shí)給出證明.另外，借助模型(如正方體、長方體)舉反例也是解決這類問題的有效方法.【例4】（2022春·浙江寧波·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．直線在平面內(nèi) B．直線與平面相交但不垂直C．直線與平面相交且垂直 D．直線與平面平行【變式4-1】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）若m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若m//α,α//β，則m//βB．若m⊥α,α⊥β，則m//βC．若m//n,n//α，則m//αD．若m⊥α,α//β，則m⊥β【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）l1、l2是空間兩條直線，α是平面，以下結(jié)論正確的是（A．如果l1∥α，l2∥α，則一定有l(wèi)1∥B．如果l1⊥l2，C．如果l1⊥l2，l2⊥α，則一定有D．如果l1⊥α，l2∥α【變式4-3】（2022春·廣東廣州·高一期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，A．在正方體ABCD?A1BB．在正方體ABCD?A1BC．在正方體ABCD?A1BD．平面α截正方體ABCD?A【題型5平面與平面的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：平行和相交.判斷兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系的主要依據(jù)是兩個(gè)平面之間有沒有公共點(diǎn).解題時(shí)要善于將自然語言或符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言，借助空間圖形進(jìn)行判斷.【例5】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）平面α上有三個(gè)不共線點(diǎn)到平面β距離相等，則平面α與平面β的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行【變式5-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）在四棱臺ABCD?A1B1C1DA．相交 B．平行C．不確定 D．異面【變式5-2】（2022·黑龍江·高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，下列命題中的真命題為（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β B．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α⊥β D．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α∥β【變式5-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列三個(gè)命題：①若平面α/平面β，β⊥平面γ，則α⊥γ②若平面α/平面β，β/平面γ，則③若平面α⊥平面β，β⊥平面γ，則α⊥γ．其中真命題的個(gè)數(shù)是．A．1 B．2 C．3 D．4【題型6平面分空間問題】【方法點(diǎn)撥】掌握平面分空間的幾種情況，根據(jù)題目條件，進(jìn)行求解即可.【例6】（2022秋·上海浦東新·高二階段練習(xí)）三個(gè)平面不可能將空間分成（

）個(gè)部分A．5 B．6 C．7 D．8【變式6-1】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）空間中兩個(gè)平面將空間分成的部分?jǐn)?shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．3或4【變式6-2】（2022·高一課前預(yù)習(xí)）空間的4個(gè)平面最多能將空間分成（

）個(gè)區(qū)域．A．13 B．14 C．15 D．16【變式6-3】（2022春·江西·高一階段練習(xí)）三棱柱各面所在平面將空間分為（

）A．14部分 B．18部分 C．21部分 D．24部分專題8.7空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（重難點(diǎn)題型精講）1．平面(1)平面的概念

生活中的一些物體通常給我們以平面的直觀感覺，如課桌面、黑板面、平靜的水面等.幾何里所說的“平面”就是從這樣的一些物體中抽象出來的.(2)平面的畫法

①與畫出直線的一部分來表示直線一樣，我們也可以畫出平面的一部分來表示平面.我們常用矩形的直觀圖，即平行四邊形表示平面.

②當(dāng)平面水平放置時(shí)，如圖(1)所示，常把平行四邊形的一邊畫成橫向；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，如圖(2)所示，常把平行四邊形的一邊畫成豎向.(3)平面的表示方法

平面一般用希臘字母,,,表示，也可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或者相對的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母作為這個(gè)平面的名稱.如圖中的平面可以表示為：平面、平面ABCD、平面AC或平面BD.2．點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的符號表示點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系通常借助集合中的符號語言來表示，點(diǎn)為元素，直線、平面都是點(diǎn)構(gòu)成的集合.點(diǎn)與直線(平面)之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示，直線與平面之間的位置關(guān)系用符號“”“”表示.點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的符號表示舉例如下：3．三個(gè)基本事實(shí)及基于基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論(1)三個(gè)基本事實(shí)及其表示

(2)三個(gè)基本事實(shí)的作用

基本事實(shí)1：①確定一個(gè)平面；②判斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線共面.

基本事實(shí)2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗(yàn)平面.

基本事實(shí)3：①判斷兩個(gè)平面相交；②證明點(diǎn)共線；③證明線共點(diǎn).(2)基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論4．空間中直線與直線的位置關(guān)系(1)三種位置關(guān)系

我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：(2)異面直線的畫法

為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如圖所示.5．空間中直線與平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下：6．空間中平面與平面的位置關(guān)系(1)兩種位置關(guān)系兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下：(2)兩種位置關(guān)系平行平面的畫法技巧

畫兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對應(yīng)邊平行.7．平面分空間問題一個(gè)平面將空間分成兩部分，那么兩個(gè)平面呢?三個(gè)平面呢?

(1)兩個(gè)平面有兩種情形：

①當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，將空間分成四部分，如圖(2).(2)三個(gè)平面有五種情形：

①當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當(dāng)三個(gè)平面相交于同一條直線時(shí)，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點(diǎn)時(shí)，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時(shí)，將空間分成七部分，如圖(5).【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)平面的基本性質(zhì)及其推論，結(jié)合題目條件，進(jìn)行求解即可.【例1】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是（

）①四邊相等的四邊形為菱形；②若四邊形有兩個(gè)對角都為直角，則這個(gè)四邊形是圓內(nèi)接四邊形；③“平面不經(jīng)過直線”的等價(jià)說法是“直線上至多有一個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)”；④若兩個(gè)平面有一條公共直線，則這兩平面的所有公共點(diǎn)都在這條公共直線上．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解題思路】根據(jù)空間四邊形可判斷①②錯(cuò)誤，有平面的基本性質(zhì)可判斷③④正確.【解答過程】由空間四邊形可判斷①②錯(cuò)誤.“平面不經(jīng)過直線”即直線與平面相交或者平行，所以③正確.由平面的基本性質(zhì)，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線,可判斷④正確.故選：B.【變式1-1】（2022春·上海浦東新·高二期末）如圖，α∩β=l，A,B∈α，C∈β，且C?l，直線AB∩l=M，過A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ，則γ與β的交線必通過（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C但不過點(diǎn)M D．點(diǎn)C和點(diǎn)M【解題思路】利用點(diǎn)線面的位置關(guān)系證得MC?γ與MC?β，從而得到β∩γ=MC，據(jù)此解答即可.【解答過程】對于AB，易得A,B?β，故必不在γ與β的交線上，故AB錯(cuò)誤；對于CD，因?yàn)檫^A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ，所以面ABC與γ是同一個(gè)面，因?yàn)橹本€AB∩l=M，所以M∈AB?面ABC，則M∈γ，又C∈面ABC，則C∈γ，所以MC?γ；因?yàn)锳B∩l=M，α∩β=l，所以M∈l?β，又C∈β，所以MC?β，所以β∩γ=MC，所以γ與β的交線必通過點(diǎn)C和點(diǎn)M，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：D．【變式1-2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知α、β為平面，A、B、M、N為點(diǎn)，a為直線，下列推理中錯(cuò)誤的是（

）A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，則a?βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，則直線MN?α，直線MN?βC．A∈α，A∈β，則α∩β=AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共線，則α、β重合【解題思路】利用基本事實(shí)2可判斷AB選項(xiàng)；利用基本事實(shí)3可判斷C選項(xiàng)；利用基本事實(shí)1可判斷D選項(xiàng).【解答過程】對于A選項(xiàng)，A∈a，A∈β，B∈a，B∈β，由基本事實(shí)2可知a?β，A對；對于B選項(xiàng)，M∈α，N∈α，則直線MN?α，同理可知，直線MN?β，B對；對于C選項(xiàng)，A∈α，A∈β，則A為平面α、β的一個(gè)公共點(diǎn)，但平面α、β相交于過點(diǎn)A的一條直線，而不是點(diǎn)A，C錯(cuò)；對于D選項(xiàng)，A、B、M∈α，且A、B、M不共線，則A、B、M可確定平面α，同理可知，A、B、M可確定平面β，故α、β重合，D對.故選：C.【變式1-3】（2022·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）下列命題中①空間中三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面.②直線和直線外的一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面.③如果三條直線兩兩相交，那么這三條直線可以確定一個(gè)平面.④如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線可以確定一個(gè)平面.⑤如果兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合.真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解題思路】根據(jù)空間位置關(guān)系可直接判斷各命題.【解答過程】命題①：空間中不共線三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面，錯(cuò)誤；命題②：直線和直線外的一點(diǎn)，可以確定一個(gè)平面，正確；命題③：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點(diǎn)，則無法確定一個(gè)平面，所以命題③錯(cuò)誤；命題④：如果三條直線兩兩平行，那么這三條直線不能確定一個(gè)平面，所以命題④錯(cuò)誤；命題⑤：兩個(gè)平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，則兩平面可能相交，所以命題⑤錯(cuò)誤；故選：A.【題型2點(diǎn)共線、點(diǎn)線共面問題】【方法點(diǎn)撥】證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上，主要依據(jù)是基本事實(shí)3.證明點(diǎn)、線共面的主要依據(jù)是基本事實(shí)1、基本事實(shí)2及其推論，常用的方法有：(1)輔助平面法，先證明有關(guān)點(diǎn)、線確定平面，再證明其余點(diǎn)、線確定平面，最后證明平面,重合；(2)納入平面法，先由條件確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)的點(diǎn)、線在此平面內(nèi).【例2】（2022秋·上海虹口·高二階段練習(xí)）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)證明：E、F、D、B四點(diǎn)共面；(2)對角線A1C與平面BDC1交于點(diǎn)O，AC,BD交于點(diǎn)(3)證明：BE、DF、CC【解題思路】（1）證明EF//BD，即可說明E、F、D、B四點(diǎn)共面.（2）先證明點(diǎn)O∈面AA1C1C和O∈面BDC1，即點(diǎn)O在面AA1C1C與面BDC（3）延長DF,BE交于G,由于面DCG∩面BCG=CC1，則G在交線【解答過程】（1）連接EF,BD,B∵在長方體ABCD?A1∴B∵E、F分別是B1C1和∴EF//B∴EF//BD，∴E、F、D、B四點(diǎn)共面；（2）∵AA∴A,A1,C,O∈A1C,∴O∈面AA∵對角線A1C與平面BDC∴O∈面BDCO在面AA1C1∵AC∩BD=∴M∈面AA1C1C∴面AA1C1C∩∴O∈C1即點(diǎn)C1（3）延長DF,BE交于G，∵DG?面DCG，∴G∈DG，∴G∈面DCG，∵BE?面BCG，∴G∈BE，∴G∈面BCG，∵面DCG∩面BCG=CC∴G∈CC∴BE、DF、CC【變式2-1】（2022秋·吉林四平·高二階段練習(xí)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線.【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，可得EF∥BD以及GH∥（2）因?yàn)锳C是平面ABC和平面ACD的交線，只需證明P點(diǎn)是平面ABC和平面ACD的交點(diǎn)，即可證得P∈AC，進(jìn)而得到三點(diǎn)共線.【解答過程】（1）因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥在△BCD中，因?yàn)锽GGC=DHHC=所以EF∥所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.（2）因?yàn)镋G∩FH=P，所以P∈EG.由已知可得，E∈AB，G∈BC，AB?平面ABC，AC?平面ABC，所以EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈FH，F(xiàn)H?平面ADC，P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的一個(gè)公共點(diǎn).又平面ABC∩平面ADC=AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線.【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D(1)求證：CE，D1(2)在（1）的結(jié)論中，G是D1E上一點(diǎn)，若FG交平面ABCD于點(diǎn)H，求證：P，E，【解題思路】（1）連接A1B，CD1，可得到EF//CD1且EF≠CD1，則EC與D1F相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則能得到P（2）可證明P，E，H都在平面PCD1與平面【解答過程】（1）證明：連接A1B，C正方體ABCD?A1B1C1D∴EF//A1∵CD1//∴EF//CD∴EC與D1F相交，設(shè)交點(diǎn)為∵P∈EC，EC?平面ABCD，∴P∈平面ABCD；又∵P∈FD1，F(xiàn)D1?平面ADD∴P為兩平面的公共點(diǎn)，∵平面ABCD∩平面ADD1A1∴CE、D1F、DA（2）在（1）的結(jié)論中，G是D1E上一點(diǎn)，F(xiàn)G交平面ABCD于點(diǎn)則FH?平面PCD1，∴H∈平面PCD1，又∴H∈平面PCD1∩同理，P∈平面PCD1∩E∈平面PCD1∩∴P，E，H都在平面PCD1與平面∴P，E，H三點(diǎn)共線．【變式2-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐A?BCD中，作截面PQR，PQ，CB的延長線交于點(diǎn)M，RQ，DB的延長線交于點(diǎn)N，RP，DC的延長線交于點(diǎn)K．判斷M，N，K三點(diǎn)是否共線，并說明理由．【解題思路】由點(diǎn)共面、面共線可得答案.【解答過程】M，N，K三點(diǎn)共線．理由如下：因?yàn)镸、N即在平面BCD內(nèi)又在平面PRQ內(nèi)，所以M、N在平面BCD與平面PRQ的交線上，所以MN是平面BCD與平面PRQ的交線，N、K即在平面BCD內(nèi)又在平面NKR內(nèi)，所以N、K在平面BCD與平面NKR的交線上，所以NK是平面BCD與平面NKR的交線，又平面NKR與平面PRQ是同一平面，所以MN與NK是同一條直線，即M，N，K三點(diǎn)共線．【題型3直線與直線的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】1.定義法：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線異面.2.推論法：一條直線上兩點(diǎn)與另一條與它異面的直線上兩點(diǎn)所連成的兩條直線為異面直線.3.證明立體幾何問題的一種重要方法(反證法)：第一步，提出與結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，由此假設(shè)推出與已知條件或某一基本事實(shí)、定理或某一已被證明是正確的命題相矛盾的結(jié)果；第三步，推翻假設(shè)，從而證明原結(jié)論是正確的.【例3】（2022秋·上海靜安·高二階段練習(xí)）設(shè)A、B、C、D是某長方體四條棱的中點(diǎn)，則直線AB和直線CD的位置關(guān)系是（

）.A．相交 B．平行 C．異面 D．無法確定【解題思路】在長方體中，延長ME，DC，AB，即會得到直線AB和直線CD的位置關(guān)系.【解答過程】如圖，延長ME使ME=EF，因?yàn)锳，B，C，D為棱的中點(diǎn)，所以延長DC，AB都會交EF中點(diǎn)H處，所以直線AB和直線CD的位置關(guān)系為相交.故選：A.【變式3-1】（2023秋·上海浦東新·高二期末）已知三條直線l1，l2，l3滿足l1∥l2且lA．平行 B．垂直 C．共面 D．異面【解題思路】根據(jù)空間直線平行垂直的定義，結(jié)合等角定理進(jìn)行判定.【解答過程】若l1∥l根據(jù)空間直線垂直的定義，可得l1故選：B.【變式3-2】（2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，P是正方體ABCD?A1B1C1DA．DD1 B．AC C．AD【解題思路】根據(jù)異面直線的知識確定正確答案.【解答過程】P在邊A1C1上運(yùn)動，則BP?當(dāng)P運(yùn)動到A1C1的中點(diǎn)P1時(shí)，AC//A1BP∩平面ACC1A1=P，P?AC當(dāng)P運(yùn)動到點(diǎn)C1時(shí)，BP//A故選：B.【變式3-3】（2022秋·湖南常德·高三期中）下圖是正方體的平面展開圖,在這個(gè)正方體中,下列判斷不正確的是（

）A．BF∥DN B．CM∥BNC．DF⊥BN D．直線AE與DN的夾角為60【解題思路】將正方體進(jìn)行還原,再根據(jù)正方體中的平行垂直之間關(guān)系即可判斷選項(xiàng)的正誤.【解答過程】解:由題知將正方體還原如圖所示,由圖可知BF⊥DN,CM//故選項(xiàng)A錯(cuò)誤,選項(xiàng)B正確;∵AE//DF,AE⊥BN,故選項(xiàng)C正確;連接AC,CE,∵DN//CE,且∴∠AEC=60°,即直線AE與DN的夾角為故選項(xiàng)D正確.故選:A.【題型4直線與平面的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】判斷空間中直線與平面的位置關(guān)系，一般先作出幾何圖形，直觀判斷，然后依據(jù)基本事實(shí)給出證明.另外，借助模型(如正方體、長方體)舉反例也是解決這類問題的有效方法.【例4】（2022春·浙江寧波·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．直線在平面內(nèi) B．直線與平面相交但不垂直C．直線與平面相交且垂直 D．直線與平面平行【解題思路】根據(jù)正方體性質(zhì)判斷直線BC與面A1【解答過程】由正方體的性質(zhì)知：面A1AC1即為面A1ACC故選：B.【變式4-1】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考一模）若m,n為兩條不同的直線，α,β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若m//α,α//β，則m//βB．若m⊥α,α⊥β，則m//βC．若m//n,n//α，則m//αD．若m⊥α,α//β，則m⊥β【解題思路】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)鍵逐項(xiàng)判斷即可【解答過程】解：對于A，若m//α,α//β，則m//β或m?β，故A不正確；對于B，若m⊥α,α⊥β，則m//β或m?β，故B不正確；對于C，若m//n,n//α，則m//α或m?α，故C不正確；對于D，若m⊥α,α//β，則m⊥β，故D正確.故選：D.【變式4-2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）l1、l2是空間兩條直線，α是平面，以下結(jié)論正確的是（A．如果l1∥α，l2∥α，則一定有l(wèi)1∥B．如果l1⊥l2，C．如果l1⊥l2，l2⊥α，則一定有D．如果l1⊥α，l2∥α【解題思路】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的關(guān)系逐一核對四個(gè)選項(xiàng)得答案．【解答過程】對于A，若l1∥α，l2∥α，則有l(wèi)1∥l2或l1與l2相交或?qū)τ贐、C，如果l1⊥l2，l2⊥α，則有l(wèi)1∥α或?qū)τ贒，如果l1⊥α，則l1垂直α內(nèi)的所有直線，又l2∥α，則過l2與α相交的平面交α于a，則l2∴l(xiāng)1⊥l故選：D．【變式4-3】（2022春·廣東廣州·高一期中）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，A．在正方體ABCD?A1BB．在正方體ABCD?A1BC．在正方體ABCD?A1BD．平面α截正方體ABCD?A【解題思路】根據(jù)題意可得BC交平面α于點(diǎn)F，A1B1交平面α于點(diǎn)E，D1D故不存在某條棱與平面α平行，即可以判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由六個(gè)面的12條面對角線與平面α都相交，即可判斷選項(xiàng)B錯(cuò)誤；體對角線全部與面α相交，即可判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；補(bǔ)全圖形可得平面α截正方體AC1所得的截面為五邊形【解答過程】對于選項(xiàng)A，BC交平面α于點(diǎn)F，BC?平面α，∴BC,AD,A1DA1B1交平面α于點(diǎn)E，A∴A1B1,D1D交平面α于點(diǎn)D1，D∴D1D,故A錯(cuò)誤；觀察幾何體可知六個(gè)面的12條面對角線與平面α都相交，故B錯(cuò)誤；四條體對角線全部與面D1故C錯(cuò)誤.如下圖，取AB中點(diǎn)為G，易得D1取CD中點(diǎn)為H，連接BH，易得BH//DG，再取CH中點(diǎn)為M，連接FM，則FM//BH，∴FM//D∴FM是平面α與正方體底面ABCD的交線，延長MF，與AB的延長線交于N，連接EN，交BB1于則可得五邊形D1EPFM即為平面α交正方體故D正確；

故選：D.【題型5平面與平面的位置關(guān)系】【方法點(diǎn)撥】兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：平行和相交.判斷兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系的主要依據(jù)是兩個(gè)平面之間有沒有公共點(diǎn).解題時(shí)要善于將自然語言或符號語言轉(zhuǎn)換成圖形語言，借助空間圖形進(jìn)行判斷.【例5】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）平面α上有三個(gè)不共線點(diǎn)到平面β距離相等，則平面α與平面β的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．平行 C．垂直 D．相交或平行【解題思路】根據(jù)面面關(guān)系結(jié)合圖形來分析判斷.【解答過程】如圖1，若α∥β，則平面α上任一點(diǎn)到平面β距離相等，故平面α上一定存在三個(gè)不共線點(diǎn)到平面β距離相等；如圖2，若α與β相交，則平面α上一定存在位于異側(cè)的三個(gè)不共線點(diǎn)到平面β距離相等；故平面α與平面β的位置關(guān)系是相交或平行.故選：D.【變式5-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）在四棱臺ABCD?A1B1C1DA．相交 B．平行C．不確定 D．異面【解題思路】根據(jù)棱臺的定義即可得出結(jié)果.【解答過程】解：如圖所示，由棱臺的定義可知，平面ABB1A故選：A.【變式5-2】（2022·黑龍江·高二學(xué)業(yè)考試）設(shè)l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，下列命題中的真命題為（）A．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β B．若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α∥βC．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α⊥β D．若l∥α，m⊥β，l∥m，則α∥β【解題思路】在A中，α與β相交或平行；在B中，α與β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答過程】解：由l、m是不同的直線，α、β是不同的平面，知：在A中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α與β相交或平行，故A錯(cuò)誤；在B中，若l∥α，m⊥β，l⊥m，則α與β相交或平行，故B錯(cuò)誤；在C中，若l∥α，m⊥β，l∥m，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正確；在D中，若l∥α，m⊥β，l∥m，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D錯(cuò)誤．故選：C．【變式5-3】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）給出下列