專(zhuān)題72銳角三角函數(shù)（全章分層練習(xí)）（基礎(chǔ)練）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)全章復(fù)習(xí)與專(zhuān)題突破講與練（蘇科版）

專(zhuān)題7.2銳角三角函數(shù)（全章分層練習(xí)）（基礎(chǔ)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在實(shí)數(shù)，x0（x≠0），cos30°，中，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，則（

）A． B． C． D．3．（2022·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是一間外觀迷人的A型框架木屋，是年輕人戶外度假住宿的理想選擇．正如其名，A型木屋從正面來(lái)看呈現(xiàn)字母A的形狀，兩個(gè)側(cè)邊斜屋頂變成建筑的外立面，在頂部相交于點(diǎn)A．已知B、C兩點(diǎn)間的距離為6米，，則木屋的側(cè)邊斜屋頂?shù)拈L(zhǎng)度為（

）A．米 B．米 C．米 D．米4．（2021·云南·統(tǒng)考中考真題）在中，，則的值是（）A． B． C． D．5．（2020·山東聊城·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)，，都在格點(diǎn)上，則的值是（

）A． B． C． D．26．（2014·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）王明同學(xué)遇到了這樣一道題，，則銳角的度數(shù)為（

）A．40° B．30° C．20° D．10°7．（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB交于點(diǎn)D，再分別以A、D為圓心，大于AD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN，分別交AC、AB于點(diǎn)E、F，則AE的長(zhǎng)度為（）A． B．3 C．2 D．8．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)的點(diǎn)P在射線OA上，OP＝13，cosα＝，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）9．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘輪船以每小時(shí)20海里的速度沿正北方向航行，在A處測(cè)得燈塔C在北偏西方向上，輪船航行2小時(shí)后到達(dá)B處，在B處測(cè)得燈塔C在北偏西方向上，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔C的正東方向D處時(shí)，則輪船航程的距離是（）

A．20海里 B．40海里 C．60海里 D．80海里10．（2023·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）勾股定理的證明方法豐富多樣，其中我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用“弦圖”的證明簡(jiǎn)明、直觀，是世界公認(rèn)最巧妙的方法．“趙爽弦圖”已成為我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)重要標(biāo)志，千百年來(lái)倍受人們的喜愛(ài)．小亮在如圖所示的“趙爽弦圖”中，連接，．若正方形與的邊長(zhǎng)之比為，則等于（

）

A． B． C． D．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11．（2022·湖北荊門(mén)·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．12．（2013·浙江杭州·中考真題）計(jì)算：＝．13．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊AB上，連接CD．若，，則．

14．（2023·山西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧交邊于點(diǎn)，連接．分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則的值為．

15．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，為上的點(diǎn)，，，則．16．（2022·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，EF的長(zhǎng)為；當(dāng)點(diǎn)M的位置變化時(shí)，DF長(zhǎng)的最大值為．17．（2020·湖北省直轄縣級(jí)單位·中考真題）如圖，海中有個(gè)小島A，一艘輪船由西向東航行，在點(diǎn)B處測(cè)得小島A位于它的東北方向，此時(shí)輪船與小島相距20海里，繼續(xù)航行至點(diǎn)D處，測(cè)得小島A在它的北偏西60°方向，此時(shí)輪船與小島的距離為海里．18．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角中，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則的值為．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）（1）計(jì)算：； （2）化簡(jiǎn)：．20．（8分）（2022·山東濰坊·中考真題）（1）在計(jì)算時(shí)，小亮的計(jì)算過(guò)程如下：解：小瑩發(fā)現(xiàn)小亮的計(jì)算有誤，幫助小亮找出了3個(gè)錯(cuò)誤．請(qǐng)你找出其他錯(cuò)誤，參照①～③的格式寫(xiě)在橫線上，并依次標(biāo)注序號(hào)：①；②；③；____________________________________________________________________________．請(qǐng)寫(xiě)出正確的計(jì)算過(guò)程．（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x是方程的根．21．（10分）（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）年6月6日是第個(gè)全國(guó)“愛(ài)眼日”某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了“筆記本電腦的張角大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng)，如圖，當(dāng)張角時(shí)，頂部邊緣A處離桌面的高度的長(zhǎng)為cm，此時(shí)用眼舒適度不太理想，小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后聯(lián)系黃金比知識(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角時(shí)（點(diǎn)是A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），用眼舒適度較為理想，求此時(shí)頂部邊緣處離桌面的高度的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：，，）22．（10分）（2023·湖南益陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊上，將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，與線段交于點(diǎn)G，連接．

（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，當(dāng)平分四邊形的面積時(shí)，求的長(zhǎng)．23．（10分）（2023·浙江紹興·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)B作，且，連結(jié)．（1）求證：四邊形是矩形．（2）連接，若，則的值是___________．24．（12分）（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上（不與點(diǎn)重合），連接，線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過(guò)點(diǎn)作直線，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求證：；（3）連接，的面積記為，的面積記為，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．參考答案：1．B【分析】根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的意義，即可解答．解：在實(shí)數(shù)，x0（x≠0）=1，，中，有理數(shù)是，x0=1，所以，有理數(shù)的個(gè)數(shù)是2，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)勾股定理，可得與的關(guān)系，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案．解：∵，∴，∴，，故C正確．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，先利用勾股定理得出與的關(guān)系，再利用正弦函數(shù)的定義．3．D【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，可得米，在中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)題意得：，米，，∴米，在中，米．故選：D【點(diǎn)撥】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】由題意即可得出，設(shè)，則，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)，代入數(shù)據(jù)求值即可．解：如圖，根據(jù)題意可知，故可設(shè)，則，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查銳角三角形函數(shù)和勾股定理．掌握正弦和正切的定義是解題關(guān)鍵．5．D【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理，證明是直角三角形，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解．解：根據(jù)網(wǎng)格可得，，，∴，∴，∴是直角三角形，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，求正切，證明是直角三角形是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．解：∵tan（α+10°）=1，∴tan（α+10°）=，∵α為銳角，∴α+10°=30°，α=20°．故選C．【點(diǎn)撥】熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．7．A【分析】由題意易得MN垂直平分AD，AB=10，則有AD=4，AF=2，然后可得，進(jìn)而問(wèn)題可求解．解：由題意得：MN垂直平分AD，，∴，∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，∴，∴AD=4，AF=2，，∴；故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)及三角函數(shù)，熟練掌握勾股定理、垂直平分線的性質(zhì)及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E．根據(jù)a的余弦值和OP，先求出OE，再利用勾股定理求出PE即可．解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則OE＝x，PE＝y(tǒng)．在Rt△OPE中，∵cosα＝，OP＝13，∴OE＝5．∴PE＝＝12．∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，12）．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．9．C【分析】解：根據(jù)三角形外角和定理可求得的值，然后放到中，根據(jù)直角三角形角的性質(zhì)即可解答．解：由題意得，，∴，∴，∵，∴，∴，則輪船航程的距離是60海里．故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查了方位角和含直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，將已知條件和所求結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個(gè)直角三角形中求解是解決有關(guān)直角三角形的常規(guī)思路．10．A【分析】設(shè)的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為x，由題意得，解得，即可求解．解：過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，由題意可得，兩個(gè)正方形之間是4個(gè)相等的三角形，設(shè)的長(zhǎng)直角邊為a，短直角邊為b，大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為x，即，，，由題意得，，解得，在中，，則，，則，∴，故選：A．

【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、正方形的性質(zhì)及勾股定理，確定a、b和x之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．﹣1【分析】先計(jì)算立方根、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪，再進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：+cos60°﹣（﹣2022）0＝﹣+﹣1＝0﹣1＝﹣1故答案為：﹣1．【點(diǎn)撥】本題考查了立方根、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．12．3【分析】針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．解：＝4+﹣1﹣＝3．故答案為：3．【點(diǎn)撥】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式化簡(jiǎn)解答關(guān)鍵是按照相關(guān)法則進(jìn)行計(jì)算．13．/【分析】由題意可設(shè)，則，，在中求得，在中求出答案即可．解：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，在中，．【點(diǎn)撥】本題考查的是求銳角三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是根據(jù)比值設(shè)未知數(shù)，表示出邊長(zhǎng)從而求出銳角三角函數(shù)值．14．【分析】證明，，，再利用正切函數(shù)的定義求解即可．解：∵在中，，∴，，由作圖知平分，，∴是等邊三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，尺規(guī)作圖—作角平分線，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，求得是解題的關(guān)鍵．15．/解：設(shè)，在矩形中，為上的點(diǎn)，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，求正切，掌握正確的定義是解題的關(guān)鍵．16．【分析】當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，EF垂直平分AB，利用三角函數(shù)即可求得EF的長(zhǎng)；根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，AF=FM,若DF取最大值，則FM取最小值，即為邊AD與BC的距離DG，即可求解.解：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AB，∴AE=EB=AB=3，在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，tan60°=，∴EF=3；當(dāng)AF長(zhǎng)取得最小值時(shí)，DF長(zhǎng)取得最大值，由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AM，則AF=FM，∴FM⊥BC時(shí)，F(xiàn)M長(zhǎng)取得最小值，此時(shí)DF長(zhǎng)取得最大值，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)C，則四邊形DGMF為矩形，∴FM=DG，在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，∴DG=DCsin60°=3，∴DF長(zhǎng)的最大值為ADAF=ADFM=ADDG=63，故答案為：3；63．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．17．20【分析】過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BD，根據(jù)方位角及三角函數(shù)即可求解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥BD，依題意可得∠ABC=45°∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20（海里）∴AC=BC=ABsin45°=10（海里）在Rt△ACD中，∠ADC=90°60°=30°∴AD=2AC=20（海里）故答案為：20．【點(diǎn)撥】此題主要考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值．18．【分析】依據(jù)題意，在中，，，從而，可得，又結(jié)合題意，，進(jìn)而，故可得點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式可以得解．解：如圖，作軸，垂足為．

由題意，在中，，，．．．又繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，．．又點(diǎn)是的中點(diǎn)，．在中，，．，．又在上，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題時(shí)需要熟練掌握并靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．19．（1）；（2）【分析】（1）先將算術(shù)平方根、特殊角的三角函數(shù)、零指數(shù)冪化簡(jiǎn)，然后計(jì)算可得答案；（2）先通分算出括號(hào)內(nèi)的結(jié)果，再將除數(shù)中的分子進(jìn)行因式分解，同時(shí)將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，最后約分即可得到結(jié)果．解：（1）原式．（2）原式．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．20．（1）④tan30°=；⑤（2）2=，⑥（2）0=1；28；（2），．【分析】（1）根據(jù)乘方、絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值、立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪的法則計(jì)算即可；（2）先把括號(hào)內(nèi)通分，接著約分得到原式=，然后利用因式分解法解方程x22x3=0得到x1=3，x2=1，則利用分式有意義的條件把x=1代入計(jì)算即可．解：（1）其他錯(cuò)誤，有：④tan30°=；⑤（2）2=，⑥（2）0=1，正確的計(jì)算過(guò)程：解：=28；（2）=，∵x22x3=0，∴（x3）（x+1）=0，x3=0或x+1=0，∴x1=3，x2=1，∵x=3分式?jīng)]有意義，∴x的值為1，當(dāng)x=1時(shí)，原式==．【點(diǎn)撥】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解一元二次方程因式分解法，分式的化簡(jiǎn)求值．也考查了特殊角的三角函數(shù)值、立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪．21．【分析】根據(jù)，得到，再根據(jù)，得到，在中根據(jù)三角函數(shù)即可求解．解：∵，∴，在中，，∴，由題意得：，∵，∴，在中，∴此時(shí)頂部邊緣處離桌面的高度的長(zhǎng)約為．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形角所對(duì)直角邊等于斜邊一半及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知角度求出角的大小．22．（1）見(jiàn)分析；（2）見(jiàn)分析；（3）【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)，可得，即可；（2）根據(jù)，可得點(diǎn)B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，從而得到，，從而得到，進(jìn)而得到，可證明，即可；（3）連接，根據(jù)，，可得，，，設(shè)，則可得，，，，，，再由平分四邊形的面積，可得，從而得到關(guān)于x的方程，即可求解．解：（1）證明：∵線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，∴，∴，∵，即，∴，∵，∴，在和中，∵，，∴；（2）證明：∵，∴點(diǎn)B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即；（3）解：如圖，連接，

∵，∴，，∵，，∴，∴，，∴，設(shè)，則，∴，，，∴，∴，，∵平分四邊形的面積，∴，∴，即，解得：（負(fù)值舍去），∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）證，再證四邊形是平行四邊形，然后由即可得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)得設(shè)，則，再由勾股定理得，然后由銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論．解：（1）證明：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，即，∴四邊形是矩形；（2）解：如圖，∵四邊形是菱形