上海市虹口區(qū)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)

虹口區(qū)2023學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試高三數(shù)學(xué)試卷2024.4考生注意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，2.本考試分設(shè)試卷和答題紙.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上的相應(yīng)位置，在試卷上作答一律不得分.一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知，則________；2.已知球表面積為,則該球的體積為______.3.過拋物線焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則弦的長(zhǎng)度為__________.4.已知集合，則__________.5.已知隨機(jī)變量，且，則__________.6.3個(gè)男孩和3個(gè)女孩站成一排做游戲，3個(gè)女孩不相鄰站法種數(shù)為__________.7.已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，則這個(gè)三角形外接圓的直徑為__________.8.已知等比數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則__________.9.已知平面向量滿足，若平面向量滿足，則的最大值為__________.10.從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪廓為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，且，則該雙曲線的離心率為__________．11.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且.若，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，則線段的長(zhǎng)度和的最小值為__________.12.已知關(guān)于的不等式對(duì)任意均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.二?多選題（本大題共有4題，滿分18分，第1314題每題4分，第1516題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑.13.歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.14.設(shè)，將函數(shù)的圖像沿軸向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，則（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)D.函數(shù)在上值域?yàn)?5.給出下列4個(gè)命題：①若事件和事件互斥，則；②數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為10；③已知關(guān)于的回歸方程為，則樣本點(diǎn)的離差為；④隨機(jī)變量的分布為，則其數(shù)學(xué)期望.其中正確命題的序號(hào)為（）A.①② B.①③ C.②③ D.②④16.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，給出兩個(gè)命題：①對(duì)任意，都有；②若的值域?yàn)?，則對(duì)任意都有.則下列判斷正確的是（）A.①②都是假命題 B.①②都是真命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是真命題，②是假命題三?解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要步驟.17.已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，且，若，求正整數(shù)最小值.18.如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）若平面，點(diǎn)在棱上，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.19.某企業(yè)監(jiān)控汽車零件的生產(chǎn)過程，現(xiàn)從汽車零件中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)得質(zhì)量差（零件質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對(duì)值）的樣本數(shù)據(jù)如下表：質(zhì)量差（單位：）5457606366件數(shù)（單位：件）52146253（1）求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)；假設(shè)零件的質(zhì)量差，其中，用作為的近似值，求的值；（2）已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中全部零件的來自第1條生產(chǎn)線.若兩條生產(chǎn)線的廢品率分別為0.016和0.012，且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相互獨(dú)立的.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機(jī)抽取一件.（i）求抽取零件為廢品的概率；（ii）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產(chǎn)線的概率.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則.20.已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率之積為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線為的法向量為，求直線的方程；（3）是否存在直線，使得為直角三角形？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由.21.若函數(shù)滿足：對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）設(shè)，，分別判斷與是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)具有性質(zhì)，且圖像是一條連續(xù)曲線，若在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求證：是奇函數(shù).虹口區(qū)2023學(xué)年度第二學(xué)期期中學(xué)生學(xué)習(xí)能力診斷測(cè)試高三數(shù)學(xué)試卷2024.4考生注意：1.本試卷共4頁，21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，2.本考試分設(shè)試卷和答題紙.作答必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上的相應(yīng)位置，在試卷上作答一律不得分.一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第712題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.已知，則________；【答案】##0.28【解析】【分析】直接利用二倍角的余弦公式計(jì)算可得；【詳解】因?yàn)?，所以故答案為?2.已知球的表面積為,則該球的體積為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)球半徑為，由球的表面積求出，然后可得球的體積．【詳解】設(shè)球半徑為，∵球的表面積為，∴，∴，∴該球的體積為．故答案為．【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時(shí)由條件求得球的半徑后可得所求結(jié)果．3.過拋物線焦點(diǎn)的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則弦的長(zhǎng)度為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)焦半徑公式計(jì)算可得.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，則，所以，所以.故答案為：4.已知集合，則__________.【答案】【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】，，所以.故答案為：.5.已知隨機(jī)變量，且，則__________.【答案】12【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布方差和期望的公式求解即可.【詳解】隨機(jī)變量，，，則.故答案為：126.3個(gè)男孩和3個(gè)女孩站成一排做游戲，3個(gè)女孩不相鄰的站法種數(shù)為__________.【答案】144【解析】【分析】利用插空法求解即可.【詳解】先將3個(gè)男孩站成一排，有種方法，將3個(gè)女孩插入3個(gè)男孩形成的4個(gè)空位中，有種方法，故一共有：種.故答案為：1447.已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，則這個(gè)三角形外接圓的直徑為__________.【答案】##【解析】【分析】不妨設(shè)中，，，利用余弦定理求出，即可求出，再由正弦定理計(jì)算可得.【詳解】不妨設(shè)中，，，由余弦定理，即，解得，又，所以，由正弦定理，即這個(gè)三角形外接圓的直徑為.故答案為：8.已知等比數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若成等差數(shù)列，則__________.【答案】3【解析】【分析】利用等差數(shù)列的定義和等比數(shù)列的求和公式即可.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，故，即，解得：或.因?yàn)榈缺葦?shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，且，故.所以.故答案為：39.已知平面向量滿足，若平面向量滿足，則的最大值為__________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)，先求出，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)求出點(diǎn)的軌跡，進(jìn)而可得出答案.【詳解】如圖，設(shè)，因?yàn)?，所以，故，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由，得，所以點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，表示兩點(diǎn)間的距離，所以的最大值為.故答案為：.10.從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對(duì)稱平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪廓為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長(zhǎng)八等分，且，則該雙曲線的離心率為__________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)圓O半徑為r，利用半徑表示出a和圓上第一象限的八等分點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得b，然后可得離心率.【詳解】設(shè)圓O半徑為r，雙曲線方程為因?yàn)?，所以由題意可知，，代入方程，得解得，所以故答案為：11.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且.若，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，則線段的長(zhǎng)度和的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接、、、，首先證明，即可、、、四點(diǎn)共面，連接，，求出，將繞翻折，使得平面與平面共面，連接交于點(diǎn)，最后利用余弦定理計(jì)算可得.【詳解】取的中點(diǎn)，連接、、、，因?yàn)辄c(diǎn)為棱的中點(diǎn)，所以，又且，所以為平行四邊形，所以，所以，即、、、四點(diǎn)共面，連接，，則，，因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，所以，所以，所以，所以，即，所以，將繞翻折，使得平面與平面共面，連接交于點(diǎn)，則，又，在中，即，所以，即線段、的長(zhǎng)度和的最小值為.故答案為：12.已知關(guān)于的不等式對(duì)任意均成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分且和且，兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和基本不等式，求得函數(shù)的最值，即可求解.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式對(duì)任意均成立，①當(dāng)對(duì)任意均成立時(shí)，可得對(duì)任意均成立，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，所以，又由對(duì)任意均成立，可得對(duì)任意均成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以.②當(dāng)且對(duì)于任意均成立時(shí)，結(jié)合①可知且，此時(shí)無解.綜上可得，實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．二?多選題（本大題共有4題，滿分18分，第1314題每題4分，第1516題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置上，將所選答案的代號(hào)涂黑.13.歐拉公式把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)和聯(lián)系在一起，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)的天橋”.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用歐拉公式，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再求出復(fù)數(shù)的模.【詳解】由歐拉公式得，因此化為，則，即，所以.故選：A14.設(shè)，將函數(shù)的圖像沿軸向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像，則（）A.函數(shù)偶函數(shù)B.函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱C.函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)D.函數(shù)在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】【分析】利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到的解析式，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，將函?shù)的圖像沿軸向右平移個(gè)單位得到，又，所以為奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以函?shù)的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以函數(shù)在上是嚴(yán)格增減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，所以，則，即函數(shù)在上的值域?yàn)?，故D正確.故選：D15.給出下列4個(gè)命題：①若事件和事件互斥，則；②數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為10；③已知關(guān)于回歸方程為，則樣本點(diǎn)的離差為；④隨機(jī)變量的分布為，則其數(shù)學(xué)期望.其中正確命題的序號(hào)為（）A.①② B.①③ C.②③ D.②④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的定義判斷A；根據(jù)百分位數(shù)的定義判斷B；根據(jù)離差的定義判斷C；根據(jù)期望公式判斷D.【詳解】對(duì)于①：因?yàn)槭录褪录コ?，所以，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：因?yàn)椋缘诎俜治粩?shù)為從小到大排列的第個(gè)數(shù)，即可為，故②正確；對(duì)于③：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以樣本點(diǎn)的離差為，故③正確；對(duì)于④：，故④錯(cuò)誤.故選：C16.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)滿足，給出兩個(gè)命題：①對(duì)任意，都有；②若的值域?yàn)椋瑒t對(duì)任意都有.則下列判斷正確的是（）A.①②都是假命題 B.①②都是真命題C.①是假命題，②是真命題 D.①是真命題，②是假命題【答案】B【解析】【分析】對(duì)于①，根據(jù)不等式，構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可；對(duì)于②，根據(jù)函數(shù)的值域和單調(diào)性，結(jié)合不等式求解即可.【詳解】，故在上遞增，對(duì)于①，設(shè)，，設(shè)，，，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，即，，即，故，故①是真命題.對(duì)于②，由①知，，即，，故.且在上遞增，故，，故的值域?yàn)樗?，即，故，②是真命題.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題①判斷的關(guān)鍵是首先根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到在上遞增，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到其單調(diào)性，最后得到，則可判斷①.三?解答題（本大題共5題，滿分78分）解答下列各題須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要步驟.17.已知等差數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，且，若，求正整數(shù)最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到關(guān)于、的方程組，解得即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用等差數(shù)列求和公式求出，再解不等式即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，故；【小問2詳解】由（1）可得，則，所以，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，因?yàn)椋?，所以，所以或，因?yàn)?，所以，所以的最小值是?8.如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，，.（1）求證：平面；（2）若平面，點(diǎn)在棱上，且平面，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，即可得到，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由平面，則即可求出，從而確定點(diǎn)坐標(biāo)，再由空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，在平行四邊形中為的中點(diǎn)，是的中位線，可得，平面，平面，平面；【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又，故以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以，解得，?jīng)檢驗(yàn)符合題意.所以，則，又，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.19.某企業(yè)監(jiān)控汽車零件的生產(chǎn)過程，現(xiàn)從汽車零件中隨機(jī)抽取100件作為樣本，測(cè)得質(zhì)量差（零件質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之差的絕對(duì)值）的樣本數(shù)據(jù)如下表：質(zhì)量差（單位：）5457606366件數(shù)（單位：件）52146253（1）求樣本質(zhì)量差的平均數(shù)；假設(shè)零件的質(zhì)量差，其中，用作為的近似值，求的值；（2）已知該企業(yè)共有兩條生產(chǎn)汽車零件的生產(chǎn)線，其中全部零件的來自第1條生產(chǎn)線.若兩條生產(chǎn)線的廢品率分別為0.016和0.012，且這兩條生產(chǎn)線是否產(chǎn)出廢品是相互獨(dú)立的.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的汽車零件中隨機(jī)抽取一件.（i）求抽取的零件為廢品的概率；（ii）若抽取出的零件為廢品，求該廢品來自第1條生產(chǎn)線的概率.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則.【答案】（1），（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）先求出，再利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性求解；（2）（i）利用全概率公式求解；（ii）利用條件概率公式求解．【小問1詳解】由題意可知，則，所以；【小問2詳解】（i）設(shè)事件表示“隨機(jī)抽取一件該企業(yè)生產(chǎn)的該零件為廢品”，事件表示“隨機(jī)抽取一件零件為第1條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，事件表示“隨機(jī)抽取一件零件為第2條生產(chǎn)線生產(chǎn)”，則，，，，所以；（ii）因?yàn)椋?，所以?0.已知橢圓的焦距為，點(diǎn)在橢圓上，動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，且直線的斜率之積為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線為的法向量為，求直線的方程；（3）是否存在直線，使得為直角三角形？若存在，求出直線的斜率；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，直線的斜率為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，即可得解；（2）由題意直線的斜率為，方程為，聯(lián)立方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線的方程；（3）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可求出直線的斜率，再分和兩種情況討論即可得解.【小問1詳解】由已知條件可知，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】因?yàn)橹本€為的法向量為，所以直線的斜率為，方程為，聯(lián)立，得，解得（舍去），從而，因?yàn)橹本€的斜率之積為1，所以直線的方程為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即；【小問3詳解】假設(shè)存在滿足條件的直線，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，解得（舍去），因?yàn)橹本€的斜率之積為1，所以直線的方程為，同理可得，故直線的斜率，當(dāng)為直角三角形時(shí)，只有或，于是或，若，由，可得，從而，若，由，可得，從而，所以存在，直線的斜率為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法