2023北京房山區(qū)初三（上）期末數(shù)學試題及參考答案

2023北京房山初三（上）期末數(shù)學2022.12一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．，如果的值為（）AD=3，BD=6，=2，那么DE∥BC1.如圖，在△中，A.4B.6C.8D.9A的值為（）2.在△中，∠C=90，如果AC=4，=3，那么43A.C.B.D.5543343.把二次函數(shù)＝xA.＝（x+1）+34.如圖，ABC是2﹣化為y＝（﹣h）2+k的形式，下列變形正確的是（）D.＝（x﹣）+32B.＝（﹣）2+3C.＝（﹣）2+52上的三個點，如果BAC25，那么的度數(shù)是（=）A.35B.45C.50D.5.河堤的橫截面如圖所示，堤高是5米，迎水坡的長是的坡度i）A.：3B.：2.6C.：2.4D.：2，則（1()，()都是反比例函數(shù)y=圖象上點，并且0）Ax,yBx,y126.已知點1122xyy0yy0yy0yy0D.21A.B.C.1221127.道路施工部門在鋪設如圖所示管道時，需要先按照其中心線計算長度后再備料．圖中的管道中心線AB的長為（單位：）A.B.C.D.3333xOy，B兩點同時從原點Ox出發(fā)，點A以每秒2個單位長的速度沿8.如圖，在平面直角坐標系中，yt軸的正方向運動，點B以每秒1個單位長的速度沿軸的正方向運動，設運動時間為秒，以AB為直徑作圓，圓心為點P．在運動的過程中有如下5個結論：①ABO的大小始終不變；②始終經過原點O；③半徑的長是時間t的一次函數(shù)；④圓心P的運動軌跡是一條拋物線；1y=?x⑤AB始終平行于直線．2其中正確的有（）A.①②③④B.①②⑤C.②③⑤D.①②③⑤二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）x1=?(+)2?的頂點坐標為29.二次函數(shù)y__________．k10.如圖，平面直角坐標系中，若反比例函數(shù)y=()k0的圖象過點A和點B的值為______．ax的位置如圖所示，則sinABC______．為在正方形網格中，xOy中，拋物線yx22xm與軸只有一個交點，則的值為______．=?+xm12.平面直角坐標系13.麗麗的圓形鏡子摔碎了，她想買一個同樣大小的鏡子．為了測算圓形鏡子的半徑，如圖，她將直角三角尺的直角頂點C放在破損的圓形鏡子的圓框上，兩直角邊分別與圓框交于AB為8cm，為，則該圓形鏡子的半徑是______cm．．．AFFC1414.如圖，在矩形ABCD中，若2，=BC=4=的長為______．，且15.《九章算術》是東方數(shù)學思想之源，該書中記載：今有勾八步，股一十五步，問勾中容圓徑幾何．”其意思為：“今有直角三角形，勾短直角邊長為8步，股(長直角邊)步，問該直角三角形內切圓直徑是多少步．”該問題的答案是________步．()為圓心，單位長1為半徑的圓與直線Pt,0=kx?2相切于點y16.在平面直角坐標系中，以點M，y=kx?2直線與y軸交于點NMN取得最小值時，k的值為______．三、解答題（本題共道小題，共68分．，18，，21每題5分；其余每題6分）17.計算：2cos30+2sin45?tan60．y=?x2++c過點(3)和?()．18.拋物線（1，c的值；（2）直接寫出當x取何值時，函數(shù)y隨x的增大而增大．2中，5，==sinABC=．19.如圖，5（1BC的長．（2）是邊上的高，請你補全圖形，并求的長．20.下面是曉雨同學設計的“過圓外一點作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程．已知：如圖，及外一點P．求作：過點P的的切線PD（D交于點A，延長PO與作法：①連接PO與交于點B；②以點O為圓心，AB長為半徑作??；以點P為圓心，PO長為半徑作弧，在PO上方兩弧交于點C；③連接，，OC與④作直線PD．交于點D；則直線PD即為所求作的的切線．請你根據(jù)曉雨同學的作法，完成以下問題：（1（2）完成以下證明過程：證明：由作圖可知，，=PC=PO，點______線段中點，∴⊥（____________）又∵點D在上，切線（____________）∴是交于點，B，割線過圓心O，且=．若PC=13，的半21.如圖，割線PB與徑=5，求弦AB的長．22.中央電視塔是一座現(xiàn)代化標志性建筑，其外觀優(yōu)美，造型獨特，在觀光塔上眺望，北京風景盡收眼底．一次數(shù)學活動課上，某校老師帶領學生去測量電視塔的高度．如圖，在點C處用高1.5m的測角儀CD測得塔尖的仰角為37，向塔的方向前進128m到達F處，在F處測得塔尖的仰角為45，請AA3545你求出中央電視塔AB的高度（結果精確到sin37，cos37，343543tan37，sin53，53tan53，4523.在歷史的長河中，很多文物難免損耗或破碎斷裂，而文物修復師能運用自身擁有的多門學科的專業(yè)知識去修復破損的文物，使其重獲新生．如圖，某文物修復師在修復一件破碎的古代瓷器束口盞（盞口原貌為圓形）的時候，僅憑一塊碎片就初步推算出了該文物原貌口徑的尺寸．如圖2是文物修復師根據(jù)碎片的切面畫出的幾何圖形．碎片的邊緣是圓弧，表示為AB，測得弧所對的弦長AB為12.8，弧中點到弦的距離為2．設AB所在圓的圓心為O，半徑⊥于D，連接．求這個盞口半徑的長（精確到0.1mA(4)，一次函數(shù)x0的圖象經過點24.如圖，平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)y=()xmy=?x+2的圖象與反比例函數(shù)=()的圖象交于點．yx0Bx（1m的值；m()C(x0)圖象上任意一點，過點C作y軸的垂線交y軸于點DC作x軸Cx,yy=（2是Cx的垂線交直線y=?x+2于點E．x=?2時，判斷CD與CEC①當?shù)臄?shù)量關系，并說明理由；②當CECD時，直接寫出xC的取值范圍．25.如圖，AB是相交于點E．的直徑，直線MC與相切于點C．過點B作于D，線段與（1）求證：BC是ABD的平分線；BE=6（2AB10，=，求的長．y=ax?4ax+3(a0)．226.在平面直角坐標系中，已知拋物線（1）求拋物線的對稱軸；A2?t,y（2）拋物線上存在兩點()，(+B2t,y)，若21y2，請判斷此時拋物線有最高點還是最低1點，并說明理由；（3）在（）的條件下，拋物線上有三點m)()(p)nmnp0時，求的取值范圍．a，，，當=，=為平面上一點，使得27.為等腰直角三角形，2DBDA=90．點P為BC中點，連接．DP（1）如圖，點D為內一點．①猜想BDP的大小；②寫出線段AD，，PD之間的數(shù)量關系，并證明；（2）直接寫出線段CD的最大值．xOy28.在平面直角坐標系中，已知一條開口向上的拋物線，連接此拋物線上關于對稱軸對稱的兩點，BAABAB下方的拋物線部分和線段AB上方的圓弧部（點在B為直徑作．取線段分（含端點，BAB叫做“橫徑”，線段AB的垂直平分線被“拋物圓”截得的線段叫做“縱徑”，規(guī)定“縱徑”長度和“橫徑”長度的比值叫做此“拋物圓”的“扁度”．（1）已知拋物線y2．①若點A橫坐標為2，則得到的“拋物圓”的“橫徑”長為______，“縱徑”長為______?；②若點A橫坐標為，用t表示此“拋物圓”的“縱徑”長，并求出當它的“扁度”為2時t的值；（2）已知拋物線y=x?2ax+a2+a，若點A在直線y=?4ax+a上，求“拋物圓”的“扁度”不超過23時a的取值范圍．參考答案一、選擇題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）下面各題均有四個選項，其中只有一個是符合題意的．1.【答案】B【解析】ADAE=AC【分析】由平行線分線段成比例可得到，從而的長度可求.ABAC【詳解】∵DE∥BCADAE=∴∴ABAC32=3+6AC∴AC=6故選B【點睛】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵.2.【答案】A【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的長度，從而A=可求.【詳解】∵∠C90，AC=4，=3=∴AB=AC2+BC2=42+3=52ACAB45cosA==∴故選A【點睛】本題主要考查勾股定理及余弦的定義，掌握余弦的定義是解題的關鍵.3.【答案】D【解析】x2?2x+4=(x2?2x++3=(x?+3，2【詳解】(x?+3.故選D.2所以4.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同圓中，同弧所對的圓周角是圓心角的一半可得結果．【詳解】∵在中，BAC=25，∴==，故選：C【點睛】本題考查圓周角定理，掌握圓周角定理，并能找出同弧所對的圓周角和圓心角是解題的關鍵．5.【答案】C【解析】【詳解】分析：在Rt中，根據(jù)勾股定理求得AC的長，根據(jù)坡面AB的坡比即為∠BAC的正切即可求解.詳解：在Rt中，BC5米，AB=根據(jù)勾股定理得AC=1251==.∴=故選C.122.4點睛：本題主要考查學生對坡度坡角的掌握，熟練運用勾股定理是解答本題的關鍵．6.【答案】D【解析】1y=【分析】反比例函數(shù)在每一象限內，y隨x的增大而減小，從而可得答案．x1()()Bx,y22y=都是反比例函數(shù)Ax,y【詳解】解：∵點又∵0，y=，圖象上的點，11x1∴反比例函數(shù)的圖象在第一象限和第三象限，xxx0即當時，y隨x的增大而減小，12yy0∴，21故選：D．【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖象與性質，掌握反比例函數(shù)的增減性是解本題的關鍵．7.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求AB長即可求解．120π4080π【詳解】解：依題意，l==，1803故選：．【點睛】本題考查了求弧長，掌握弧長公式是解題的關鍵．8.【答案】D【解析】OAOB1tanB==2，即可判斷①，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出=2判斷②，根據(jù)題意求得，即可判斷③④，待定系數(shù)法求得AB的解析式，即可判斷⑤，即可求解．=t,=t【詳解】解：依題意，OAtanB==2，∴OB∴ABO的大小始終不變，故①正確；如圖，連接OP，15∴AB=OB2+OA2=t，OP=AB=t22∴始終經過原點O，故②正確125∵AP=AB=t2∴半徑的長是時間t的一次函數(shù)，故③正確；125∵OP=AB=t2∴圓心P的運動軌跡是一條直線；故④不正確∵()，Bt()，At,0y=+b設直線AB的解析式為tk+b=0,則，b=t1k=?2，解得：b=t1y=?x+t∴直線AB的解析式為21y=?x∴AB始終平行于直線故選：D，故⑤正確．2知識是解題的關鍵．二、填空題（本題共8道小題，每小題2分，共16分）9.-1，）【解析】【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點式即可求得頂點坐標．x1=?(+)2?2的圖象的頂點坐標為（，-2【詳解】解：二次函數(shù)y-1，）【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，根據(jù)二次函數(shù)的頂點式，找出函數(shù)圖象的頂點坐標是解題的關鍵．310.【答案】##1.52【解析】【分析】根據(jù)點A的坐標求得反比例函數(shù)解析式，將x=2代入，即可求解．kA3【詳解】解：依題意，將點()代入y=，得出k=3，x3y=?∴反比例數(shù)解析式為，x3當x=2時，y=，23a=即，232故答案為：．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，求得反比例函數(shù)解析式是解題的關鍵．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意找到Rt△，根據(jù)正弦的定義即可求解．【詳解】解：如圖∵△ABD是直角三角形，AD=AB=12+32=10，10ADAB1∴sinABC===，1010故答案為：．【點睛】本題考查了求正弦，勾股定理與網格，掌握正弦的定義是解題的關鍵．12.【答案】1【解析】y=0，即x2?2x+m=0，然后再根據(jù)一元二次方程的判別式，計算即可．【分析】根據(jù)題意，得出y=x?2x+m與x軸只有一個交點，2【詳解】∵拋物線∴方程x22xm0根的判別式?+=Δ=0，即4?4m=0，解得：m=1，故答案為：1x【點睛】本題考查了二次函數(shù)與軸交點問題，轉為為一元二次方程根的判別式進行求解是解題的關鍵．13.【答案】5【解析】ABAB是該圓形鏡子的直徑，進而直接根據(jù)勾股定理求得AB可求解．【詳解】如圖，連接AB，∵ACB90，=∴AB是該圓形鏡子直徑，在Rt△ACB中，=8cm，CB=6cm，∴AB=CA2+CA2=82+62=10cm，==5cm，∴該圓形鏡子的半徑是22故答案為：5．AB是該圓形鏡子的直徑．514.【答案】5【解析】【分析】先證明△AEFCBF，由勾股定理求得的長度，再根據(jù)三角形相似比得到BF4EF，=最后利用EFBFBE=5得+=EF的長度．【詳解】∵ABCD是矩形，且2，=BC=4，∴∥，∴EAF∴△AEFCBF，=BCF，且=，1====∴，且BC4，4∴AE1，=BF=4EF，∵2，=∴BE=AB2+AE=52+==BF=4EF5，且∴EFBFBE5∴=55故答案為:．5【點睛】本題考查相似三角形的綜合應用，矩形的性質及勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質、勾股定理的應用是解題關鍵．15.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內切圓的半徑的求法確定出內切圓半徑，得到直徑．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為82+152=17，11(17158r++)=815設內切圓半徑為r，由面積法22r=36故答案為：6．【點睛】考點：三角形的內切圓與內心．16.【答案】3或?3##?3或3【解析】t=，即可求得PM=1，PN=2，設直線ykx2與x軸的交點為0=?【分析】根據(jù)題意先求得2k1212A,0S=，然后利用AN，即可求得k的值y=kx?2【詳解】∵直線與y軸交于點N，∴N(2)，且()，Pt,0∴PN=OP2+ON2=t2+4，y=kx?2∵單位長1為半徑的圓與直線∴PM⊥MN，相切于點，∴=2?2=t+3，2∴當t=0時，MN取得最小值3，()，P0,0∴點2ky=kx?2A,0設直線與x軸的交點為，222k=PM1PN==∴AN=+22，AP，，2，k112S=AN∴，224∴2==+4，kk2解得：k3或k=?3，?3故答案為：3或【點睛】本題考查了切線的性質、勾股定理及分式方程，解決問題的關鍵是利用三角形的面積相等解分式方程三、解答題（本題共道小題，共68分．，18，，21每題5分；其余每題6分）17.【答案】．【解析】【分析】將特殊角的三角函數(shù)值代入求解．32【詳解】原式=2+2?322=?3，=1.【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值．18.1bc的值；（2）直接寫出當x取何值時，函數(shù)y隨x的增大而增大．c=?3）b4，=（2）x2（或x2）【解析】）將已知點代入拋物線表達式即可求得b，c的值（2）根據(jù)拋物線的開口方向和對稱軸即可求得x的取值范圍【小問1詳解】解：∵拋物線y=?x++c過點(3)和?()，2c=?3?4+b+c=1，∴解得：b=4，c=?3【小問2詳解】y=?xx=?2+4x?3，由（）知拋物線的表達式為∵a=10，b=4，b=2∴拋物線開口向下，對稱軸為，2a∴當x2（或x2）時，函數(shù)y隨x的增大而增大【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解決問題的關鍵19.）221421（2）5【解析】1A作⊥于點D==Rt2理求得，進而即可求解；（2）過點B，作⊥CA交的延長線于點E，根據(jù)的結論，即可求解．，以及正弦的定義，結合（）【小問1詳解】解：如圖，過點A作⊥于點D，==5∵∴1==，225∵sinABC=2=,=5∴,5∴AD=2Rt=AB2AD2?=5222=21,?在中，BD∴BC=2BD=221小問2詳解】解：如圖，過點B，作⊥CA交的延長線于點E∵=∴2∵sinABC=∴sinACB=5BEBC25=∵=2,421∴=5【點睛】本題考查了三線合一的性質，解直角三角形，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．20.）見解析（）D；三線合一；切線的判定定理【解析】）根據(jù)基本作圖補全圖形即可求解；（2）根據(jù)作圖步驟，由三線合一得出⊥，進而判斷PD是【小問1詳解】切線解：如圖所示，【小問2詳解】證明：由作圖可知，=，PC=PO，點D中點，∴⊥（三線合一）又∵點D在∴PD是上，切線（切線的判定定理）故答案為：D；三線合一；切線的判定定理【點睛】本題考查了切線的判定，三線合一，掌握基本作圖是解題的關鍵．21.【答案】6【解析】1【分析】作OD⊥AB于點D，根據(jù)垂徑定理可得出中，勾股定理求得AD=3，即可求解．=，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質，在2Rt【詳解】解：如圖，作OD⊥AB于點D，1=則∵，2PC=13，==5，∴PO=8，∵=，1OD=PO=4∴，2AO==4，在Rt中，∴AD=AO2?=3，2∴=2=6．【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，正確的添加輔助線是解題的關鍵．22.【答案】中央電視塔AB的高度為385.5米．【解析】Rt中，Rt中得出GD,GEED=?=128AG可求解．AGtanADG=【詳解】解：在Rt中，，GDAGtan37AG343===AG∴4=中，，AEG=45在Rt∴=，41ED=?=AG?AG=AG∴33∵ED=128∴AG=3ED=384,由圖可知四邊形GBCD是矩形，則GB=CD=1.5∴AB=AG+BG=384+1.5=386答：中央電視塔AB的高度為386米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形中的邊角關系是解題的關鍵．23.【答案】【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理求出，再根據(jù)勾股定理列出關于的方程求出答案即可．【詳解】∵，且=12.8，⊥1=AB=．6.4∴BD2根據(jù)題意可知=，∴OD=OC?CD=?（=?2+6.42，根據(jù)勾股定理，得OB2解得．所以這個盞口半徑的長為．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理等，勾股定理是求線段長的常用方法．24.）m=?4（2CDCE；②C=?2或1C0【解析】m）將點A(4)代入反比例函數(shù)=()yx0m，即可求得xx=?2分別代入反比例函數(shù)和一次函數(shù)即可求得CD與CE，即可得到CD與CEC（2）①將的數(shù)量關系②當CECD時，可以得到關于x的不等式，解不等式即可求得x的取值范圍CC【小問1詳解】m∵反比例函數(shù)A(4)，y=()x0的圖象經過點xm4=∴，1∴m=?4【小問2詳解】①CD=CE，理由如下：?4x=?2=()x0y=2得：，Cy將代入代入Cx∴CD=2x=?2Cy=?x+2得：yE=4，將∴CE=y?y=2,EC∴CD=CE4y=y=?x+2x0，且②∵，，CECC4∴CD=?x，CE=y?y=?x+2?，CECCC∵CECD，?4?C+2??xx0C∴，且，CCx2?2C?4C2∴∴，C2?2C?4C2x2?2C?4?C2x，且C0，xC或C∴C?2或1C0【點睛】本題是一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合題，解決問題的關鍵是能夠按照點的坐標求到坐標軸的距離25.）見解析（）=45【解析】）連接，根據(jù)切線的性質得出OC⊥MC，根據(jù)，得出OC∥BD，根據(jù)平行線的性質得出DBC=OCB，根據(jù)半徑相等，等邊對等角得出OCB=，等量代換可得=，即可得證；（2）連接AE交于點F，連接，勾股定理求得AE，垂徑定理求得，進而勾股定理求得FO,CF,△ACB中，勾股定理即可求解．，在【小問1詳解】證明：如圖，連接，∵直線MC與∴OC⊥MC,相切于點C．∵，∴OC∥BD，∴DBC=OCB，∵OC=OB，∴OCB=，∴DBC=OBC，∴BC是ABD的平分線；【小問2詳解】解：如圖，連接AE交于點F，連接，∵AB是的直徑，ACB=90∴AEB90，=，又∵，∴AE∥MC，∴CO⊥AE，1AF=FE=AE∴，2∵AB=10，BE=6，∴=2?=8，21==4，∴2在Rt中，F(xiàn)O=AO2?AF2=52?42=3，∴CF=CO?=5?3=2，在RtCAF中，AC=AF+CF222=42+22=25，(225在△ACB中，=2?=102?=45，∴45．=【點睛】本題考查了切線的性質，勾股定理，垂徑定理，直徑所對的圓周角是直角，綜合運用以上知識是解題的關鍵．26.）直線x=2（2）拋物線有最高點，理由見解析3?a0（3）5【解析】）化為頂點式即可求解；A2?t,y（2）將點()，(+B2t,y2)代入拋物線解析式，根據(jù)1y2，得出0，即可求解；1)，(n)，(p)代入拋物線解析式，根據(jù)mnp0時，結合0，解不等式即可求解．（3）將點m【小問1詳解】解：∵y=ax?+=4ax3a(x2)4a3?2?+2∴拋物線的對稱軸為直線x=2；【小問2詳解】解：拋物線有最高點，理由如下A2?t,y∵拋物線上存在兩點()，(+)，B2t,y21=(??)∴1a2t22?4a+3=at2?4a+3，y2=a(2+t?2)2?4a+3=4at?4a+3，2yy1∵，2即at∴at22?4a34at+2?4a3，+4at2，∴0，∴此時拋物線有最高點；【小問3詳解】將點m)，(n)，(p)，代入拋物線解析式得：m=?a+3n=?4a+3p=5a+3，∵∴mnp0，(?)(?)(+)3a34a35a0，∵0，∴(3?a3?4a0，)()∴3+5a0，3?a0∴．5【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質，掌握二次函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵．27.）①BDP45②BDAD+==2PD（2）1+5【解析】）①由為等腰直角三角形，BDA=90，以AB為直徑作圓，則點DP是圓周上的點，再根據(jù)等腰直角三角形的性質可知，然后利用圓周角的性質可知=BDP=BAP=452AD②過點B作BEPD交⊥PD的延長線于點，得到RtABDRtPBE△∽△，即可得PE=，然后2由BD=2DE，得到BD=AD+2PD（2）連接OC與圓周交于點D，點D在【小問1詳解】外，此時CD最大，利用勾股定理即可求得①猜想BDP=45，下面證明：以AB為直徑作，∵BDA=90，∴點D在圓上，連接，點P為BC中點，為等腰直角三角形，∴，即點P也在∴BAP=ABP=45，∴BDP=BAP=45⊥上，=C=②BD=AD+2PD，下面證明：PD過點B作BEPD交⊥的延長線于點E，由①知BDP=45，BAP=ABP=45，AP=BP∴DBE=45，AP=BP，即∴ABD+DBP=DBP+PBE=，=PBE，