江西省宜春市靖安縣靖安中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析_第1頁(yè)
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江西省宜春市靖安縣靖安中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,,則等于()A.5 B.31C.38 D.412.積分()A. B.C. D.3.已知,則“”是“直線與平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.公元前6世紀(jì),古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究發(fā)現(xiàn)了黃金分割,簡(jiǎn)稱黃金數(shù).離心率等于黃金數(shù)的倒數(shù)的雙曲線稱為黃金雙曲線.若雙曲線是黃金雙曲線,則()A. B.C. D.5.已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切,且與直線平行,則()A.2 B.1C. D.6.在等比數(shù)列中,,公比,則()A. B.6C. D.27.?dāng)?shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A. B.C. D.8.若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為()A. B.C. D.9.已知直線方程為,則其傾斜角為()A.30° B.60°C.120° D.150°10.不等式表示的平面區(qū)域是一個(gè)()A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形11.已知拋物線的焦點(diǎn)為,為拋物線上一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且,則()A.4 B.2C. D.12.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),的圖像如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè),復(fù)數(shù),,若是純虛數(shù),則的虛部為_(kāi)________.14.已知曲線的方程是,給出下列四個(gè)結(jié)論:①曲線C恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));②曲線有4條對(duì)稱軸;③曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于1;④曲線所圍成圖形的面積大于4;其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是_____15.無(wú)窮數(shù)列滿足:只要必有則稱為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”.已知為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”,且前四項(xiàng)成等比數(shù)列,,則=_________.16.雙曲線的離心率為2,寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某校從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取40名中學(xué)生,將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)(滿分100分,成績(jī)均為不低于40分的整數(shù))分成六段:,,…,所得到如圖所示的頻率分布直圖(1)求圖中實(shí)數(shù)的值;(2)若該校高一年級(jí)共有640人,試估計(jì)該校高一年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù);(3)若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40,50)與[90,100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生,求這2名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10的概率.18.(12分)如圖,已知頂點(diǎn),,動(dòng)點(diǎn)分別在軸,軸上移動(dòng),延長(zhǎng)至點(diǎn),使得,且.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡;(2)過(guò)點(diǎn)分別作直線交曲線于兩點(diǎn),若直線的傾斜角互補(bǔ),證明:直線的斜率為定值;(3)過(guò)點(diǎn)分別作直線交曲線于兩點(diǎn),若,直線是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn),若不是,說(shuō)明理由.19.(12分)已知拋物線:的焦點(diǎn)是圓與軸的一個(gè)交點(diǎn).(1)求拋物線的方程;(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B,О為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:.20.(12分)在四棱錐P﹣ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn),PA=2AB=2(1)求四棱錐P﹣ABCD的體積V;(2)若F為PC的中點(diǎn),求證PC⊥平面AEF21.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,,離心率為,過(guò)左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),的周長(zhǎng)為8(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖,,是橢圓C的短軸端點(diǎn),P是橢圓C上異于點(diǎn),的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q滿足,,求證與的面積之比為定值22.(10分)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)證明:數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,首先根據(jù)題意得到,再解方程組即可得到答案.【詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,由題知:,解得.故選:A.2、B【解析】根據(jù)定積分的幾何意義求值即可.【詳解】由題設(shè),定積分表示圓在x軸的上半部分,所以.故選:B3、A【解析】首先由兩直線平行的充要條件求出參數(shù)的取值,再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可;【詳解】因?yàn)橹本€與平行,所以,解得或,所以“”是“直線與平行”的充分不必要條件.故選:A.4、A【解析】根據(jù)黃金雙曲線的定義直接列方程求解【詳解】雙曲線中的,所以離心率,因?yàn)殡p曲線是黃金雙曲線,所以,兩邊平方得,解得或(舍去),故選:A5、C【解析】先根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)切線方程,再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑列式解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)榍芯€與直線平行,所以切線方程可設(shè)為因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P(2,2),所以因?yàn)榕c圓相切,所以故選:C6、D【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得:.故選:D7、A【解析】根據(jù)規(guī)律,總結(jié)通項(xiàng)公式,即可得答案.【詳解】根據(jù)規(guī)律可知數(shù)列的前三項(xiàng)為,所以該數(shù)列一個(gè)通項(xiàng)公式為故選:A8、C【解析】利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得的值,再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,求得結(jié)果即可.【詳解】解:因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,則,所以,令,求得,所以展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故選:C.9、D【解析】由直線方程可得斜率,根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設(shè),直線斜率,若直線的傾斜角為,則,∵,∴.故選:D10、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域,可得出結(jié)論.【詳解】由可得或,作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示:由圖可知,不等式表示的平面區(qū)域是一個(gè)梯形.故選:D.11、B【解析】依題意可得,設(shè),根據(jù)可得,,根據(jù)為拋物線上一點(diǎn),可得.【詳解】依題意可得,設(shè),由得,所以,,所以,,因?yàn)闉閽佄锞€上一點(diǎn),所以,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了求拋物線方程,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到導(dǎo)數(shù)的正負(fù),從而得到函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,則,所以A選項(xiàng)和C選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng)時(shí),先增,再減,然后再增,則先正,再負(fù),然后再正,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.一般地,函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo),,則在這個(gè)區(qū)間是增函數(shù);函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo),,則在這個(gè)區(qū)間是減函數(shù).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則求出,又是純虛數(shù),可求出,從而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及虛部的定義即可求解.【詳解】解:因?yàn)閺?fù)數(shù),,所以,又是純虛數(shù),所以,所以,所以所以的虛部為,故答案:.14、②③④【解析】根據(jù)曲線方程作出曲線,即可根據(jù)題意判斷各結(jié)論的真假【詳解】曲線的簡(jiǎn)圖如下:根據(jù)圖象以及方程可知,曲線C恰好經(jīng)過(guò)9個(gè)整點(diǎn),它們是,,,所以①不正確;由圖可知,曲線有4條對(duì)稱軸,它們分別是軸,軸,直線和,②正確;由圖可知,曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不小于1,③正確;由圖可知,曲線所圍成圖形的面積等于,④正確故答案為:②③④15、7578【解析】根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列,從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列,,∴,又,為“和諧遞進(jìn)數(shù)列”,∴,,,,…,∴數(shù)列是周期數(shù)列,周期為4∴故答案為:757816、(答案不唯一例如:等,只需滿足即可)【解析】根據(jù)離心率和的關(guān)系,可得到,只要滿足以上關(guān)系的即可【詳解】由題可知,又,所以,只要滿足以上關(guān)系即可.,答案不唯一例如:等故答案為:(答案不唯一例如:等,只需滿足即可)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)a=0.03;(2)544人;(3).【解析】(1)根據(jù)圖中所有小矩形的面積之和等于1求解.

(2)根據(jù)頻率分布直方圖,得到成績(jī)不低于60分的頻率,再根據(jù)該校高一年級(jí)共有學(xué)生640人求解.

(3)由頻率分布直方圖得到成績(jī)?cè)赱40,50)和[90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù),先列舉出從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40,50)與[90,100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生的基本事件總數(shù),再得到兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10”的基本事件數(shù),代入古典概型概率求解.【詳解】(1)∵圖中所有小矩形的面積之和等于1,∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1,解得a=0.03.

(2)根據(jù)頻率分布直方圖,成績(jī)不低于60分的頻率為1?10×(0.005+0.01)=0.85,

∵該校高一年級(jí)共有學(xué)生640人,

∴由樣本估計(jì)總體的思想,可估計(jì)該校高一年級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)不低于60分的人數(shù)約為640×0.85=544人.

(3)成績(jī)?cè)赱40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05=2人,分別記為A,B,

成績(jī)?cè)赱90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1=4人,分別記為C,D,E,F(xiàn).

若從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱40,50)與[90,100]兩個(gè)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生,

則所有的基本事件有:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F(xiàn)),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F(xiàn)),(C,D),(C,E),

(C,F(xiàn)),(D,E),(D,F(xiàn)),(E,F(xiàn))共15種.

如果兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)都在[40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在[90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi),

那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定不大于10.

如果一個(gè)成績(jī)?cè)赱40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi),另一個(gè)成績(jī)?cè)赱90,100]分?jǐn)?shù)段內(nèi),

那么這兩名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值一定大于10.

記“這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)之差的絕對(duì)值不大于10”為事件M,

則事件M包含的基本事件有:(A,B),(C,D),(C,E),(C,F(xiàn)),(D,E),(D,F(xiàn)),(E,F(xiàn))共7種.

∴所求概率為P(M)=.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用以及古典概型概率的求法,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.18、(1);(2)證明見(jiàn)解析;(3).【解析】(1)設(shè)點(diǎn)M,P,Q的坐標(biāo),將向量進(jìn)行坐標(biāo)化,整理即可得軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn),,直線的傾斜角互補(bǔ),則兩直線斜率互為相反數(shù),用斜率公式計(jì)算得到,即可計(jì)算kAB;(3)若,由兩直線斜率積為-1,可得到關(guān)于與的等量關(guān)系,寫(xiě)出直線AB的方程,將等量關(guān)系代入直線方程整理可得直線AB經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)【詳解】(1)設(shè),,.由,得,即.因?yàn)?,所以,所?所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為拋物線,其方程為.(2)證明:設(shè)點(diǎn),,若直線的傾斜角互補(bǔ),則兩直線斜率互為相反數(shù),又,,所以,,整理得,所以.(3)因?yàn)椋?,即,①直線的方程為:,整理得:,②將①代入②得,即,當(dāng)時(shí),即直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查直接法求軌跡方程,考查直線斜率為定值的求法和直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.19、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)由圓與軸的交點(diǎn)分別為,可得拋物線的焦點(diǎn)為,從而即可求解;(2)設(shè)直線為,聯(lián)立拋物線方程,由韋達(dá)定理及,求出即可得證.【小問(wèn)1詳解】解:由題意知,圓與軸的交點(diǎn)分別為,則拋物線的焦點(diǎn)為,所以,所以拋物線方程為;【小問(wèn)2詳解】證明:設(shè)直線為,聯(lián)立方程,有,所以,所以,所以.20、(1)(2)見(jiàn)解析.【解析】(1)在中,,求得,由此能求出四棱錐的體積;(2)由平面,證得和,由此利用線面垂直的判定定理,即可證得平面.試題解析:(1)在中,.在中,.則.(2),為的中點(diǎn),.平面.平面.為中點(diǎn),為為中點(diǎn),,則.平面.考點(diǎn):四棱錐的體積公式;直線與平面垂直的判定與證明.21、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】(1)根據(jù)周長(zhǎng)為8,求得a,再根據(jù)離心率求解;(2)方法一:設(shè),,得到直線和直線的方程,聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo),根據(jù)在橢圓上,得到,然后代入Q的橫坐標(biāo)求解;方法二:設(shè)直線,的斜率分別為k,,點(diǎn),,直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,求得點(diǎn)P橫坐標(biāo),再由的直線方程聯(lián)立,得到P,Q的橫坐標(biāo)的關(guān)系求解.【小問(wèn)1詳解】解:∵的周長(zhǎng)為8,∴,即,∵離心率,∴,,∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】方法一:設(shè),則直線斜率,∵,∴直線斜率,∴直線的方程為:,同理直線的方程為:,聯(lián)立上面兩直線方

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