第二章 直線與圓單元測試（提升卷）（解析版）

試卷第=page2424頁，總=sectionpages2424頁試卷第=page11頁，總=sectionpages2424頁第二章直線與圓單元過關檢測能力提高B版解析版學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知直線過點且與線段的延長線有公共點，若，，則直線的斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先作出直線與線段的延長線，再結合圖像觀察即可得解.【詳解】解：由圖像可知：要使直線與線段的延長線有公共點，則，又，則直線的斜率的取值范圍是，故選C.【點睛】本題考查了直線的斜率，重點考查了數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬基礎題.2．已知滿足，則直線必過定點（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題先代換得，再化簡直線方程為，最后建立方程組求所過定點.【詳解】由，得，代入直線方程中，得，即.令解得該直線必過定點.故選：D.【點睛】本題考查直線所過定點問題，是基礎題.3．若動點分別在直線和上移動，則中點到原點距離的最小值為()A． B． C． D．【答案】A【分析】先求中點所在的直線方程，再求原點到直線的距離得解.【詳解】點一定在直線，即，∴到原點的最小值為.故選：A【點睛】本題主要考查點的軌跡問題，考查點到直線的距離，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.注意夾在兩條平行直線正中間的平行線方程為.4．圓關于直線對稱的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先將圓用配方法寫成標準式，求出圓心，再求出圓心關于直線的對稱點，根據(jù)半徑相等即可求解【詳解】，故圓心坐標為，半徑為2，設圓心關于直線對稱的點為，則有，解得，則圓關于直線對稱的圓的方程是故選：A【點睛】本題考查點關于直線的對稱點的求法，由圓心和半徑求圓的標準方程，屬于基礎題5．若對圓上任意一點，的取值與，無關，則實數(shù)a的取值范圍是()A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)點到直線距離公式，轉化為點到兩條平行直線的距離之和來求解實數(shù)a的取值范圍【詳解】依題意表示到兩條平行直線和的距離之和與無關，故兩條平行直線和在圓的兩側，畫出圖像如下圖所示，故圓心到直線的距離，解得或（舍去）故選D.【點睛】本小題主要考查點到直線的距離公式，考查直線與圓的位置關系，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.6．我們把頂角為的等腰三角形稱為黃金三角形．其作法如下：①作一個正方形；②以的中點為圓心，以長為半徑作圓，交延長線于；③以為圓心，以長為半徑作⊙；④以為圓心，以長為半徑作⊙交⊙于，則為黃金三角形．根據(jù)上述作法，可以求出

A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨假設，則，故,選B.7．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知動點M與兩定點Q、P的距離之比，那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點Q為x軸上一點，且，若點，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標求出即【詳解】設，，所以，由，所以，因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又所以，因為，所以的最小值為.故選：C【點睛】本題主要考查圓上動點問題，考查兩點間直線最短.8．數(shù)學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線.已知的頂點為A(0,0)，B(4,0)，，則該三角形的歐拉線方程為()A．B．C． D．【答案】A【分析】利用點A,B,C坐標得出重心G的坐標，設的外心為,可得，從而解出，利用點斜式即可得出歐拉線.【詳解】的頂點為A(0，0)，B(4，0)，，∴重心.設的外心為，則，即，解得，∴W(2，0).則該三角形的歐拉線即直線GW的方程為，化簡.故選A.【點睛】本題主要考查了直線的方程的求法，利用點斜式求方程時要知道直線的斜率以及直線上一點的坐標，屬于中檔題.二、多選題9．下列說法錯誤的是（）A．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B．直線的傾斜角的取值范圍是C．過，兩點的所有直線的方程為D．經(jīng)過點且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】ACD【分析】對于A．根據(jù)直線垂直的等價條件進行判斷；對于B．根據(jù)直線斜率以及正切函數(shù)的圖象和性質進行判斷；對于C．當直線和坐標軸平行時，不滿足條件；對于D．過原點的直線也滿足條件．【詳解】解：對于A．當，兩直線方程分別為和，此時也滿足直線垂直，故A錯誤，對于B．直線的斜率，則，即，則，，故B正確，對于C．當，或，時直線方程為，或，此時直線方程不成立，故C錯誤，對于D．若直線過原點，則直線方程為，此時也滿足條件，故D錯誤，故選：ACD．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，涉及直線方程，直線斜率以及直線垂直的位置關系的判斷，難度不大．10．已知圓與圓的圓心不重合，直線．下列說法正確的是（）A．若兩圓相交，則是兩圓的公共弦所在直線B．直線過線段的中點C．過直線上一點（在兩圓外）作兩圓的切線，切點分別為，，則D．直線與直線相互垂直【答案】ACD【分析】A.直接利用兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程判斷；B.表示出線段MN的中點判斷是否在直線l上即可；C.由切線長定理判斷；D.利用直線的斜率判斷.【詳解】A.聯(lián)立兩圓方程得：整理得：，為兩圓的公共弦所在直線，故正確；B.設圓M的半徑為，圓N的半徑為，,，線段MN的中點為，則，，所以當兩圓半徑相等時成立，故錯誤；C.設，則，由切線長定理得：，，所以，即，故正確；D.因為，，所以直線MN的斜率，直線的斜率為，則，所以直線相互垂直，故正確；故選：ACD【點睛】本題主要考查圓與圓的位置關系，直線與圓的位置關系，切線長定理，還考查了轉化求解問題的能力，屬于中檔題.11．以下四個命題表述正確的是（）A．直線恒過定點B．圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C．曲線與曲線恰有三條公切線，則D．已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，、為切點，則直線經(jīng)過定點【答案】BCD【分析】A.將直線方程進行重新整理，利用參數(shù)分離法進行求解即可；B.根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關系可判斷；C.通過題意可得兩圓相切，則兩圓心的距離為半徑和，即可求得的值；D.設出點，求出以線段為直徑的圓的方程，題中的切點、為圓與圓的交點，將兩圓作差求出公共弦的方程，即可發(fā)現(xiàn)直線經(jīng)過的定點.【詳解】解：A.直線得，

由，得，即直線恒過定點，故A錯誤；B.圓心到直線的距離，圓的半徑，故圓C上有3個點到直線的距離為1，故B正確；C.曲線，即，曲線，即，兩圓心的距離為，解得，故C正確；D.因為點為直線上一動點，設點，圓的圓心為，以線段為直徑的圓的方程為，即故直線圓與圓的公共弦方程為：，即，此直線即為直線，經(jīng)驗證點在直線上，即直線經(jīng)過定點，故D正確.故選BCD.【點睛】本題考查直線與圓，圓與圓的位置關系，可靈活應用以下結論解題：（1）圓與圓的公共弦方程為：；（2）以點的連線為直徑的圓的方程為：.12．已知圓為圓上的兩個動點，且為弦的中點，.當在圓上運動時，始終有為銳角，則實數(shù)的可能取值為（）A．-3 B．-2 C．0 D．1【答案】AD【分析】先求得點的軌跡方程，然后根據(jù)圓與圓的位置關系求得的取值范圍，進而求得正確選項.【詳解】圓的圓心為，半徑為.為的中點，，所以，設，則，所以點的軌跡方程為.即在圓心為，半徑為的圓上.，都在直線上，且，設線段的中點為，則，以為圓心，半徑為的圓與圓外離時，始終有為銳角，所以，即，，所以或，即或.所以AD選項正確.故選：AD【點睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查圓與圓的位置關系.三、填空題13．已知直線：被圓：截得的弦長等于該圓的半徑，則______．【答案】2或【分析】求出圓心到直線的距離，由題可得，由此可求出.【詳解】可得圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則由題可得，即，解得或.故答案為：2或.14．在平面直角坐標系中，若直線與圓和圓都相切，且兩個圓的圓心均在直線的下方，則直線的斜率為__________．【答案】7【解析】由題意可采用數(shù)形結合法，兩圓的圓心坐標及半徑分別為，，則直線的斜率為1，其傾斜角為，設直線的斜率為，傾斜角為，兩直線的交點為，其夾角為，兩個切點為，如圖所示，則，，故，又，由兩角差的正切公式得，，解得.點睛：此題主要考查直線與圓的位置關系，三角函數(shù)定義，兩角和差的正切公式，以及數(shù)形結合法等有關方面的知識，屬于中高檔題型，也是高頻考點.用數(shù)形結合的方法解決解析幾何問題時，一方面要發(fā)揮圖形的直觀、形象的作用，另一方面則要注意畫圖的準確性、完整性和對圖形觀察的細致，并注意結合數(shù)學運算來完成.15．如圖，O是坐標原點，圓O的半徑為1，點A（-1，0），B（1，0），點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，圓O上按逆時針方向運動.若點P的速度大小是點Q的兩倍，則在點P運動一周的過程中，的最大值是_______.【答案】2【分析】利用轉速是兩倍關系得轉角為兩倍，設出后，推出，然后根據(jù)三角函數(shù)坐標定義可得兩點的坐標，再用數(shù)量積公式計算，最后用正弦函數(shù)最值可得．【詳解】設，根據(jù)題意得，，且，依題意得，∴，當且僅當時，等號成立．故答案為2【點睛】本題考查了三角函數(shù)定義，向量數(shù)量積等概念，本題根據(jù)題意求出依題意得，是解決本題的關鍵.16．以三角形邊，，為邊向形外作正三角形，，，則，，三線共點，該點稱為的正等角中心．當?shù)拿總€內角都小于120o時，正等角中心點P滿足以下性質：（1）；（2）正等角中心是到該三角形三個頂點距離之和最小的點（也即費馬點）．由以上性質得的最小值為_________【答案】【分析】由題可知，所要求的代數(shù)式恰好表示平面直角坐標系中三個距離之和，所以首先要把代數(shù)式中三個距離的對應的點找到，再根據(jù)題干所述找到相應的費馬點，即可得出結果．【詳解】解：根據(jù)題意，在平面直角坐標系中，令點，，，則表示坐標系中一點到點、、的距離之和，因為是等腰三角形，，所以點在軸負半軸上，所以與軸重合，令的費馬點為，則在上，則，因為是銳角三角形，由性質（1）得，所以，所以，所以，，到、、的距離分別為，，所以的最小值，即為費馬點到點、、的距離之和，則．故答案為：．【點睛】本題考查根據(jù)題給新定義的性質解題，涉及三角形的性質和兩點間的距離的應用，理解新定義是解題的關鍵，考查轉化思想和計算能力.四、解答題17．已知P是直線上的動點，、是圓的兩條切線，A、B是切點.（1）求四邊形面積的最小值；（2）直線上是否存在點P，使？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）不存在；答案見解析.【分析】（1）如圖，而，所以只要當最小時，四邊形面積取最小值，而的最小值為點到直線的距離；（2）由（1）知圓心C到直線的最小距離為3，即，而要使，就要，所以不存在【詳解】解析（1）易知.如圖，連接，易知.因為，所以當最小時，最小.的最小值即為點C到直線的距離，故，所以，所以，即四邊形面積的最小值為.（2）不存在.理由：由（1）知圓心C到直線的最小距離為3，即，要使，則，顯然不成立，所以這樣的點P是不存在的.【點睛】此題考查直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式的應用，考查計算能力，屬于基礎題18．已知直線和圓，過直線上的一點作兩條直線，與圓C相切于A，B兩點.（1）當P點坐標為時，求以為直徑的圓的方程，并求直線的方程；（2）設切線與的斜率分別為，，且時，求點P的坐標.【答案】（1）圓的方程為，直線的方程為；（2）或.【分析】（1）求出圓心即中點坐標，和半徑可得圓方程，與已知圓方程相減可得直線方程；（2）設過P的直線l方程，整理得到：含的方程，進而利用韋達定理，求出點P的坐標【詳解】解：（1）圓，可化為，中點為，，∴以為直徑的圓的方程為圓，∵，，∴P，A，B，C四點共圓E，∴直線的方程是兩圓公共弦所在直線方程，兩方程相減可得直線的方程為；（2）設過P的直線l方程為，由于與直線l相切，得到，整理得到：，∴，代入，可得，∴或，∴點P坐標或.【點睛】關鍵點睛：設過P的直線l方程，由于與直線l相切，得到，進而得到方程，最后利用韋達定理求出點P坐標，屬于中檔題19．已知，為上三點.（1）求的值；（2）若直線過點(0，2)，求面積的最大值；（3）若為曲線上的動點，且，試問直線和直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）定值為：.【分析】（1）由為圓上的點即可得；（2）設，，，，根據(jù)利用韋達定理即可求解；（3）直線和直線的斜率之積為，設，，，，，，即可得，，由可得，代入，求得即可．【詳解】解：（1）∵為圓上，所以∴（2）由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為，，將代人得，所以令，則，當，即時面積取得最大值（3）設直線和直線的斜率之積為設，，則①，因為，為圓上，所以，化簡得整理得②因為，所以從而，又因為為曲線的動點所以展開得將①代入得化簡得將②代人得，整理得，因為所以從而又所以【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，考查兩直線的斜率之積是否為定值的判斷與證明，解題時要認真審題，注意韋達定理的合理運用，屬于中檔題．20．已知兩個定點，，動點滿足，設動點的軌跡為曲線，直線：.（1）求曲線的軌跡方程；（2）若與曲線交于不同的、兩點，且(為坐標原點)，求直線的斜率；（3）若，是直線上的動點，過作曲線的兩條切線、，切點為、，探究：直線是否過定點，若存在定點請寫出坐標，若不存在則說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）設點的坐標為，根據(jù)列出方程化簡，即可求解軌跡方程；（2）依題意知，且，則點到邊的距離為1，列出方程，即可求解；（3）根據(jù)題意，，則都在以為直徑的圓上，是直線上的動點，設，聯(lián)立兩個圓的方程，即可求解．【詳解】（1）由題，設點的坐標為，因為，即，整理得，所以所求曲線的軌跡方程為．（2）依題意，，且，由圓的性質，可得點到邊的距離為1，即點到直線的距離為，解得，所以所求直線的斜率為．（3）依題意，，則都在以為直徑的圓上，是直線上的動點，設，則圓的圓心為，且經(jīng)過坐標原點，即圓的方程為，又因為在曲線上，由，可得，即直線的方程為，由且，可得，解得，所以直線過定點．【點睛】本題主要考查了軌跡方程的求解，以及直線與圓的位置關系的應用，其中解答中涉及到點到直線的距離公式，以及兩點間的距離公式等知識點的綜合應用，著重考查了推理與計算能力，屬于中檔試題．21．如圖，已知圓，點為直線上一點，過點作圓的切線，切點分別為.（Ⅰ）已知，求切線的方程；（Ⅱ）直線是否過定點?若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由；（Ⅲ）若，兩條切線分別交軸于點，記四邊形面積為，三角形面積為，求的最小值.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）是，；（Ⅲ）25.【分析】（Ⅰ）分切線的斜率存在和不存在兩種情況，斜率存在時由圓心到直線的距離等于半徑可得切線的方程；（Ⅱ）由題意求出以為圓心，以為半徑的圓的方程，與圓聯(lián)立可得弦所在的直線的方程，可得直線恒過定點；（Ⅲ）由題意求出面積，的表達式，求出面積之積的表達式，換元，由均值不等式可得其最小值．【詳解】（Ⅰ）情況1.當切線斜率不存在時，有切線情況2.設切線：，即.由得，解得，切線為綜上：切線為（Ⅱ）在以點為圓心，切線長為半徑的圓上，即在圓：上聯(lián)立得所以過定點(Ⅲ)設；得，，切線統(tǒng)一記為，即由得，得兩根為所以所以，則記當，即時，【點睛】解決解析幾何中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙