魯教版八年級數(shù)學上冊專項素養(yǎng)綜合練(一)因式分解常用的六種方法課件

專項素養(yǎng)綜合練(一)因式分解常用的六種方法方法一用提公因式法分解因式1.分解因式:(1)(a+3)(a-7)+21;(2)2(a-b)2+4(b-a);(3)a2(a+2b)-ab(-4b-2a).解析

(1)原式=a2-4a-21+21=a2-4a=a(a-4).(2)原式=2(a-b)2-4(a-b)=2(a-b)(a-b-2).(3)原式=a2(a+2b)+2ab(a+2b)=a(a+2b)(a+2b)=a(a+2b)2.方法二用公式法分解因式2.分解因式:(1)(x+y)(x-y)-3y2;(2)(a+1)(a-5)+9;(3)(2a+b)(2a-b)+(a+b)(a-b)-(a2+7b2).解析

(1)原式=x2-y2-3y2=x2-4y2=(x+2y)(x-2y).(2)原式=a2-4a-5+9=a2-4a+4=(a-2)2.(3)原式=4a2-b2+a2-b2-a2-7b2=4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b).方法三用分組分解法分解因式3.(2024甘肅隴南武都期末)常用的因式分解的方法有提公因

式法和公式法,但有的多項式僅用上述其中的一種方法無法

分解,例如:x2-4y2-2x+4y,我們細心觀察就會發(fā)現(xiàn),前兩項可以

分解,后兩項也可以分解,分別分解后會產(chǎn)生公因式,再通過

提公因式就可以完成分解了,具體分解過程如下:x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)-(2x-4y)=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).3.(2024甘肅隴南武都期末)常用的因式分解的方法有提公因

式法和公式法,但有的多項式僅用上述其中的一種方法無法

分解,例如:x2-4y2-2x+4y,我們細心觀察就會發(fā)現(xiàn),前兩項可以

分解,后兩項也可以分解,分別分解后會產(chǎn)生公因式,再通過

提公因式就可以完成分解了,具體分解過程如下:x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)-(2x-4y)=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).這種因式分解的方法叫分組分解法,請利用這種方法對下列

多項式進行因式分解:(1)mn2-2mn+2n-4;(2)x2-2xy+y2-16;(3)4x2-4x-y2+4y-3.解析

(1)mn2-2mn+2n-4=(mn2-2mn)+(2n-4)=mn(n-2)+2(n-2)=(n-2)(mn+2).(2)x2-2xy+y2-16=(x2-2xy+y2)-16=(x-y)2-42=(x-y-4)(x-y+4).(3)4x2-4x-y2+4y-3=4x2-4x+1-y2+4y-4=(4x2-4x+1)-(y2-4y+4)=(2x-1)2-(y-2)2=(2x-1-y+2)(2x-1+y-2)=(2x-y+1)(2x+y-3).4.閱讀材料:將(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab從右到左使用,即可得到用“十字

相乘法”進行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例:將x2+5x+6分解因式.x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).請用上述方法分解因式:(1)x2-3x-4;(2)x2-7x+12.方法四用十字相乘法分解因式解析

(1)x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4)=(x+1)(x-4).(2)x2-7x+12=x2+(-3-4)x+(-3)×(-4)=(x-3)(x-4).5.(2024北京東城期末)利用整式的乘法運算法則可得到(ax+

b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.我們知道,因式分解是與整式乘

法方向相反的變形,利用這種關(guān)系可得acx2+(ad+bc)x+bd=(ax

+b)(cx+d).通過觀察可把acx2+(ad+bc)x+bd看成以x為未知數(shù),

a、b、c、d為常數(shù)的二次三項式,此種因式分解是把二次三

項式中的二次項系數(shù)ac與常數(shù)項bd分別進行適當?shù)姆纸鈦?/p>

湊一次項的系數(shù),分解過程可形象地表述為“豎乘得首尾,叉

乘湊中項”,如圖1,這種分解的方法稱為十字相乘法.例如,將

二次三項式2x2+11x+12的二次項系數(shù)2與常數(shù)項12分別進行適當?shù)姆纸?如圖2,則2x2+11x+12=(x+4)(2x+3).

圖1

圖2閱讀上述材料解決下列問題:(1)用十字相乘法分解因式:x2+6x-27;(2)用十字相乘法分解因式:6x2-7x-3;(3)結(jié)合本題內(nèi)容分解因式:20(x+y)2+7(x+y)-6.解析

(1)x2+6x-27=(x+9)(x-3).(2)6x2-7x-3=(3x+1)(2x-3).(3)20(x+y)2+7(x+y)-6=[4(x+y)+3][5(x+y)-2]=(4x+4y+3)(5x+5y-2).6.閱讀材料:在對某些多項式分解因式時,需要恢復那些被合

并或相互抵消的項,即把多項式中的某一項拆成兩項或多項,

或者在多項式中添上兩個僅符號相反的項,前者稱為拆項,后

者稱為添項.例如:x4+4=(x4+4x2+4)-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2-2x+2)

(x2+2x+2).解決下列問題:(1)分解因式:x4+4y4;(2)分解因式:a4+a2b2+b4.方法五用拆項、添項法分解因式解析

(1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy).(2)a4+a2b2+b4=a4+2a2b2+b4-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab).7.(2022陜西咸陽禮泉期末)我們已經(jīng)學過分解因式的方法有

提公因式法和公式法,其實分解因式的方法還有添項法、拆

項法等.①添項法:例如:x3-9x+8=x3+x2-x2-9x+8=(x3-x2)+(x2-9x+8)=x2(x-1)+(x-1)(x-

8)=(x-1)(x2+x-8).②拆項法:例如:x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+

3).仿照以上方法分解因式:(1)x5+x+1;(2)x2-6x+8.解析

(1)x5+x+1=x5-x2+x2+x+1=x2(x3-1)+x2+x+1=x2(x-1)(x2+x+1)+x2+x+1=(x3-x2+1)(x2+x+1).(2)x2-6x+8=x2-6x+9-1=(x-3)2-1=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4).方法六用配方法分解因式8.(2023廣東廣州天河期末)閱讀材料:配方法是指將一個式

子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或

幾個完全平方式的和(或差).巧妙運用配方法不僅可以將一

個看似不能分解的多項式進行因式分解,還能結(jié)合非負數(shù)的

性質(zhì)來解決一些問題.例如:x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).(1)請你仿照以上方法分解因式:a2+4ab-5b2;(2)若m2+2n2+6m-4n+11=0,求m+n的值.解析

(1)a2+4ab-5b2=a2+4ab+4b2-9b2=(a+2b)2-(3b)2=(