2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.2.1第2課時(shí)三角函數(shù)線(xiàn)及其應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版必修4

PAGE第2課時(shí)三角函數(shù)線(xiàn)及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解三角函數(shù)線(xiàn)的意義，能用三角函數(shù)線(xiàn)表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切．(重點(diǎn))2.能利用三角函數(shù)線(xiàn)解決一些簡(jiǎn)潔的三角函數(shù)問(wèn)題．(難點(diǎn))通過(guò)三角函數(shù)線(xiàn)的學(xué)習(xí)，培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，直觀想象和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).1．有向線(xiàn)段(1)定義：帶有方向的線(xiàn)段．(2)表示：用大寫(xiě)字母表示，如有向線(xiàn)段OM，MP.2．三角函數(shù)線(xiàn)(1)作圖：①α的終邊與單位圓交于P，過(guò)P作PM垂直于x軸，垂足為M.②過(guò)A(1,0)作x軸的垂線(xiàn)，交α的終邊或其反向延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)T.(2)圖示：(3)結(jié)論：有向線(xiàn)段MP、OM、AT，分別叫做角α的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)，統(tǒng)稱(chēng)為三角函數(shù)線(xiàn)．思索：當(dāng)角的終邊落在坐標(biāo)軸上時(shí)，正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)變得怎樣？提示：當(dāng)角的終邊落在x軸上時(shí)，正弦線(xiàn)、正切線(xiàn)分別變成了一個(gè)點(diǎn)；終邊落在y軸上時(shí)，余弦線(xiàn)變成了一個(gè)點(diǎn)，正切線(xiàn)不存在．1．角eq\f(π,7)和角eq\f(8π,7)有相同的()A．正弦線(xiàn) B．余弦線(xiàn)C．正切線(xiàn) D．不能確定C[角eq\f(π,7)和角eq\f(8π,7)的終邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)，所以正切線(xiàn)相同．]2．如圖，在單位圓中角α的正弦線(xiàn)、正切線(xiàn)完全正確的是()A．正弦線(xiàn)OM，正切線(xiàn)A′T′B．正弦線(xiàn)OM，正切線(xiàn)A′T′C．正弦線(xiàn)MP，正切線(xiàn)ATD．正弦線(xiàn)MP，正切線(xiàn)A′T′C[α為第三象限角，故正弦線(xiàn)為MP，正切線(xiàn)為AT，C正確．]3．若角α的余弦線(xiàn)長(zhǎng)度為0，則它的正弦線(xiàn)的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．1[若角α的余弦線(xiàn)長(zhǎng)度為0時(shí)，α的終邊落在y軸上，正弦線(xiàn)與單位圓的交點(diǎn)為(0,1)或(0，－1)，所以正弦線(xiàn)長(zhǎng)度為1.]作已知角的三角函數(shù)線(xiàn)【例1】作出下列各角的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)．(1)－eq\f(π,4)；(2)eq\f(17π,6)；(3)eq\f(10π,3).[解]如圖．其中MP為正弦線(xiàn)，OM為余弦線(xiàn)，AT為正切線(xiàn)．三角函數(shù)線(xiàn)的畫(huà)法1作正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)時(shí)，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過(guò)此交點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，得到垂足，從而得正弦線(xiàn)和余弦線(xiàn).2作正切線(xiàn)時(shí)，應(yīng)從A1，0點(diǎn)引x軸的垂線(xiàn)，交α的終邊α為第一或第四象限角或α終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)α為其次或第三象限角于點(diǎn)T，即可得到正切線(xiàn)AT.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．作出－eq\f(5π,8)的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)和正切線(xiàn)．[解]如圖：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,8)))＝MP，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,8)))＝OM，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,8)))＝AT.利用三角函數(shù)線(xiàn)比較大小【例2】(1)已知cosα＞cosβ，那么下列結(jié)論成立的是()A．若α、β是第一象限角，則sinα＞sinβB．若α、β是其次象限角，則tanα＞tanβC．若α、β是第三象限角，則sinα＞sinβD．若α、β是第四象限角，則tanα＞tanβ(2)利用三角函數(shù)線(xiàn)比較sineq\f(2π,3)和sineq\f(4π,5)，coseq\f(2π,3)和coseq\f(4π,5)，taneq\f(2π,3)和taneq\f(4π,5)的大?。悸伏c(diǎn)撥：(1)(2)(1)D[由圖(1)可知，cosα＞cosβ時(shí)，sinα＜sinβ，故A錯(cuò)誤；圖(1)由圖(2)可知，cosα＞cosβ時(shí)，tanα＜tanβ，故B錯(cuò)誤；圖(2)由圖(3)可知，cosα＞cosβ時(shí)，sinα＜sinβ，C錯(cuò)誤；圖(3)由圖(4)可知，cosα＞cosβ時(shí)，tanα＞tanβ，D正確．]圖(4)(2)解：如圖，sineq\f(2π,3)＝MP，coseq\f(2π,3)＝OM，taneq\f(2π,3)＝AT，sineq\f(4π,5)＝M′P′，coseq\f(4π,5)＝OM′，taneq\f(4π,5)＝AT′.明顯|MP|＞|M′P′|，符號(hào)皆正，∴sineq\f(2π,3)＞sineq\f(4π,5)；|OM|＜|OM′|，符號(hào)皆負(fù)，∴coseq\f(2π,3)＞coseq\f(4π,5)；|AT|＞|AT′|，符號(hào)皆負(fù)，∴taneq\f(2π,3)＜taneq\f(4π,5).1利用三角函數(shù)線(xiàn)比較大小的步驟：①角的位置要“對(duì)號(hào)入座”；②比較三角函數(shù)線(xiàn)的長(zhǎng)度；③確定有向線(xiàn)段的正負(fù).2利用三角函數(shù)線(xiàn)比較函數(shù)值大小的關(guān)鍵及留意點(diǎn)：①關(guān)鍵：在單位圓中作出所要比較的角的三角函數(shù)線(xiàn).,②留意點(diǎn)：比較大小，既要留意三角函數(shù)線(xiàn)的長(zhǎng)短，又要留意方向.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．已知a＝sineq\f(2π,7)，b＝coseq\f(2π,7)，c＝taneq\f(2π,7)，則()A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜bC．b＜c＜a D．b＜a＜cD[由如圖的三角函數(shù)線(xiàn)知：MP＜AT，因?yàn)閑q\f(2π,7)＞eq\f(2π,8)＝eq\f(π,4)，所以MP＞OM，所以coseq\f(2π,7)＜sineq\f(2π,7)＜taneq\f(2π,7)，所以b＜a＜c.]3．設(shè)eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)，試比較角α的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)和正切線(xiàn)的長(zhǎng)度．假如eq\f(π,2)＜α＜eq\f(3π,4)，上述長(zhǎng)度關(guān)系又如何？[解]如圖所示，當(dāng)eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)時(shí)，角α的正弦線(xiàn)為MP，余弦線(xiàn)為OM，正切線(xiàn)為AT，明顯在長(zhǎng)度上，AT＞MP＞OM；當(dāng)eq\f(π,2)＜α＜eq\f(3π,4)時(shí)，角α的正弦線(xiàn)為M′P′，余弦線(xiàn)為OM′，正切線(xiàn)為AT′，明顯在長(zhǎng)度上，AT′＞M′P′＞OM′.利用三角函數(shù)線(xiàn)解三角不等式[探究問(wèn)題]1．利用三角函數(shù)線(xiàn)如何解答形如sinα≥a，sinα≤a(|a|≤1)的不等式？提示：對(duì)形如sinα≥a，sinα≤a(|a|≤1)的不等式：圖①畫(huà)出如圖①所示的單位圓；在y軸上截取OM＝a，過(guò)點(diǎn)(0，a)作y軸的垂線(xiàn)交單位圓于兩點(diǎn)P和P′，并作射線(xiàn)OP和OP′；寫(xiě)出終邊在OP和OP′上的角的集合；圖中陰影部分即為滿(mǎn)意不等式sinα≤a的角α的范圍，其余部分即為滿(mǎn)意不等式sinα≥a的角α的范圍．2．利用三角函數(shù)線(xiàn)如何解答形如cosα≥a，cosα≤a(|a|≤1)的不等式？提示：對(duì)形如cosα≥a，cosα≤a(|a|≤1)的不等式：圖②畫(huà)出如圖②所示的單位圓；在x軸上截取OM＝a，過(guò)點(diǎn)(a,0)作x軸的垂線(xiàn)交單位圓于兩點(diǎn)P和P′，作射線(xiàn)OP和OP′；寫(xiě)出終邊在OP和OP′上的角的集合；圖中陰影部分即為滿(mǎn)意不等式cosα≤a的角α的范圍，其余部分即為滿(mǎn)意不等式cosα≥a的角α的范圍．【例3】利用三角函數(shù)線(xiàn)確定滿(mǎn)意下列條件的角α的取值范圍．(1)cosα＞－eq\f(\r(2),2)；(2)tanα≤eq\f(\r(3),3)；(3)|sinα|≤eq\f(1,2).思路點(diǎn)撥：[解](1)如圖，由余弦線(xiàn)知角α的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,4)＜α＜2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))).(2)如圖，由正切線(xiàn)知角α的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)＜α≤kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))).(3)由|sinα|≤eq\f(1,2)，得－eq\f(1,2)≤sinα≤eq\f(1,2).如圖，由正弦線(xiàn)知角α的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)))))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(≤α≤kπ＋\f(π,6)，k∈Z)))).1．將本例(1)的不等式改為“cosα＜eq\f(\r(2),2)”，求α的取值范圍．[解]如圖，由余弦線(xiàn)知角α的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,4)＜α＜2kπ＋\f(7π,4)，k∈Z)))).2．將本例(3)的不等式改為“－eq\f(1,2)≤sinα＜eq\f(\r(3),2)”，求α的取值范圍．[解]由三角函數(shù)線(xiàn)可知sineq\f(π,3)＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，sineq\f(7π,6)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(1,2)，且－eq\f(1,2)≤sinθ＜eq\f(\r(3),2)，故θ的取值集合是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．3．利用本例的方法，求函數(shù)y＝eq\r(,2sinx－1)的定義域．[解]要使函數(shù)有意義，只需2sinx－1≥0，即sinx≥eq\f(1,2).由正弦線(xiàn)可知定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)，2kπ＋\f(5π,6)))(k∈Z)．利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)解不等式的方法1首先作出單位圓，然后依據(jù)各問(wèn)題的約束條件，利用三角函數(shù)線(xiàn)畫(huà)出角α滿(mǎn)意條件的終邊的位置.2角的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是該角的余弦值，與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是該角的正弦值.3寫(xiě)角的范圍時(shí)，抓住邊界值，然后再留意角的范圍的寫(xiě)法要求.提示：在肯定范圍內(nèi)先找出符合條件的角，再用終邊相同的角的表達(dá)式寫(xiě)出符合條件的全部角的集合.1．本節(jié)課應(yīng)重點(diǎn)駕馭三角函數(shù)線(xiàn)的以下三個(gè)問(wèn)題(1)三角函數(shù)線(xiàn)的畫(huà)法，見(jiàn)類(lèi)型1；(2)利用三角函數(shù)線(xiàn)比較大小，見(jiàn)類(lèi)型2；(3)利用三角函數(shù)線(xiàn)解簡(jiǎn)潔不等式，見(jiàn)類(lèi)型3.2．三角函數(shù)線(xiàn)是三角函數(shù)的幾何表示，它們都是有向線(xiàn)段，線(xiàn)段的方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)，與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎?，異向?yàn)樨?fù)，線(xiàn)段的長(zhǎng)度是三角函數(shù)的肯定值，這是本節(jié)重中之重．3．利用三角函數(shù)線(xiàn)解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法對(duì)于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解關(guān)鍵是尋求恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，只需作直線(xiàn)y＝b或x＝a與單位圓相交，連接原點(diǎn)與交點(diǎn)即得角的終邊所在的位置，此時(shí)再依據(jù)方向即可確定相應(yīng)的范圍正切型不等式的解法對(duì)于tanx≥c，取點(diǎn)(1，c)，連接該點(diǎn)和原點(diǎn)并反向延長(zhǎng)，即得角的終邊所在的位置，結(jié)合圖象可確定相應(yīng)的范圍1．下列推斷中錯(cuò)誤的是()A．α肯定時(shí)，單位圓中的正弦線(xiàn)肯定B．在單位圓中，有相同正弦線(xiàn)的角相等C．α和α＋π有相同的正切線(xiàn)D．具有相同正切線(xiàn)的兩個(gè)角的終邊在同一條直線(xiàn)上B[A正確；B錯(cuò)誤，如eq\f(π,6)與eq\f(5π,6)有相同正弦線(xiàn)；C正確，因?yàn)棣僚cπ＋α的終邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)；D正確．]2．假如OM，MP分別是角α＝eq\f(π,5)的余弦線(xiàn)和正弦線(xiàn)，那么下列結(jié)論正確的是()A．MP＜OM＜0 B．MP＜0＜OMC．MP＞OM＞0 D．OM＞MP＞0D[角β＝eq\f(π,4)的余弦線(xiàn)與正弦線(xiàn)相等，結(jié)合圖象可知角α＝eq\f(π,5)的余弦線(xiàn)和正弦線(xiàn)滿(mǎn)意OM＞MP＞0.]3．若a＝sin4，b＝cos4，則a，b的大小關(guān)系為_(kāi)_______．a(chǎn)＜b[因?yàn)閑q\f(5π,4)＜4＜eq\f(3π,2)，畫(huà)出4弧度角的正弦線(xiàn)和余弦線(xiàn)(如圖)，視察可知sin4＜cos4，即a＜b.]4．在單位圓中畫(huà)出適合下列條件的角α的終邊范圍，并由此寫(xiě)出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).[解](1)作直線(xiàn)y＝eq\f(\r(3),2)交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則角α的終邊在如圖①所示的陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)，角α的取值