2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.5函數(shù)y=Asinωxφ的圖象7教學(xué)教案新人教A版必修4

PAGE函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析本節(jié)通過圖象變換,揭示參數(shù)φ、ω、A改變時(shí)對(duì)函數(shù)圖象的形態(tài)和位置的影響,探討函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與正弦曲線的關(guān)系,以及A、ω、φ的物理意義,并通過圖象的改變過程,進(jìn)一步理解正、余弦函數(shù)的性質(zhì),它是探討函數(shù)圖象變換的一個(gè)延長,也是探討函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)直觀反映.這節(jié)是本章的一個(gè)難點(diǎn).如何經(jīng)過變換由正弦函數(shù)y=sinx來獲得函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象呢?通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)函數(shù)y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律的探究,讓學(xué)生體會(huì)到由簡潔到困難、由特別到一般的化歸思想；并通過對(duì)周期變換、相位變換先后依次調(diào)整后,將影響圖象變換這一難點(diǎn)的突破,讓學(xué)生學(xué)會(huì)抓住問題的主要沖突來解決問題的基本思想方法;通過對(duì)參數(shù)φ、ω、A的分類探討,讓學(xué)生深刻相識(shí)圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系.本節(jié)課建議充分利用多媒體,提倡學(xué)生自主探究,在老師的引導(dǎo)下,通過圖象變換和“五點(diǎn)”作圖法,正確找出函數(shù)y＝sinx到y(tǒng)＝Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,這也是本節(jié)課的重點(diǎn)所在.三維目標(biāo)1.通過學(xué)生自主探究,理解φ對(duì)y=sin(x+φ)的圖象的影響,ω對(duì)y=sin(ωx+φ)的圖象的影響,A對(duì)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響.2.通過探究圖象變換,會(huì)用圖象變換法畫出y=Asin(ωx+φ)圖象的簡圖,并會(huì)用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡圖.3.通過學(xué)生對(duì)問題的自主探究,滲透數(shù)形結(jié)合思想.培育學(xué)生的獨(dú)立意識(shí)和獨(dú)立思索實(shí)力.學(xué)會(huì)合作意識(shí),培育學(xué)生理解動(dòng)與靜的辯證關(guān)系,擅長從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)視察問題,培育學(xué)生解決問題抓主要沖突的思想.在問題逐步深化的探討中喚起學(xué)生追求真理,樂于創(chuàng)新的情感需求,引發(fā)學(xué)生渴求學(xué)問的劇烈愿望,樹立科學(xué)的人生觀、價(jià)值觀.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):用參數(shù)思想分層次、逐步探討字母φ、ω、A改變時(shí)對(duì)函數(shù)圖象的形態(tài)和位置的影響,駕馭函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的簡圖的作法.教學(xué)難點(diǎn):由正弦曲線y=sinx到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象的變換過程.課時(shí)支配1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入)在物理和工程技術(shù)的很多問題中,都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù)(其中A、ω、φ是常數(shù)).例如,物體做簡諧振動(dòng)時(shí)位移y與時(shí)間x的關(guān)系,溝通電中電流強(qiáng)度y與時(shí)間x的關(guān)系等,都可用這類函數(shù)來表示.這些問題的實(shí)際意義往往可從其函數(shù)圖象上直觀地看出,因此,我們有必要畫好這些函數(shù)的圖象.揭示課題:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象.思路2.(干脆導(dǎo)入)從解析式來看,函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)存在著怎樣的關(guān)系?從圖象上看,函數(shù)y=sinx與函數(shù)y=Asin(ωx+φ)存在著怎樣的關(guān)系?接下來,我們就分別探究φ、ω、A對(duì)y=Asin(ωx+φ)的圖象的影響.推動(dòng)新課新知探究提出問題①在同一坐標(biāo)系中作出y=2sinx及y=sinx的簡圖，并指出它們與y=sinx圖象間的關(guān)系?；顒?dòng):問題①,老師先引導(dǎo)學(xué)生閱讀課本開頭一段,老師引導(dǎo)學(xué)生思索探討問題的方法.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生視察y=2sinx圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)和y=sinx的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系,獲得A對(duì)y=Asinx的圖象的影響的詳細(xì)相識(shí).然后通過計(jì)算機(jī)作動(dòng)態(tài)演示變換過程,引導(dǎo)學(xué)生視察改變過程中的不變量,得出它們的橫向伸縮的結(jié)論.并讓學(xué)生探討探究.最終共同總結(jié)圖1問題②,①作函數(shù)y=sin2x及y=sinx的簡圖，并指出它們與y=sinx圖象間的關(guān)系。由學(xué)生作出取不同值時(shí),函數(shù)y=sin2x及y=sinx的圖象,并探究它與y=sinx的圖象的關(guān)系,看看是否仍有上述結(jié)論.活動(dòng):問題②學(xué)生自主完成再進(jìn)行歸納圖2學(xué)生得出結(jié)論:函數(shù)y=sinωx(其中ω>0)的圖象,可看作把y=sinx圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長(當(dāng)0<ω<1)或縮短(當(dāng)ω>1)到原來的1/ω倍而得到.問題③作函數(shù)y=sin(x+)和y=sin(x-)的簡圖，并指出它們與y=sinx圖象之間的關(guān)系。老師引導(dǎo)學(xué)生獲得更多的關(guān)于φ對(duì)y=sin(x+φ)的圖象影響的閱歷.為了探討的便利,不妨先取φ=,利用計(jì)算機(jī)作出在同始終角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象,如圖1,分別在兩條曲線上恰當(dāng)?shù)剡x取一個(gè)縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)A、B,沿兩條曲線同時(shí)移動(dòng)這兩點(diǎn),并保持它們的縱坐標(biāo)相等,視察它們橫坐標(biāo)的關(guān)系.可以發(fā)覺,對(duì)于同一個(gè)y值,y=sin(x+)的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)總是等于y=sinx的圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去.這樣的過程可通過多媒體課件,使得圖中A、B兩點(diǎn)動(dòng)起來(保持縱坐標(biāo)相等),在改變過程中視察A、B的坐標(biāo)、xB-xA、|AB|的改變狀況,這說明y=sin(x+)的圖象,可以看作是把正弦曲線y=sinx上全部的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度而得到的,同時(shí)多媒體動(dòng)畫演示y=sinx的圖象向左平移使之與y=sin(x+)的圖象重合的過程,以加深學(xué)生對(duì)該圖象變換的直觀理解.再取φ=,用同樣的方法可以得到y(tǒng)=sinx的圖象向右平移后與y=sin(x)的圖象重合.圖3假如再變換φ的值,類似的狀況將不斷出現(xiàn),這時(shí)φ對(duì)y=sin(x+φ)的圖象的影響的鋪墊已經(jīng)完成,學(xué)生關(guān)于φ對(duì)y=sin(x+φ)的圖象的影響的一般結(jié)論已有了大致輪廓.問題③,引導(dǎo)學(xué)生通過自己的探討相識(shí)φ對(duì)y=sin(x+φ)的圖象的影響,并概括出一般結(jié)論:y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的圖象,可以看作是把正弦曲線上全部的點(diǎn)向左(當(dāng)φ>0時(shí))或向右(當(dāng)φ<0時(shí))平行移動(dòng)|φ|個(gè)單位長度而得到.問題④,老師指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立或小組合作進(jìn)行探究,老師作適當(dāng)指導(dǎo).留意提示學(xué)生依據(jù)從詳細(xì)到一般的思路得出結(jié)論,詳細(xì)過程是:(1)以y=sin(x+)為參照,把y=sin(2x+)的圖象與y=sin(x+)的圖象作比較,取點(diǎn)A、B視察.發(fā)覺規(guī)律:圖2如圖2,對(duì)于同一個(gè)y值,y=sin(2x+)的圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)總是等于y=sin(x+)的圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的倍.教學(xué)中應(yīng)當(dāng)特別細(xì)致地對(duì)待這個(gè)過程,展示多媒體課件,體現(xiàn)伸縮變換過程,引導(dǎo)學(xué)生在自己獨(dú)立思索的基礎(chǔ)上給出規(guī)律.(2)取ω=,讓學(xué)生自己比較y=sin(x+)的圖象與y=sin(x+)圖象.教學(xué)中可以讓學(xué)生通過作圖、視察和比較圖象、探討等活動(dòng),得出結(jié)論:把y=sin(x+)圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),就得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象.當(dāng)取ω為其他值時(shí),視察相應(yīng)的函數(shù)圖象與y=sin(x+)的圖象的關(guān)系,得出類似的結(jié)論.這時(shí)ω對(duì)y=sin(ωx+φ)的圖象的影響的鋪墊已經(jīng)完成,學(xué)生關(guān)于ω對(duì)y=sin(ωx+φ)的圖象的影響的一般結(jié)論已有了大致輪廓.老師指導(dǎo)學(xué)生將上述結(jié)論一般化,歸納y=sin(ωx+φ)的圖象與y=sin(x+φ)的圖象之間的關(guān)系,得出結(jié)論:函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象可以看作是把y=sin(x+φ)的圖象上全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短(當(dāng)ω>1時(shí))或伸長(當(dāng)0<ω<1時(shí))到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)而得到.問題⑤,老師點(diǎn)撥學(xué)生,探究A對(duì)圖象的影響的過程,與探究ω、φ對(duì)圖象的影響完全一樣,激勵(lì)學(xué)生獨(dú)立完成.學(xué)生視察y=3sin(2x+)的圖象和y=sin(2x+)的圖象之間的關(guān)系.如圖3,分別在兩條曲線上各取一個(gè)橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)A、B,沿兩條曲線同時(shí)移動(dòng)這兩點(diǎn),并使它們的橫坐標(biāo)保持相同,視察它們縱坐標(biāo)的關(guān)系.可以發(fā)覺,對(duì)于同一個(gè)x值,函數(shù)y=3sin(2x+)的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于函數(shù)y=sin(2x+)的圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的3倍.這說明,y=3sin(2x+)的圖象,可以看作是把y=sin(2x+)的圖象上全部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍(橫坐標(biāo)不變)而得到的.通過試驗(yàn)可以看到,A取其他值時(shí)也有類似的狀況.有了前面兩個(gè)參數(shù)的探究,學(xué)生得出一般結(jié)論:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(當(dāng)A>1時(shí))或縮短(當(dāng)0<A<1時(shí))到原來的A倍(橫坐標(biāo)不變)而得到,從而,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A,A],最大值是A,最小值是-A.由此我們得到了參數(shù)φ、ω、A對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象改變的影響狀況.一般地,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的圖象,可以看作用下面的方法得到:先畫出函數(shù)y＝sinx的圖象;再把正弦曲線向左(右)平移|φ|個(gè)單位長度,得到函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象；然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?得到函數(shù)y=sin(ωx+φ)的圖象；最終把曲線上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍,這時(shí)的曲線就是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象.⑥引導(dǎo)學(xué)生類比得出.其依次是:先伸縮橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo)),再伸縮縱坐標(biāo)(或橫坐標(biāo)),最終平移.但學(xué)生很簡潔在第三步出錯(cuò),可在圖象變換時(shí),對(duì)比變換,以引起學(xué)生留意,并體會(huì)一些細(xì)微環(huán)節(jié).由此我們完成了參數(shù)φ、ω、A對(duì)函數(shù)圖象影響的探究.老師適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生回顧思索整個(gè)探究過程中體現(xiàn)的思想:由簡潔到困難,由特別到一般的化歸思想.探討結(jié)果:①把從函數(shù)y=sinx的圖象到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的變換過程,分解為先分別考察參數(shù)φ、ω、A對(duì)函數(shù)圖象的影響,然后整合為對(duì)y=Asin(ωx+φ)的整體考察.②略.③圖象左右平移,φ影響的是圖象與x軸交點(diǎn)的位置關(guān)系.④縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸縮,ω影響了圖象的形態(tài).⑤橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)伸縮,A影響了圖象的形態(tài).⑥可以.先伸縮后平移(提示學(xué)生盡量先平移),但要留意第三步的平移.y=sinx的圖象得y=Asinx的圖象得y=Asin(ωx)的圖象得y=Asin(ωx+φ)的圖象.規(guī)律總結(jié):先平移后伸縮的步驟程序如下:y=sinx的圖象得y=sin(x+φ)的圖象得y=sin(ωx+φ)的圖象得y=Asin(ωx+φ)的圖象.先伸縮后平移的步驟程序(見上).應(yīng)用示例例1.如何由的圖像得到的圖像活動(dòng):本例訓(xùn)練學(xué)生的畫圖基本功及鞏固本節(jié)所學(xué)學(xué)問方法.(1)引導(dǎo)學(xué)生從圖象變換的角度來探究,這里的φ＝,ω＝,A＝3,激勵(lì)學(xué)生依據(jù)本節(jié)所學(xué)內(nèi)容自己寫出得到的圖象的過程:只需把y＝sinx的曲線上全部點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=sin(x-)的圖象;再把后者全部點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到y(tǒng)=sin(x-)的圖象;再把所得圖象上全部點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的3倍(橫坐標(biāo)不變)而得到函數(shù)的圖象.(2)學(xué)生完成以上變換后,為了進(jìn)一步駕馭圖象的變換規(guī)律,老師可引導(dǎo)學(xué)生作換個(gè)依次的圖象變換,要讓學(xué)生自己獨(dú)立完成,細(xì)致體會(huì)改變的實(shí)質(zhì).(3)學(xué)生完成以上兩種變換后,就得到了兩種畫函數(shù),簡圖的方法,老師再進(jìn)一步的啟發(fā)學(xué)生能否利用“五點(diǎn)法”作圖畫出函數(shù))的簡圖,并激勵(lì)學(xué)生動(dòng)手按“五點(diǎn)法”作圖的要求完成這一畫圖過程.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2.解答:1.如圖6.點(diǎn)評(píng):第(1)(2)(3)小題分別探討了參數(shù)A、ω、φ對(duì)函數(shù)圖象的影響,第(4)小題則綜合探討了這三個(gè)參數(shù)對(duì)y=Asin(ωx+φ)圖象的影響.2.(1)C;(2)B;(3)C.點(diǎn)評(píng):判定函數(shù)y=A1sin(ω1x+φ1)與y=A2sin(ω2x+φ2)的圖象間的關(guān)系.為了降低難度,在A1與A2,ω1與ω2,φ1與φ2中,每題只有一對(duì)數(shù)值不同.課堂小結(jié)1.由學(xué)生自己回顧總結(jié)本節(jié)課探究的學(xué)問與方法,以及對(duì)三角函數(shù)圖象及三角函數(shù)解析式的新的相識(shí),使本節(jié)的總結(jié)成為學(xué)生凝練提高的平臺(tái).2.老師強(qiáng)調(diào)本節(jié)課借助于計(jì)算機(jī)探討并畫出y=Asin(ωx+)的圖象,并分別視察參數(shù)φ、ω、A對(duì)函數(shù)圖象改變的影響,同時(shí)通過詳細(xì)函數(shù)的圖象的改變,領(lǐng)悟由簡潔到困難、特別到一般的化歸思想.作業(yè)1.用圖象變換的方法在同一坐標(biāo)系內(nèi)由y=sinx的圖象畫出函數(shù)y=sin(-2x)的圖象.2.要得到函數(shù)y=cos(2x-)的圖象,只需將函數(shù)y=sin2x的圖象通過怎樣的變換得到?3.指出函數(shù)y=cos2x+1與余弦曲線y=cosx的關(guān)系.解答:1.∵y=sin(-2x)=sin2x,作圖過程:y=sinxy=sin2xy=sin2x.2.∵y=cos(2x-)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+),∴將曲線y=sin2x向左平移個(gè)單位長度即可.3.∵y=cos2x+1,∴將余弦曲線y=cosx上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,再將所得曲線上全部的點(diǎn)向上平移1個(gè)單位長度,即可得到曲線y=cos2x+1.設(shè)計(jì)感想1.本節(jié)圖象較多,學(xué)生活動(dòng)量大,因此本節(jié)設(shè)計(jì)的主要指導(dǎo)思想是充分利用信息技術(shù)工具,從整體上探究參數(shù)φ、ω、A對(duì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象整體改變的影響.這符合新課標(biāo)精神,