圖形的相似（共29題）-2023年中考數(shù)學真題分項匯編（解析版）

專題21圖形的相似（29題）

一、單選題

1.（2023?重慶?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知一ABCS_E￡）C,AC:EC=2:3,若A8的長度為6,則DE的長

度為（）

A.4B.9C.12D.13.5

【答案】B

【分析】根據相似三角形的性質即可求出.

【詳解】解：：ABCS.EDC,

二AC:EC=AB:DE,

VAC:EC=2:3,AB=6,

2:3=6:DE,

：.DE=9,

故選：B.

【點睛】此題考查的是相似三角形的性質，掌握相似三角形的邊長比等于相似比是解決此題的關鍵.

2.（2023?四川遂寧?統(tǒng)考中考真題）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形.在如圖所示的平

面直角坐標系中，格點一MC、_。防成位似關系，則位似中心的坐標為（）

A.(-1,0)B.(0,0)C.(0,1)D.(1,0)

【答案】A

【分析】根據題意確定直線AO的解析式為：y=x+\,由位似圖形的性質得出AO所在直線與8E所在直線

x軸的交點坐標即為位似中心，即可求解.

【詳解】解：由圖得：4（1,2）,0（3,4）,

設直線AD的解析式為：y=kx+h,將點代入得:

[2=k+b[k=\

L」,,'解得：1,,'

[4=3k+b也=1

；?直線AO的解析式為：y=x+l,

所在直線與BE所在直線x軸的交點坐標即為位似中心，

當y=0時,x=-l>

二位似中心的坐標為（T,0）,

故選：A.

【點睛】題目主要考查位似圖形的性質，求一次函數(shù)的解析式，理解題意，掌握位似圖形的特點是解題關

鍵.

3.（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，一"C的三個頂點分別為A。,2）,5（2,1）,C（3,2）,

現(xiàn)以原點。為位似中心，在第一象限內作與.A3C的位似比為2的位似圖形，A'B'C',則頂點C'的坐標是

A.（2,4）B.（4,2）C.（6,4）D.（5,4）

【答案】C

【分析】直接根據位似圖形的性質即可得.

【詳解】解：：43C的位似比為2的位似圖形是一A'8'C,且C（3,2）,

.9(2x3,2x2),即C'(6,4),

故選：C.

【點睛】本題考查了坐標與位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質是解題關鍵.

4.（2023?四川南充?統(tǒng)考中考真題）如圖，數(shù)學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置

一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已

知小菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,

則旗桿高度為（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

【答案】B

【分析】根據鏡面反射性質，可求出NAC8=NECD,再利用垂直求ABCs,EDC,最后根據三角形相似

的性質，即可求出答案.

【詳解】解：如圖所示，

由圖可知，AB.LBD,CD1DE,CF工BD

\?ABC?CDE90?.

?根據鏡面的反射性質，

:.ZACF=NECF,

J90°-ZACF=90°-ZECF,

:.ZACB=ZECD,

：._ABCS_EDC,

.ABBC

小菲的眼睛離地面高度為L6m,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,

/.AB=}.6m,BC=2m,CD=10m.

.L62

*D￡-10,

/.DE=8m.

故選：B.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質和相似三角形的性

質.

5.(2023?安徽?統(tǒng)考中考真題)如圖，點E在正方形ABC。的對角線AC上，EFLAB于點F,連接DE并

延長，交邊BC于點"，交邊AB的延長線于點G.若AF=2,FB=1,則MG=()

C.石+1D.710

【答案】B

【分析】根據平行線分線段成比例得出笠=三7=2,根據得出怒=笠=2,則

EMFBCMEM

133

進而可得根據得出,根據相似三角形的性質得出

CM=-AD=-fMB=/,8C〃49,AGMB^GDA5G=3,

進而在RlZ\8GM中，勾股定理即可求解.

【詳解】解：???四邊形A3CD是正方形，AF=2,FB=1,

AD=BC=AB=AF+FG=2U=3,AD//CB,ADlAB9CBLABf

,:EFLAB,

???AD//EF//BC

DEAF

：.——=—=2,AADEs^CME,

EMFB

.ADDE

13

則CM=—A￡>==，

22

3

JMB=3—CM=—,

2

■:BC//AD,

，一GMBsGDA,

3

???BGMBaI

~AG~~DA~^3~2

JBG=AB=3,

T

在RtZ\3GA/中，MG=y/MB2+BG2=

故選：B.

【點睛】本題考查了正方形的性質，平行線分線段成比例，相似三角形的性質與判定，勾股定理，熟練學

握以上知識是解題的關鍵.

6.（2023,湖北黃岡?統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形A8CD中，AB=3,BC=4,以點B為圓心，適當長為半徑

畫弧，分別交BC,BD于點、E,F,再分別以點E,尸為圓心，大于;E尸長為半徑畫弧交于點P,作射線3P,

過點C作社的垂線分別交即,A短于點M,N,則CN的長為（）

A.回C.26

【答案】A

【分析】由作圖可知族平分NCB￡>,設BP與CN交于點O,與C。交于點心作RQ_L8。于點。，根據角

平分線的性質可知RQ=RC,進而證明RtBCR0Rt.BQ?,推出BC=BQ=4,設RQ=RC=x,則

4

DR=CD-CR=3-x,解Rt一OQR求出QR=CR=§.利用三角形面積法求出OC,再證OCRs工儂,

根據相似三角形對應邊成比例即可求出CN.

【詳解】解：如圖，設社與CN交于點。，與CD交于點R,作于點Q,

矩形A8CD中，AB=3,BC=4

BD=ylBC2+CD2=5-

由作圖過程可知，BP平分NCBD,

四邊形43CD是矩形，

CDA.BC,

又-RQ1BD,

RQ=RC,

在RtBCR和RtBQR中,

\RQ=RC

、BR=BR'

Rt_BCR學Rt-BQR(HL),

BC=BQ=4,

QD=BD-BQ=5-4=1,

設RQ=RC=x,則DR=C￡>_CR=3r,

在Rt_OQR中，由勾股定理得。R2=QQ2+RQ2,

即(3—X)2=/+X2,

解得》三4，

4

/.CR=-.

3

i------------4i—

/.BR='BC?+CR2=-V10.

3

sRCR=LCRBC=LBROC,

BCR22

戛4

=|Vio.

BR?

3

NCOR=NCDN=9Q0,ZOCR=ZDCN,

OCRsDCN,

4

生=必，即1M

3>

DCCN

CN

解得CN=VIU.

故選：A.

【點睛】本題考查角平分線的作圖方法，矩形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股

定理，相似三角形的判定與性質等，涉及知識點較多，有一定難度，解題的關鍵是根據作圖過程判斷出3尸

平分NCBD,通過勾股定理解直角三角形求出CR.

7.（2023?四川內江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，點力、E為邊AB的三等分點、，點、F、G在邊8c上，

AC//DG//EF,點”為'與OG的交點.若AC=12,則的長為（）

【答案】C

【分析】由三等分點的定義與平行線的性質得出BF=GF=CG,AH=HF,是AAE尸的

中位線，易證△BE/saBAC,得空=里,解得瓦'=4,則。"=[EF=2.

ACAB2

【詳解】解：D、E為邊43的三等分點，EF〃DG〃AC,

：.BE=DE=AD9BF=GF=CG,AH=HF,

，AB=3BE,?！笔撬闹形痪€，

/.DH=-EF,

2

EF〃AC,

/.ZBEF=/BAC,ZBFE=ZBC4,

/.△BEF^ABAC,

EFBEHrlEFBE

ACAB123BE

解得：EF=4,

:.DH=-EF=-x4=2

221

故選：C.

【點睛】本題考查了三等分點的定義、平行線的性質、相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理等知

識；熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

8.（2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，。為原點，04=08=3百，點C為平面

3

內一動點，BCf連接AC,點M是線段AC上的一點，且滿足CM:M4=12當線段OM取最大值時,

點M的坐標是（）

【答案】D

［分析］由題意可得點C在以點8為圓心，|為半徑的。5上，在X軸的負半軸上取點。卜等■，（））,連接8。，

分別過C、”作MEVOA,垂足為尸、E,先證，0A〃s,^―=—=-,從而當CD

DACCDAD3

取得最大值時，0M取得最大值，結合圖形可知當O,B,C三點共線，且點B在線段DC上時，CZ）取得

最大值，然后分別證，3DOSCDF,AEMS.AFC,利用相似三角形的性質即可求解.

3

【詳解】解：.??點C為平面內一動點，BC=-,

3

...點C在以點B為圓心，,為半徑的0B上，

在x軸的負半軸上取點。（一手，。］,連接分別過C、”作CFLOA,MEVOA,垂足為尸、E,

"：OA=OB=3舊，

:.AD=OD+OA=^-

29

9OA_2

??茄一§，

CM:M4=1:2,

.OA2CM

??茄—§一啟，

u：ZOAM=ZDAC,

：.^OAM^DAC,

.OMOA2

9，~CD~^D~3,

???當CO取得最大值時，QM取得最大值，結合圖形可知當。，B,。三點共線，且點8在線段。。上時,

8取得最大值，

VOA=OB=3y/5,OD=^,

2

2

BD=y/OB2+OD2=卜灼+=y,

CD=BC+BD=9,

..OM2

?—f

CD3

OM=6,

???y軸J_x軸,CFLOA,

：.NDOB=NDFC=90°,

NBDO=NCDF,

:?&BDOs_CDF,

；.再=生即36T

CFCD-=^

解得“萼

同理可得，AEM^AFC,

ME2

.MEAM2ml-r=-

??彳=左=§即18百3,

5

解得ME=?5

5

當線段OM取最大值時，點M的坐標是（竽，竽）

故選：D.

【點睛】本題主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性質、圓的一般概念以及坐標與圖形，熟練掌握

相似三角形的判定及性質是解題的關鍵.

9.（2023?山東東營?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4,點E,尸分別在邊DC,BC1.,B.BF=CE,

AE平分NC4O,連接OF,分別交AE,AC于點G,M,P是線段AG上的一個動點，過點尸作PNLAC

垂足為N,連接,有下列四個結論:①AE垂直平分DM;②PM+PN的最小值為372;@CF2=GEAE；

④上?其中正確的是（）

A.①@B.②③④C.①③④D.①③

【答案】D

【分析】根據正方形的性質和三角形全等即可證明ND4E=ZFDC,通過等量轉化即可求證AG,DM,利

用角平分線的性質和公共邊即可證明ADG^AMG（ASA）,從而推出①的結論；利用①中的部分結果可證

明△ADES^DGE推出OE2=GE?E,通過等量代換可推出③的結論；利用①中的部分結果和勾股定理推

出4W和CM長度，最后通過面積法即可求證④的結論不對；結合①中的結論和③的結論可求出產M+PN的

最小值，從而證明②不對.

【詳解】解：.ABCD為正方形，

.-.BC=CD=AD,ZADE=ADCF=90°,

BF=CE,

:.DE=FC,

ADE空.OCF(SAS).

.\ZDAE=ZFDC,

ZA￡>￡=90°,

:.ZADG+ZFDC=90°f

ZADG+ZDAE=90°,

:.ZAGD=ZAGM=90°.

AE平分NC4O,

??.ZDAG=ZMAG.

AG=AG,

/.ADG迫AMG(ASA).

??.DG=GM,

ZAGD=ZAGM=90°,

AE垂直平分￡>M,

故①正確.

由①可知，ZADE=ZDGE=90°,ZDAE=NGDE,

??.ADE,DGE,

.DEAE

"'GE~~DEf

:.DE?=GEAE,

由①可知OE=CF,

CF2=GEAE.

故③正確.

ABC。為正方形，且邊長為4,

/.AB=BC=AD=4f

???在中，AC=6AB=4亞.

山①可知，ADG^.AMG(ASA),

.\AM=AD=4.

CM=AC-AM=4y/2-4.

由圖可知，一。MC和“。加等高，設高為〃，

…SADM=SADC—SDMC?

4x/z_4x4(4向4).J

"~2~~~22

：.h=2近,

:.SegAM.h=；xAx2五=40

故④不正確.

由①可知，ADG^AMG(ASA),

;.DG=GM,

關于線段AG的對稱點為。，過點。作。N'_LAC,交AC于N',交AE于P，

.?.PM+/W最小即為。N',如圖所示,

由④可知ZW）暇的高6=2及即為圖中的DN',

DN'=2>/2.

故②不正確.

綜上所述，正確的是①③.

故選：D.

【點睛】本題考查的是正方形的綜合題，涉及到三角形相似，最短路徑，三角形全等，三角形面積法，解

題的關鍵在于是否能正確找出最短路徑以及運用相關知識點.

10.（2023.內蒙古赤峰.統(tǒng)考中考真題）如圖，把一個邊長為5的菱形ABCD沿著直線OE折疊，使點C與A8

延長線上的點Q重合.￡>E交BC于點凡交A8延長線于點E.。。交BC于點P,于點M,AM=4,

則下列結論，@DQ=EQ,?BQ=3,?BP=^-,?BD//FQ.正確的是（）

8

A.①②③B.②④C.①③④D.①②③④

【答案】A

【分析】由折疊性質和平行線的性質可得NQDF=NCDF=NQEF,根據等角對等邊即可判斷①正確；根據

等腰三角形三線合一的性質求出M2=4W=4,再求出8。即可判斷②正確；由得

■CP=柘CD=（5求出族即可判斷③正確；根據P言P:"O之P即可判斷④錯誤?

DT3DEBE

【詳解】由折疊性質可知：4CDF=/QDF,CD=DQ=5,

■:CD//AB,

：.ZCDF=ZQEF.

.?.ZQDF=ZQEF.

??.DQ=EQ=5.

故①正確；

?:DQ=CD=AD=5,DM±AB,

MQ=AM=4.

u：MB=AB-AM=5-4=],

：.BQ=MQ-MB=4-l=3.

故②正確；

■:CD//AB,

：.叢CDPsgQP.

?_C_P____C_D___5

?,BP-BQ一3，

;CP+BP=BC=5,

315

:.BP=-BC=—.

88

故③正確；

CD//AB,

△CDFsABEF.

?_D__F___C__D_______C_D_________5_____5

…EF~BE~BQ+QE-3+5-8,

?EF8

'DE-T3,

..QE_5

?B￡-8

.空w或

DEBE

△EFQ與LEDB不相似.

/.ZEQF*NEBD.

??.8。與尸Q不平行.

故④錯誤；

故選:A.

【點睛】本題主要考查了折疊的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，菱

形的性質等知識，屬于選擇壓軸題，有一定難度，熟練掌握相關性質是解題的關鍵.

11.（2023?黑龍江?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形A8Q）中，點E,F分別是AB,BC上的動點，且"1班，

垂足為G,將△ABP沿AF翻折，得到△AMEAM交。E于點P,對角線50交AF于點〃，連接

HM,CM*DM,BM,下列結論正確的是：?AF=DE,@BM//DEx③若CV則四邊形8HWF是

菱形；④當點E運動到48的中點，tanNBHF=2夜；⑤EP-DH=2AG-BH.（）

A__________—

BK

BFC

A.①@③④⑤B.①②③⑤C.①②③D.①②⑤

【答案】B

【分析】利用正方形的性質和翻折的性質，逐一判斷，即可解答.

【詳解】解：?四邊形45co是正方形，

：.^DAE=ZABF=90°,DA=AB,

AFYDE,

:.ZBAF+ZAED=9（y,,

ZBAF+ZAFB=90°,

:.ZAED=ZBFA,

.-.△71BF^AAE￡＞（AAS）,

:.AF=DE,故①正確,

將△A3F沿AF翻折，得到，AMF.

:.BMLAF,

AFIDE^

:.BM//DE,故②正確,

當C”_L￡1/時，ZCMF=90°,

NAM/=NAB產=90。，

ZAMF+ZCMF=\S0°,即AM,C在同一直線上，

/.ZMCF=45°,

.?.ZMFC=90°-ZMCF=45°,

通過翻折的性質可得/“既=/“耐=45。，BF=MF,

:,4HMF=/MFC,NHBC=4MFC,

BC〃MH,HB〃MF,

???四邊形BHMF是平行四邊形，

BF=MF,

..?平行四邊形期版是菱形，故③正確,

當點E運動到A3的中點，如圖,

在RtAAEO中，DEVAU+AE?=G=AF，

ZAHD=ZFHB,ZADH=ZFBH=45°,

:△AH44FHB，

.FHBF_a_1

'^H~^D~2a~2f

2_275

/.AAHU=-AF=-----a,

33

ZAGE=ZABF=90。,

.AEEGAGa=y/5

''AF~~BF~~AB~^5a~~5

.”石口行石A「后人口245

..EG=—BF=—a，AG=—AB=----a,

5555

4J54J5

/.DG=ED-EG=-^—aGH=AH-AG=~^a

5f15

ZBHF=ZDHA,

在RtZXDGH中，tanZBHF=tanZDHA=—=3,故④錯誤,

GH

/XAHD^/XFHB，

.BH-1

,BH=-BD=-x2y/2a=^^a

f0TBYr立"殍

333

AF±EP,

根據翻折的性質可得EP=2EG=-a

5

.2V547287102

..EP,DnHw=-----ci-----ci=-------ci,

5315

…叫n25/52V28M2

2AG-BH=2----a------a=------a,

5315

:.EPDH=2AGBH=^^-a2，故⑤正確;

15

綜上分析可知，正確的是①②③⑤.

故選：B.

【點睛】本題考查了正方形的性質，翻折的性質，相似三角形的判定和性質，正切的概念，熟練按照要求

做出圖形，利用尋找相似三角形是解題的關鍵.

二、填空題

12.（2023?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，43c與△ABQ位似，原點。是位似中

A3

心，且病=3.若89,3）,則A1點的坐標是.

【答案】（3,1）

【分析】直接利用位似圖形的性質得出相似比進而得出對應線段的長.

【詳解】解：設4（町〃）

AB

???與△4/G位似，原點。是位似中心，且病=3.若A（9,3）,

，位似比為3:，

.9333

（?—=一，———,

tn1n1

解得"2=3,"=1,

"（3,1）

故答案為：（3,1）.

【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關鍵.

13.（2023?吉林長春?統(tǒng)考中考真題）如圖，A3C和,A'B'C是以點。為位似中心的位似圖形，點A在線段04,

上.若。4：A4'=1：2,則和的周長之比為.

【答案】1:3

【分析】根據位似圖形的性質即可求出答案.

【詳解】解：OA：A4'=1：2,

:.OA:OA'=\:3,

設工45c周長為4,設AA夕。周長為4,

-ABC和二AB'C是以點。為位似中心的位似圖形,

./,OA1

"7^~OA~3'

I1:12=1:3.

.?.一ABC和工ArffC的周長之比為1:3.

故答案為：1:3.

【點睛】本題考查了位似圖形的性質，解題的關鍵在于熟練掌握位似圖形性質.

14.（2023?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形A8CD中，E是線段A3上一點，連結AC、DE交

【答案】|

【分析】四邊形ABC。是平行四邊形，貝=CD,可證明一/，得到”=當=絲,

EFAEAE

由空=4進一步即可得到答案.

EB3

【詳解】解：???四邊形ABC。是平行四邊形，

AAB=CD,ABCD,

：.ZAEF=4CDF/EAF=/DCF,

:、EAFs^DCF,

,DFCDAB

"EF-AE?

??AE_2

?一，

EB3

.AB5

?>----=—,

AE2

.SMDF_DF_AB_5

EF~AE~2-

故答案為：~

【點睛】此題考查了平行四邊形的性質、相似二角形的判定和性質等知識，證明，E4Es_/X尸是解題的關

鍵.

15.（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）《周髀算經》中記載了“偃矩以望高”的方法."矩”在古代指兩條邊呈直角的

曲尺（即圖中的A3C）.“偃矩以望高''的意思是把"矩'’仰立放，可測量物體的高度如圖，點A,B,。在同

一水平線上，NABC和4QP均為直角，AP與BC相交于點。.測得AB=40cm,BD=20cm,AQ=\2m,

則樹高PQ=m.

p

【答案】6

【分析】根據題意可得?A8Qs..AQP,然后相似三.角形的性質，即可求解.

【詳解】解：???/ABC和乙4。尸均為直角

ABD//PQ,

??..ABOsAQP,

?_B_D___A__B_

"~PQ~7Q

AB=40cm,BD=20cm,AQ=12m,

.AQXBD12X20

..r(J=-----------=---------=om.

AB40

故答案為：6.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

16.（2023?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖，在JWC中，。是邊A8上一點，按以下步驟作圖：①以點A為

圓心，以適當長為半徑作弧，分別交AB,AC于點M,N；②以點。為圓心，以40長為半徑作弧，交DB

于點”；③以點M為圓心，以MN長為半徑作弧,在NBAC內部交前面的弧于點N'：④過點N'作射線DN'

交5c于點E.若,87犯與四邊形ACED的面積比為4:21,則分BE的值為

CE

【分析】根據作圖可得N8￡〉E=ZA,然后得出OE〃/1C,可證明△%>EsZka4C,進而根據相似三角形

的性質即可求解.

【詳解】解：根據作圖可得

/.DE//AC,

ABDEsABAC,

??二比應與四邊形ACED的面積比為4:21,

?S血二4二產丫

“SBAC21+4[BC）

...-B-E=一2

BC5

.BE2

??~~~，

CE3

2

故答案為：--

【點睛】本題考查了作一個角等于已知角，相似三角形的性質與判定，熟練掌握基本作圖與相似三角形的

性質與判定是解題的關鍵.

17.（2023?內蒙古?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=1,將繞點A逆

An

時針方向旋轉90。，得到△AB'C'.連接33'，交AC于點Q,則二二的值為.

【分析】過點。作于點F,利用勾股定理求得=根據旋轉的性質可證，ABB'、ADFB是

等腰直角三角形，可得。尸=BF,再由SM?=；XBCXAZ）=；X￡>FXAB,得AD=MDF,證明

AFDACB,可■得■^二=，即AF=3DF,再由AF=JT5—￡）尸，求得QF=，從而求得A￡>=彳，

BCAC42

CD=1,即可求解.

【詳解】解：過點。作AB于點F,

VZACB=90°,AC=3,BC=1,

?*-AB=A/32+12=Vio>

將一ABC繞點A逆時針方向旋轉90。得到△A&C',

A8=A8'=廊，ZBAB'=90°,

??AM，是等腰直角三角形,

??ZABBr=45°,

又：DF1.AB,

??/FDB=45。，

??中是等腰直角三角形,

*.DF=BF,

,SADB=—xBCxAD=—xDFxAB,B|JAD=y/\ODF,

22

??ZC=ZAFD=90°,ZC4B=ZE4Z),

??一AFD_ACB,

r)rAF

,EPAF=3DF,

BCAC

又?:AF=4iO-DF，

."M

??DF=-----,

4

.??AO=Mx典=3,CD=3--=-,

4222

5

AD20

CD￡'

2

【點睛】本題考查旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、三角形的面積，熟

練掌握相關知識是解題的關鍵.

18.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）矩形ABCO中，M為對角線8少的中點，點N在邊AO上，且4V=AB=1.當

以點。，M,N為頂點的三角形是直角三角形時，AD的長為.

【答案】2或&+1

【分析】分兩種情況：當NMMD=90。時和當NNMD=90。時，分別進行討論求解即可.

【詳解】解：當ZMND=90°時，

:四邊形A8C￡）矩形,

=90°,則MN〃A8,

由平行線分線段成比例可得：箝患

又為對角線8。的中點,

BM=MD，

.ANBM,

'~ND~~MD~

即：ND=AN=1,

：.AD=AN+ND=2,

當NMWE>=9()°時,

為對角線BO的中點，NNMD=90。

：.MN為8。的垂直平分線，

/.BN=ND,

?.?四邊形ABC￡>矩形，AN=AB=1

.?.ZA=90。，則BN=jAB、AN2=O,

BN=ND=6

/?AD=AN+ND=y/2+i，

綜上，AO的長為2或a+1，

故答案為：2或&+1.

【點睛】本題考查矩形的性質，平行線分線段成比例，垂直平分線的判定及性質等，畫出草圖進行分類討

論是解決問題的關鍵.

19.（2023?遼寧大連?統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCZ）中，AB=3,延長至E,使CE=2,連接AE,

CF平分NDCE交AE于F,連接￡）尸，則。尸的長為.

【分析】如圖，過尸作Q0JL8E于〃，F(xiàn)NLCD于N,由CP平分/DCE,可知NRCW=/尸CN=45。,

可得四邊形CM/W是正方形，F(xiàn)M//AB,設FM=CM=NF=CN=a,則ME=2-a,證明AEEWS-EAB,

FMMF〃2—〃39,__________

則FT=H，即?解得〃==，DN=CD-CN=j由勾股定理得。尸=而干尸，計算求解

ABBE33+244

即可.

【詳解】解：如圖，過?作RM_L班1于M,RV_LC￡>于N,則四邊形CMFN是矩形，F(xiàn)M//AB>

*/C/平分NDCE,

???NFCM=NFCN=45。,

：?CM=FM,

???四邊形CMF7V是正方形，

設FM=CM=NF=CN=a,則ME=2—a,

■:FM//AB,

??EFM^EAB

.FMME2-a3

畤=解得

3+2

9

??DN=CD—CN=一,

4

由勾股定理得DF=-JDN2+NF2=士低,

4

故答案為：巫.

4

【點睛】本題考查了正方形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質.解題的關鍵在于對知識

的熟練掌握與靈活運用.

20.（2023?廣東?統(tǒng)考中考真題）邊長分別為10,6,4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上

（如圖），則圖中陰影部分的面積為.

【分析】根據正方形的性質及相似三角形的性質可進行求解.

【詳解】解：如圖，

由題意可知4。=。。=10,。6=。七=6尸=6,/?！?=/石/6=90。，GH=4,

???C”=10=AO,

?/ZD=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

???-Afi/冬〃C/（AAS）,

:?CJ=DJ=5,

AE/=l,

■:GI//CJ,

:?_HG"一HCJ,

.G1GH2

:?GI=2,

?FI=4,

S樵形w=—（EJ+FI）EF=\5-

故答案為：15.

【點睛】本題主要考查正方形的性質及相似三角形的性質與判定，熟練掌握正方形的性質及相似三角形的

性質與判定是解題的關鍵.

21.（2023?天津?統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長為3的正方形A3CD的外側，作等腰三角形ADE,EA=ED=^.

（2）若F為BE的中點，連接反并延長，與C￡＞相交于點G,則AG的長為

【答案】3；V13

【分析】（1）過點E作根據正方形和等腰三角形的性質，得到A"的長，再利用勾股定理，求

出EH的長，即可得到VADE的面積;

（2）延長即交AG于點K,利用正方形和平行線的性質，證明?ABF&KEF（ASA）,得到EK的長，進而得

到K”的長，再證明八4/水6人￡4，得到絳=空，進而求出G￡＞的長，最后利用勾股定理，即可求出月G

CrDAD

的長.

【詳解】解：（1）過點E作

正方形A8C。的邊長為3,

.\AD=3,

二ADE是等腰三角形，EA=ED=B，EHYAD,

13

AH=DH=-AD=-

221

在RjAHE中，EH=>JAE2-AH2=2,

「?SA0E=gAO.E〃=gx3x2=3,

故答案為：3；

（2）延長EH交AG于?點K,

正方形A3CD的邊長為3,

ZBAD=ZADC=90°fAB=3,

.\AB±AD,CDA.AD,

EKA.AD,

:.AB//EK//CD,

:.ZABF=AKEF,

產為應:的中點，

；.BF=EF,

在AAB尸和-KEF中,

/ABF=NKEF

<BF=EF,

NAFB=NKFE

ABFaKEF（ASA）,

.\EK=AB=31

由（1）可知，AH=^-AD,EH=2,

2

:.KH=\,

KH//CD,

：./\AHK^/\ADG,

KHAH

----=-----,

GDAD

\GD=2,

在RtVADG中，AG=yjAD2+GD2=732+22=屈，

故答案為：岳.

【點睛】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和

性質，勾股定理等知識，作輔助線構造全等三角形和相似三角形是解題關鍵.

22.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考中考真題）如圖，E,F是正方形ABCQ的邊AB的三等分點，P是對角線AC上

Ap

的動點，當PE+P/取得最小值時，器的值是

【答案】|

【分析】作點尸關于AC的對稱點/，連接所'交AC于點P,此時PE+P/取得最小值，過點尸作A￡）的

垂線段，交AC于點K,根據題意可知點尸落在仞上，設正方形的邊長為“，求得AK的邊長，證明

Kp，

△AEPSAKFP，可得￡=2,即可解答.

/1/

【詳解】解：作點F關于AC的對稱點F'，連接EF'交AC于點P',過點F'作AD的垂線段，交AC于點K,

由題意得：此時F'落在AO上，且根據對稱的性質，當P點與P'重合時PE+P尸取得最小值,

2

設正方形A3CD的邊長為。，則AF'=AF=§”

.?四邊形ABC。是正方形,

.?.NE4K=45°,NP'A￡=45°,AC=-Jia

F'KYAF',

AF'AK=ZF'KA=45°,

2忘

AK=^—a,

3

ZF'PK=ZEPA,

:△EKP'SAEAP',

F'KKP'、

——=--=2,

AEAP'

：.AP，=LAK=Z&,

39

:.CP'=AC-AP'=-42a,

9

.Ap，_2

'CF"7"

Apo

???當尸E+PF取得最小值時，器的值是為

故答案為：.

【點睛】本題考查了四邊形的最值問題，軸對稱的性質，相似三角形的證明與性質，正方形的性質，正確

畫出輔助線是解題的關鍵.

23.（2023?山西?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形A8CZ）中，ZBCD=90°,對角線AC,8。相交于點0.若

AB=AC=5,BC=6,ZADB=2ZCBD,Ijll]AD的長為

【答案】叵

3

【分析】過點A作AH±BC于點、H,延長AD,BC交于點￡根據等腰三角形性質得出BH=HC=^BC=3,

根據勾股定理求出A"=JAC?=4,證明/C5D=NCED,得出DB=DE,根據等腰三角形性質得出

[7）C'FQ

CE=BC=6,證明OV/AH,m-=-，求出。=屋根據勾股定理求出

DFCF_2_7_9_7

DE=yjCE1+CD2=,根據CO〃A”，得出蕓=壬，即:-6,求出結果即可.

ADCH二=-

AD3

【詳解】解：過點4作AHJ.8C于點“，延長AE>,3c交于點E,如圖所示:

A

BHCE

則NA//C=NA/ffi=90。，

\?A8=AC=5,8C=6,

BH=HC=>BC=3,

2

:?AH7AC?-CH?=4,

?:AADB=/CBD+NCED,ZADB=2ZCBD,

/./CBD=/CED,

:.DB=DE,

*//BCD=90。，

JDCLBE,

：.CE=BC=6,

：.EH=CE+CH=9,

VDCLBE,AHLBC,

：.CD//AH,

:?jECD?EHA,

.CDCE

??=,

AHHE

'：CD//Mi.

.DECE

??~~,

ADCH

2質

即_6，

AD-3

解得：叵

故答案為：江

3

【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質，等腰三角形的判定和性質，勾股定理，平行線分線段成比例，

相似三角形的判定與性質，平行線的判定，解題的關鍵是作出輔助線，熟練掌握平行線分線段成比例定理

及相似三角形的判定與性質.

三、解答題

24.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）在中，N8AC=90。，A￡）是斜邊3c上的高.

(1)證明：△ABWACBA；

(2)若A3=6,BC=10,求8。的長.

【答案】（I）見解析

【分析】（1）根據三角形高的定義得出Z4D5=90。，根據等角的余角相等，得出NB4）=NC,結合公共

角=即可得證；

（2）根據（1）的結論，利用相似三角形的性質即可求解.

【詳解】（1）證明：1N￡nC=90°,A￡＞是斜邊上的高.

ZADB=90°,ZB+ZC=90°

二ZB+ZBAD=90°,

ZBAD=ZC

又?:ZB=ZB

/.AAB4ACBA,

（2）AAflD^ACBA

.-A-■—B----B-D

又AB=6,BC=\0

.??皿=四=生上.

CB105

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

25.（2023?湖南?統(tǒng)考中考真題）如圖，點8是線段AD上的一點，且C8LBE.已知

AB=S,AC^6,DE=4.

C

（2）求線段8。的長.

【答案】（1）見解析

⑵80=3

【分析】（1）根據題意得出4=N〃=90°,NC+NABC=90。，ZABC+ZEBD=90°,則NC=N0?O,即

可得證；

（2）根據（1）的結論，利用相似三角形的性質列出比例式，代入數(shù)據即可求解.

【詳解】（1）證明：???ACLADEOLAD,

ZA=Z￡>=90°,ZC+ZABC=90°,

,/CELBE,

：.ZABC+ZEBD=90°,

：.NC=NEBD,

/.LABCSADEB；

（2）?:公ABCS^DEB,

,ABAC

,,---=---,

DEBD

?：AB=8,AC=6,OE=4,

-8_6

??一=—，

4BD

解得：80=3.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵.

26.（2023?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，YABC。中，點E是AO的中點，連接CE并延長交54的延長線

于點F.

⑴求證：AF=AB\

（2）點G是線段"上一點，滿足ZFCG=NFCO,CG交AD于前H,若AG=2,FG=6,求GH的長.

【答案】（1）見解析

嗚

【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得4?〃。，他=8,證明VAEF三V￡）EC（ASA）,推出A尸=8,

即可解答；

（2）通過平行四邊形的性質證明GC=GF=6,再通過（1）中的結論得到￡>C=45=AF=8,最后證明

XAGHs叢DCH,利用對應線段比相等，列方程即可解答.

【詳解】（1）證明：四邊形A8CD是平行四邊形，

：.AB//CD,AB-CD,

:.ZEAF=ZD,

E是AZ）的中點，

AE=DE，

ZAEF=NCED,

/..AEF^DEC（ASA）,

???AF=CD,

:.AF=AB^

（2）解：?四邊形ABC。是平行四邊形，

DC=AB=AF=FG+GA=8,DC//FA,

:.NDCF=NF,/DCG=NCGB,

/FCG=/FCD,

??.ZF=ZFCG,

:.GC=GF=6,

ZDHC=ZAHG,

?,△AGHs^DCH，

.GHAG

*CH-DC*

^HG=xMCH=CG-GH=6-x,

可得方程—x=52，