14用一元二次方程解決問題（原卷版）

1.4用一元二次方程解決問題（一）【推本溯源】1.解決應(yīng)用題的一般步驟：步驟內(nèi)容摘要注意事項1.審審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等等量關(guān)系往往體現(xiàn)在關(guān)鍵詞句中2.設(shè)設(shè)未知數(shù)，有時會用未知數(shù)表示相關(guān)的量一般要帶單位3.列根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程方程兩邊單位要統(tǒng)一4.解解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰一般不必寫出解方程的過程5.檢檢驗方程的解能否保證實際問題有意義一般兩個根中只有一個符合實際意義6.答寫出答案，切忌答非所問注意帶上單位2.解下列應(yīng)用（1）已知兩個數(shù)的和等于12，積等于32，求這兩個數(shù)是多少．?dāng)?shù)字問題（1）任何一個多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個位、十位、百位、千位……，它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……，數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來表示，這也就是用多項式的形式表示了一個多位數(shù).如：一個三位數(shù)，個位上數(shù)為a，十位上數(shù)為b，百位上數(shù)為c，則這個三位數(shù)可表示為：

.

（2）幾個連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個整數(shù)相差1.如：三個連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為，.幾個連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.如：三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個數(shù)為x，則另兩個數(shù)分別為，.（2）隨著國家“惠民政策”的陸續(xù)出臺，為了切實讓老百姓得到實惠，國家衛(wèi)計委通過嚴(yán)打藥品銷售環(huán)節(jié)中的不正當(dāng)行為，某種藥品原價200元/瓶，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，現(xiàn)在僅賣98元/瓶，現(xiàn)假定兩次降價的百分率相同，求該種藥品平均每場降價的百分率．平均變化率問題

列一元二次方程解決增長(降低)率問題時，要理清原來數(shù)、后來數(shù)、增長率或降低率，以及增長或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長或降低兩次.

①增長率問題：平均增長率公式為(a為原來數(shù)，x為平均增長率，n為增長次數(shù)，b為增長后的量.)

②.降低率問題：平均降低率公式為(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)

（3）有一個人患了新冠肺炎，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了新冠肺炎，那么每輪傳染中平均傳染了多少人？傳播問題：從傳播的第二輪中可以抽象出一元二次方程，設(shè)a為傳染源，x為每個傳染源傳播的個數(shù)，則傳播兩輪后感染總個數(shù)為.（4）如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？幾何圖形問題各種規(guī)則圖形的面積、體積、周長公式，常涉及三角形的三邊關(guān)系、三角形全等、勾股定理等。列一元二次方程解應(yīng)用題是把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（列方程），然后由數(shù)學(xué)問題的解決而獲得對實際問題的解決.這是在解決實際問題時常用到的數(shù)學(xué)思想—方程思想（5）某商品現(xiàn)在的售價為每件60元，每星期可賣出300件．市場調(diào)查反映：每降價1元，每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價為每件40元，在顧客得實惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤，應(yīng)將銷售單價定位多少元？商品銷售問題利潤=售價進(jìn)價(成本)

總利潤=每件的利潤×總件數(shù)

【解惑】例1：若某兩位數(shù)的十位數(shù)字是方程的根，則它的十位數(shù)字是_____．例2：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有169人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了___人．例3：如圖，在一塊長米、寬米的矩形空地上，修建兩條同樣寬的相互垂直的道路，剩余部分栽種花草．要使綠化面積為平方米，則修建的路寬應(yīng)是多少米？

例4：如果不防范，病毒的傳播速度往往很快，有一種病毒人感染后，經(jīng)過兩輪傳播，共有人感染．(1)平均每人每輪感染多少人？(2)第二輪傳播后，人們加強防范，使病毒的傳播力度減少到原來的，這樣第三輪傳播后感染的人數(shù)只是第二輪傳播后感染人數(shù)的倍，求的值．例5：一款服裝每件進(jìn)價為80元，銷售價為120元時，每天可售出20件，為了擴大銷售量，增加利潤，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件服裝降價1元，那么平均每天可多售出2件．(1)設(shè)每件衣服降價x元，則每天銷售量增加______件，每件商品盈利________元（用含x的代數(shù)式表示）；(2)在讓利于顧客的情況下，每件服裝降價多少元時，商家平均每天能盈利1200元；(3)商家能達(dá)到平均每天盈利1500元嗎？請說明你的理由．【摩拳擦掌】1．三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，例如可構(gòu)造如圖所示的圖形求解方程，這一過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）

A．統(tǒng)計思想 B．化歸思想 C．分類討論思想 D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想2．為大力實施城市綠化行動，某小區(qū)規(guī)劃設(shè)置一片面積為1000平方米的矩形綠地，并且長比寬多30米，設(shè)綠地長為x米，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B． C．D．3．據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．4．一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染幾個人？設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染個人．根據(jù)題意列出方程為（

）A． B．C． D．5．參加宴會的人兩兩彼此握手，在某次宴會中，出席宴會的人一共握了次手，那么出席這次宴會的人數(shù)是________人．6．（2023·山西大同·大同一中?？寄M預(yù)測）2023“全晉樂購”網(wǎng)上年貨節(jié)活動期間，某商家購進(jìn)一批進(jìn)價為80元/盒的呂梁沙棘汁，按150元/盒的價格進(jìn)行銷售，每天可售出160盒．后經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每盒價格降低1元時，每天可多售出8盒．若要每天盈利16000元，設(shè)每盒價格降低元，則可列方程為___________．7．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一個兩位數(shù)，個位數(shù)字比十位數(shù)字少1，且個位數(shù)字與十位數(shù)字的乘積等于72，則這個兩位數(shù)是_____．8．（2023秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）某商場一種商品的進(jìn)價為每件30元，售價為每件40元，每天可以銷售48件，為盡快減少庫存，商場決定降價促銷．(1)若該商品連續(xù)兩次下調(diào)相同的百分率后售價降至每件元，求兩次下降的百分率；(2)經(jīng)調(diào)查，若該商品每降價元，每天可多銷售4件，那么每天要想獲得512元的利潤，每件應(yīng)降價多少元？9．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）一個兩位數(shù)是一個一位數(shù)的平方，把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，比把這個一位數(shù)放在這個兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大，求這個兩位數(shù)．10．（2020秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級期末）如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園（圍墻最長可利用），現(xiàn)在已備足可以砌長的墻的材料．(1)當(dāng)長度是多少時，矩形花園的面積為米；(2)能否圍成矩形花園面積為米，為什么？11．（2023·河南開封·統(tǒng)考一模）閱讀材料，解決問題．相傳古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題．他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，比如，他們研究過1、3、6、10…，由于這些數(shù)可以用圖中所示的三角點陣表示，他們就將每個三角點陣中所有的點數(shù)和稱為三角數(shù)．則第n個三角數(shù)可以用（且為整數(shù)）來表示．(1)若三角數(shù)是55，則______；(2)把第n個三角點陣中各行的點數(shù)依次換為2，4，6，…，2n，…，請用含n的式子表示前n行所有點數(shù)的和；(3)在（2）中的三角點陣中前n行的點數(shù)的和能為120嗎？如果能，求出n，如果不能，請說明理由．12．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）一個兩位數(shù)，它們的十位數(shù)字與個位數(shù)字之和為，如果把十位數(shù)字與個位數(shù)字調(diào)換后，所得的兩位數(shù)乘以原來的兩位數(shù)就得，求原來的兩位數(shù)．【知不足】1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）有人患了流感后，經(jīng)過兩輪傳染后共有人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了人，則根據(jù)題意可列方程（

）A． B． C． D．2．（2023秋·廣東惠州·九年級統(tǒng)考期末）參加一次活動的每個人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人參加活動？設(shè)有人參加活動，可列方程為（）A． B． C． D．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，在一塊長，寬的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相等），水渠把耕地分成6個矩形小塊（陰影部分），如果6個矩形小塊的面積和為，那么水渠應(yīng)挖多寬？若設(shè)水渠應(yīng)挖xm寬，則根據(jù)題意，下面所列方程中正確的是（

）

A． B．C． D．4．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）如圖所示，…都是直角三角形，請細(xì)心觀察圖形，認(rèn)真分析各式，然后解答問題．；；；請用含有n（n是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律：_________．若，則___________．5．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）某件服裝廠促銷一種服裝，原來每件每件售價為200元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，該種服裝每件售價為98元，則平均每次降價的百分率為__________．6．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位個，并按計劃逐月增長，預(yù)計八月份將提供崗位個．設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為，根據(jù)題意，可列方程為___________．7．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）為了加快數(shù)字化城市建設(shè)，某市計劃新建一批智能充電樁，第一個月新建了301個充電樁，第三個月新建了500個充電樁，設(shè)該市新建智能充電樁個數(shù)的月平均增長率為，根據(jù)題意，請列出方程________．8．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）某商場銷售一批襯衫，進(jìn)貨價為每件元，按每件元出售，一個月內(nèi)可售出件．已知這種襯衫每件漲價元，其銷售量要減少件．為了減少庫存量，且在月內(nèi)賺取元的利潤，售價應(yīng)定為每件多少元？9．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）要建一個面積為的長方形養(yǎng)雞場，為了節(jié)省材料，養(yǎng)雞場的一邊利用原有的一道墻，另三邊用鐵絲網(wǎng)圍成，如果鐵絲網(wǎng)的長為．

(1)若墻足夠長，則養(yǎng)雞場的長與寬各為多少？(2)若給定墻長為，則墻長a對題目的解是否有影響？10．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）圣誕節(jié)昂立師生互送賀卡，總共送出張，求昂立共有師生多少人？11．（2023春·八年級單元測試）如圖，用籬笆靠墻圍成矩形花圃，一面利用舊墻，其余三面用籬笆圍，墻可利用的最大長度為，籬笆長為，設(shè)平行于墻的邊長為．(1)若圍成的花圃面積為時，求的長；(2)如圖，若計劃在花圃中間用一道籬笆隔成兩個小矩形，且花圃面積為，請你判斷能否圍成花圃，如果能，求的長；如果不能，請說明理由．12．（2023春·北京東城·八年級匯文中學(xué)?？计谥校┤龂鴷r期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了用幾何法對一元二次方程進(jìn)行求解的方法，以為例，大致過程如下：第一步：將原方程變形為．即．第二步：構(gòu)造一個長為，寬為的長方形，長比寬大2，且面積為3，如圖①所示．第三步：用四個這樣的長方形圍成一個大正方形，中間是一個小正方形，如圖②所示．第四步：將大正方形邊長用含的代數(shù)式表示為______．小正方形邊長為常數(shù)______，長方形面積之和為常數(shù)______．由觀察可得，大正方形面積等于四個長方形與小正方形面積之和，得方程______，兩邊開方可求得，．

(1)第四步中橫線上應(yīng)依次填入______，______，______，______；(2)請參考古人的思考過程，畫出示意圖，寫出步驟，解方程．13．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）隨旅游旺季的到來，某景區(qū)游客人數(shù)逐月增加，2月份游客人數(shù)為1.6萬人，4月份游客人數(shù)為2.5萬人．(1)求這兩個月中該景區(qū)游客人數(shù)的月平均增長率；(2)預(yù)計5月份該景區(qū)游客人數(shù)會繼續(xù)增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區(qū)5月1日至5月21日已接待游客2.125萬人，則5月份后10天日均接待游客人數(shù)最多是多少萬人？【一覽眾山小】1．（2023·浙江·一模）取一張長與寬之比為的長方形紙板，剪去4個邊長為的小正方形（如圖），并用它做一個無蓋的長方體形狀的包裝盒．要使包裝盒的容積為（紙板的厚度略去不計），則這張長方形紙板的周長為（

）

A． B． C． D．2.（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為米，則根據(jù)題意，列方程為()BC．D．3．（2023·重慶·西南大學(xué)附中?？既＃┠持袑W(xué)連續(xù)3年開展植樹活動，已知第一年植樹500棵，第三年植樹720棵，若設(shè)該校這兩年植樹棵數(shù)的年平均增長率為x，根據(jù)題意，下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．4．（2023·湖南永州·統(tǒng)考中考真題）某縣年人均可支配收入為萬元，年達(dá)到萬元，若年至年間每年人均可支配收入的增長率都為，則下面所列方程正確的是（

）A． B．C． D．5．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了（

）個人．A．8 B．9 C．10 D．116．（2023·山西運城·山西省運城中學(xué)校?？既＃┤鐖D，將一張正方形鐵皮的四個角同時切去邊長為2的四個小正方形，制成一個無蓋箱子，若箱子的底面邊長為，原正方形鐵皮的面積為，則無蓋箱子的外表面積為（）

A．1 B．4 C．6 D．97．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）空地上有一段長為a米的舊墻，工人師傅欲利用舊墻和木棚欄圍成一個封閉的長方形菜園（如圖），已知木柵欄總長為40米，所圍成的長方形菜園面為S平方米．若，，則（）

A．有一種圍法 B．有兩種圍法 C．不能圍成菜園 D．無法確定有幾種圍法8．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在y軸上，邊在x軸上，點B的坐標(biāo)是，D為邊上一個動點，把沿折疊，若點A的對應(yīng)點恰好落在矩形的對角線上，則點的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．9．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）某校截止到年底，校園綠化面積為平方米．為美化環(huán)境，該校計劃年底綠化面積達(dá)到平方米．利用方程想想，設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長率為，則依題意列方程為__________．10．（2023·內(nèi)蒙古·二模）端午節(jié)又稱端陽節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國各地都有吃粽子的習(xí)俗，某超市以9元每袋的價格購進(jìn)一批棕子，根據(jù)市場調(diào)查，售價定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出70袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達(dá)到1360元？若設(shè)每袋棕子售價降低x元，則可列方程為____________．11．（2021秋·廣東河源·七年級?？计谥校┠撑l(fā)店將進(jìn)價為元的小商品按元賣出時，可賣出件，已知這種商品每件漲價元，其銷售量就減少件．若要賺得元利潤，設(shè)每件漲價元，則滿足方程____．12．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）如圖，在寬為，長為的矩形地面上修建兩條同樣寬且互相垂直的道路，其余部分作為耕地為．則道路的寬為是______．13．（2023春·安徽合肥·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）某家電超市銷售一款智能水壺，平均每天可售出件，每件贏利元，為了擴大銷售，增加贏利，盡快減少庫存，超市決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件水壺每降價元，超市平均每天可多售出件，若超市銷售水壺平均每天要贏利元，每件水壺應(yīng)降價多少元？14．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）某書店銷售一本科普讀物，進(jìn)價為每本16元，若按每本30元銷售，平均每月能賣出200本．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在不虧本的情況下，為減少庫存，若每本售價降低1元，則平均每月可多賣出20本．設(shè)每本科普讀物的售價降低元．(1)小宇說：“既然降價銷售，薄利多銷，那么就有可能賣出600本．”請判斷小宇的說法是否正確，并說明理由；(2)若該書店銷售此科普讀物想平均每月的銷售利潤為2860元，銷售經(jīng)理甲說：“在原售價的基礎(chǔ)上降低3元，可以完成任務(wù)”，銷售經(jīng)理乙說：“在原售價的基礎(chǔ)上降