必修一課后作業(yè)第一章集合章末復(fù)習(xí)課

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.梳理構(gòu)建集合的知識網(wǎng)絡(luò).2.系統(tǒng)理解和掌握集合的基礎(chǔ)知識.3.能運用集合間的關(guān)系和集合的基本運算解決問題．知識點一元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系元素與集合之間的關(guān)系是屬于、不屬于的關(guān)系，根據(jù)集合中元素的確定性，對于任意一個元素a要么是給定集合A中的元素(a∈A)，要么不是(a?A)，不能模棱兩可．對于兩個集合A，B，可分成兩類A?B，A?B，其中A?B又可分為A?B與A＝B兩種情況，在解題時要注意空集的特殊性及特殊作用，空集是一個特殊集合，它不含任何元素，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．在解決集合之間的關(guān)系時，要注意不要丟掉空集這一情形．知識點二集合與集合之間的運算并、交、補是集合之間的基本運算，Venn圖與數(shù)軸是集合運算的重要工具．注意集合之間的運算與集合之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化，如A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.類型一集合的概念及表示法例1下列集合中M，N相等的是________．(填序號)①M＝{(2,1)，(3,2)}，N＝{(1,2)}；②M＝{2,1}，N＝{1,2}；③M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x2＋1，x∈N}；④M＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}，N＝{y|y＝x2－1，x∈R}．答案②解析①中M，N兩集合的元素個數(shù)不同，故不可能相等；②中M，N均為含有1,2兩個元素的集合，由集合中元素的無序性可得M＝N；③中M，N均為數(shù)集，顯然有M?N；④中M為點集，即拋物線y＝x2－1上所有點的集合，而N為數(shù)集，即拋物線y＝x2－1的y的取值．反思與感悟要解決集合的概念問題，必須先弄清集合中元素的性質(zhì)，明確是數(shù)集，還是點集等．跟蹤訓(xùn)練1設(shè)集合A＝{(x，y)|x－y＝0}，B＝{(x，y)|2x－3y＋4＝0}，則A∩B＝________.答案{(4,4)}解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,2x－3y＋4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4.))∴A∩B＝{(4,4)}．類型二集合間的基本關(guān)系例2若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可能取值組成的集合．解由題意得，P＝{－3,2}．當(dāng)a＝0時，S＝?，滿足S?P；當(dāng)a≠0時，方程ax＋1＝0的解為x＝－eq\f(1,a)，為滿足S?P，可使－eq\f(1,a)＝－3或－eq\f(1,a)＝2，即a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,2).故所求集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)，－\f(1,2))).反思與感悟(1)在分類時要遵循“不重不漏”的原則，然后對于每一類情況都要給出問題的解答．(2)對于兩集合A，B，當(dāng)A?B時，不要忽略A＝?的情況．跟蹤訓(xùn)練2下列說法中不正確的是________．(填序號)①若集合A＝?，則??A；②若集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,1}，則A＝B；③已知集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A?B，則a>2.答案③解析?是任何集合的子集，故①正確；∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{－1,1}，∴A＝B，故②正確；若A?B，則a≥2，故③錯誤．類型三集合的交、并、補運算命題角度1用符號語言表示的集合運算例3設(shè)全集為R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，求?R(A∪B)及(?RA)∩B.解把全集R和集合A、B在數(shù)軸上表示如下：由圖知，A∪B＝{x|2<x<10}，∴?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，∵?RA＝{x|x<3或x≥7}．∴(?RA)∩B＝{x|2<x<3或7≤x<10}．反思與感悟求解用不等式表示的數(shù)集間的集合運算時，一般要借助于數(shù)軸求解，此法的特點是簡單直觀，同時要注意各個端點的畫法及取到與否．跟蹤訓(xùn)練3已知集合U＝{x|0≤x≤6，x∈Z}，A＝{1,3,6}，B＝{1,4,5}，則A∩(?UB)＝________.答案{3,6}解析∵U＝{0,1,2,3,4,5,6}，B＝{1,4,5}，∴?UB＝{0,2,3,6}，又∵A＝{1,3,6}，∴A∩(?UB)＝{3,6}．命題角度2用圖形語言表示的集合運算例4設(shè)全集U＝R，A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x<1}，則圖中陰影部分表示的集合為________．答案{x|1≤x<2}解析圖中陰影部分表示的集合為A∩(?UB)，因為?UB＝{x|x≥1}，畫出數(shù)軸，如圖所示，所以A∩(?UB)＝{x|1≤x＜2}．反思與感悟解決這一類問題一般用數(shù)形結(jié)合思想，借助于Venn圖和數(shù)軸，把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來．跟蹤訓(xùn)練4學(xué)校舉辦了排球賽，某班45名同學(xué)中有12名同學(xué)參賽，后來又舉辦了田徑賽，這個班有20名同學(xué)參賽，已知兩項都參賽的有6名同學(xué)，兩項比賽中，這個班共有多少名同學(xué)沒有參加過比賽？解設(shè)A＝{x|x為參加排球賽的同學(xué)}，B＝{x|x為參加田徑賽的同學(xué)}，則A∩B＝{x|x為參加兩項比賽的同學(xué)}．畫出Venn圖(如圖)，則沒有參加過比賽的同學(xué)有45－(12＋20－6)＝19(名)．答這個班共有19名同學(xué)沒有參加過比賽．類型四關(guān)于集合的新定義題例5設(shè)A為非空實數(shù)集，若對任意的x，y∈A，都有x＋y∈A，x－y∈A，且xy∈A，則稱A為封閉集．①集合A＝{－2，－1,0,1,2}為封閉集；②集合A＝{n|n＝2k，k∈Z}為封閉集；③若集合A1，A2為封閉集，則A1∪A2為封閉集；④若A為封閉集，則一定有0∈A.其中正確結(jié)論的序號是________．答案②④解析①集合A＝{－2，－1,0,1,2}中，－2－2＝－4不在集合A中，所以不是封閉集；②設(shè)x，y∈A，則x＝2k1，y＝2k2，k1，k2∈Z，故x＋y＝2(k1＋k2)∈A，x－y＝2(k1－k2)∈A，xy＝4k1k2∈A，故②正確；③反例是：集合A1＝{x|x＝2k，k∈Z}，A2＝{x|x＝3k，k∈Z}為封閉集，但A1∪A2不是封閉集，故③不正確；④若A為封閉集，則取x＝y(tǒng)，得x－y＝0∈A.故填②④.反思與感悟新定義題是近幾年高考中集合題的熱點題型，解答這類問題的關(guān)鍵在于閱讀理解，也就是要在準(zhǔn)確把握新信息的基礎(chǔ)上，利用已有的知識來解決問題．跟蹤訓(xùn)練5設(shè)數(shù)集M＝{x|m≤x≤m＋eq\f(3,4)}，N＝{x|n－eq\f(1,3)≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果b－a叫做集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“長度”，那么集合M∩N的“長度”的最小值是________．答案eq\f(1,12)解析方法一由已知可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥0，,m＋\f(3,4)≤1，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－\f(1,3)≥0，,n≤1，))解得0≤m≤eq\f(1,4)，eq\f(1,3)≤n≤1.取字母m的最小值0，字母n的最大值1，可得M＝{x|0≤x≤eq\f(3,4)}，N＝{x|eq\f(2,3)≤x≤1}，所以M∩N＝{x|0≤x≤eq\f(3,4)}∩{x|eq\f(2,3)≤x≤1}＝{x|eq\f(2,3)≤x≤eq\f(3,4)}，此時得集合M∩N的“長度”為eq\f(3,4)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,12).方法二集合M的“長度”為eq\f(3,4)，集合N的“長度”為eq\f(1,3).由于M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，而{x|0≤x≤1}的“長度”為1，由此可得集合M∩N的“長度”的最小值是(eq\f(3,4)＋eq\f(1,3))－1＝eq\f(1,12).1．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，則P的子集共有________個．答案42．下列關(guān)系中正確的是________．(填序號)①eq\f(\r(2),2)∈R；②0∈N*；③{－5}?Z.答案①③3．已知集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，則A∪B＝________.答案(－1,3)解析由A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜3}，得A∪B＝{x|－1＜x＜3}．4．設(shè)全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，b，c}，N＝{b，d，e}，那么(?IM)∩(?IN)等于________．答案?5．設(shè)U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，則實數(shù)m＝________.答案－3解析∵?UA＝{1,2}，∴A＝{0,3}，∴0,3是方程x2＋mx＝0的兩個根，∴m＝－3.1．要注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系，二是集合與集合的包含關(guān)系．2．在利用集合中元素相等列方程求未知數(shù)的值時，要注意利用集合中元素的互異性這一性質(zhì)進行檢驗，忽視集合中元素的性質(zhì)是導(dǎo)致錯誤的常見原因之一．課時作業(yè)一、填空題1．若集合M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}，N＝{x|(x－4)·(x－1)＝0}，則M∩N＝________.答案?解析因為M＝{x|(x＋4)(x＋1)＝0}＝{－4，－1}，N＝{x|(x－4)(x－1)＝0}＝{1,4}，所以M∩N＝?.2．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝________.答案(0,1)解析∵A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，∴A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴?U(A∪B)＝{x|0<x<1}．3．設(shè)集合A＝{1，－1，eq\r(a)}，B＝{1，a}，A∩B＝B，則a＝______.答案0解析∵A∩B＝B，即B?A，∴a∈A.要使eq\r(a)有意義，a≥0.∴a＝eq\r(a)，∴a＝0或a＝1，由元素互異，舍去a＝1.∴a＝0.4．已知集合A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(?UA)∩B＝{5}，則集合B＝________.答案{1,3,5}解析畫出滿足題意的Venn圖，由圖可知B＝{1,3,5}．5．設(shè)全集U＝R，若集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|2≤x≤3}，則A∪(?UB)＝________.答案{1,4}解析∵?UB＝{x|x<2，或x>3}，∴A∩(?UB)＝{1,4}．6．設(shè)集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，若M∩N＝N，則a的值是________．答案－1解析由M∩N＝N，得N?M.當(dāng)a＝0時，與集合中元素的互異性矛盾；當(dāng)a＝1時，也與集合中元素的互異性矛盾；當(dāng)a＝－1時，N＝{－1,1}，符合題意．7．已知集合A＝{x|x＜3，或x≥7}，B＝{x|x＜a}．若(?UA)∩B≠?，則a的取值范圍為________．答案(3，＋∞)解析因為A＝{x|x＜3，或x≥7}，所以?UA＝{x|3≤x＜7}，又(?UA)∩B≠?，則a＞3.8．已知集合A＝{(x，y)||x－a|＋|y－1|≤1}，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，若A∩B≠?，則實數(shù)a的取值范圍為________．答案[－1,3]解析作出|x|＋|y|≤1的圖象，利用平移，知集合A是中心為M(a,1)，邊長為eq\r(2)的正方形內(nèi)部(包括邊界)，又集合B是圓心為N(1,1)，半徑為1的圓的內(nèi)部(包括邊界)，易知MN的長度小于等于1＋1時，A∩B≠?，即eq\r(a－12)≤2，所以－1≤a≤3，故實數(shù)a的取值范圍為[－1,3]．9．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________.答案{(3，－1)}解析M、N中的元素是平面上的點，M∩N是集合，并且其中元素也是點，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝4，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))所以M∩N＝{(3，－1)}．10．已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，則a的取值范圍是________________．答案{a|－eq\f(1,2)≤a≤2或a>3}解析①若A＝?，則A∩B＝?，此時2a>a＋3，即a>3.②若A≠?，如圖，由A∩B＝?可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a≥－1，,a＋3≤5，,2a≤a＋3，))解得－eq\f(1,2)≤a≤2.綜上所述，a的取值范圍是{a|－eq\f(1,2)≤a≤2或a>3}．二、解答題11．如圖，用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎娟幱安糠值狞c(含邊界上的點)組成的集合M.解結(jié)合圖形可得M＝{(x，y)|xy≥0，－2≤x≤eq\f(5,2)，－1≤y≤eq\f(3,2)}．12．已知集合A＝{x|3≤x<6}，B＝{x|2<x<9}．(1)求A∩B，(?RB)∪A；(2)已知C＝{x|a<x<a＋1}，若C?B，求實數(shù)a的取值集合．解(1)顯然A∩B＝{x|3≤x<6}．又B＝{x|2<x<9}，∴?RB＝{x|x≤2或x≥9}，∴(?RB)∪A＝{x|x≤2或3≤x<6或x≥9}．(2)∵C?B，如圖所示，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥2，,a＋1≤9，))解得2≤a≤8，∴a的取值集合為{a|2≤a≤8}．13．設(shè)集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B?A，求實數(shù)a的取值范圍．解因為A＝{0，－4}，所以B?A分以下三種情況：①當(dāng)B＝A時，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個根，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4a＋12－4a2－1>0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))解得a＝1；②當(dāng)B≠?且B?A時，B＝{0}或B＝{－4}，并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此時B＝{0}滿足題意；③當(dāng)B＝?時，Δ＝4(a＋1)2－4(a