綜合檢測（提升卷）（解析版）

試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁選擇性必修第一冊期末綜合檢測能力提升B版解析版學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設(shè)，，分別是中，，所對邊的邊長，則直線與位置關(guān)系是（）A．平行 B．重合 C．垂直 D．平行或重合【答案】D【分析】將直線方程化為斜截式，根據(jù)斜率和截距判斷兩直線的位置關(guān)系.【詳解】由于，所以兩條直線斜率存在.兩條直線方程可化為，由正弦定理得.當(dāng)三角形為等邊三角形時，，此時兩直線平行.當(dāng)時，，此時兩直線重合.故選：D【點睛】本小題主要考查兩條直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2．設(shè)A（–1，2），B（3，1），若直線y=kx與線段AB沒有公共點，則k的取值范圍是()A．（–∞，–2）∪（，+∞） B．（–∞，–）∪（2，+∞）C．（–2，） D．（–，2）【答案】C【解析】試題分析：解析幾何用數(shù)形結(jié)合方法是快速解題最直接的方法如圖若直線與線段AB沒有公共點則直線OA逆時針旋轉(zhuǎn)(斜率增大)到OB都是滿足條件的直線又,故選C考點：直線方程的斜率3．若圓關(guān)于直線對稱,則由點向圓所作的切線長的最小值是()A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可知直線經(jīng)過圓的圓心,推出的關(guān)系,利用與圓心的距離,半徑,求出切線長的表達式,即可求得最小值.【詳解】圓化簡為:圓的圓心坐標(biāo):,半徑為圓關(guān)于直線對稱在直線上可得,即點與圓心的距離為:點向圓所作切線長為:當(dāng)且僅當(dāng)時弦長最小,最小值為.故選:A.【點睛】本題考查了求圓的切線長,解題關(guān)鍵是掌握圓的定義和圓切線的長的求法,可畫出草圖,結(jié)合圖像尋找?guī)缀侮P(guān)系,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.4．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點）、重心（三邊中線的交點）、垂心（三邊高的交點）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為（）．注：重心坐標(biāo)公式為橫坐標(biāo)：；縱坐標(biāo)：A． B．C． D．【答案】D【分析】由重心坐標(biāo)公式得重心的坐標(biāo)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)設(shè)出外心的坐標(biāo)為，再由求出，然后求出歐拉線的斜率，點斜式就可求得其方程.【詳解】設(shè)的重點為，外心為，則由重心坐標(biāo)公式得，并設(shè)的坐標(biāo)為，解得，即歐拉方程為：，即：故選：D【點睛】本題考查直線方程，兩點之間的距離公式，三角形的重心、垂心、外心的性質(zhì)，考查了理解辨析能力及運算能力.5．如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點，則的不同值的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量運算法則可知，由線面垂直性質(zhì)可知，從而得到，進而得到結(jié)果.【詳解】平面則的不同值的個數(shù)為個故選：【點睛】本題考查向量數(shù)量積的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用平面向量線性運算將所求向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為已知模長的向量和有垂直關(guān)系向量的數(shù)量積的運算問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.6．已知，是橢圓：的左、右焦點，離心率為，點的坐標(biāo)為，則的平分線所在直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題得：，結(jié)合得出橢圓方程，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，過點作角平分線的對稱點,由中點坐標(biāo)公式求出的中點，即可求得的平分線所在直線的斜率.【詳解】由題可知：，，已知，則，得出，所以橢圓方程為：.焦點,而，即：軸.,又因為:得,設(shè)：的角平分線所在直線為，則點關(guān)于的對稱的點為,所以：在的延長線上，但，則所以：設(shè)的中點為，有，得出所在直線的斜率，即的平分線所在直線的斜率為2.故選：A.【點睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用了橢圓的幾何性質(zhì)、離心率和角平分線的性質(zhì)，以及中點坐標(biāo)公式和斜率公式相結(jié)合.7．已知點在直線上移動，當(dāng)取得最小值時，過點引圓的切線，則此切線段的長度為()A． B． C． D．【答案】A【解析】試題分析：要求解且線段的長度，只要知道圓心到點P的距離和圓的半徑，結(jié)合勾股定理可知．由于利用基本不等式及x+2y=3得到2x+4y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)2x=4y=2，即x=，y=，所以P（），根據(jù)兩點間的距離公式求出P到圓心的距離=且圓的半徑的平方為，然后根據(jù)勾股定理得到此切線段的長度，故選A.考點：考查學(xué)生會利用基本不等式求函數(shù)的最值，會利用兩點間的距離公式求線段長度，會利用勾股定理求直角的三角形的邊長．此題是一道綜合題，要求學(xué)生掌握知識要全面．點評：要求切線段的長度，利用直角三角形中半徑已知，P與圓心的距離未知，所以根據(jù)基本不等式求出P點的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩點間的距離公式求出即可.8．已知點為雙曲線右支上一點，分別為雙曲線的左右焦點，點為的內(nèi)心（三角形內(nèi)切圓的圓心），若恒有成立，則雙曲線的離心率取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)圓與的三邊、、分別相切于點，連接、、，則，它們分別是的高，其中是的內(nèi)切圓的半徑，因為所以，兩邊約去得，根據(jù)雙曲線定義，得，離心率為，雙曲線的離心率取值范圍為，故選A.二、多選題9．以下四個命題表述正確的是（）A．直線恒過定點B．已知圓，點P為直線上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA、PB，A、B為切點，則直線AB經(jīng)過定點C．曲線與曲線恰有三條公切線，則D．圓上存在4個點到直線的距離都等于1【答案】BC【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識對各選項逐個判斷即可解出．直線恒過定點，判斷錯誤；求出直線方程，判斷直線經(jīng)過定點，正確；根據(jù)兩圓外切，三條公切線，可得正確；根據(jù)圓心到直線的距離等于1，判斷錯誤.【詳解】對于，直線方程可化為，令，則，，，所以直線恒過定點，錯誤；對于，設(shè)點的坐標(biāo)為，所以，，以為直徑的圓的方程為，兩圓的方程作差得直線的方程為：，消去得，，令，，解得，，故直線經(jīng)過定點，正確；對于，根據(jù)兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式得，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式得，所以，圓心距為5，因為有三條公切線，所以兩圓外切，即，解得，正確；對于，因為圓心到直線的距離等于1，所以直線與圓相交，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個點到直線的距離等于1，錯誤；故選：．【點睛】本題主要考查直線系過定點的求法，以及直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．10．已知點是雙曲線的右支上一點，雙曲線的左、右焦點，的面積為20，則下列說法正確的有()A．點的橫坐標(biāo)為 B．的周長為C．小于 D．的內(nèi)切圓半徑為【答案】ABCD【分析】在焦點三角形中利用三種表達形式，可判定ACD選項正確，由兩點間的距離公式表示，利用雙曲線的定義表示，從而表示的周長，即可判定B選項正確.【詳解】因為雙曲線，所以又因為，所以將其代入得，即，所以選項A正確；所以P的坐標(biāo)為，由對稱性可知,由雙曲線定義可知所以，所以選項B正確；因為，所以，即，所以，所以選項C正確；因為，所以，所以選項D正確.故選：ABCD【點睛】本題考查雙曲線的焦點三角形問題，主要涉及面積公式的變形應(yīng)用和雙曲線的定義使用，屬于難題.11．已知正四棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱，為上底面上的動點，給出下列四個結(jié)論中正確結(jié)論為（）A．若，則滿足條件的點有且只有一個B．若，則點的軌跡是一段圓弧C．若∥平面，則長的最小值為2D．若∥平面，且，則平面截正四棱柱的外接球所得平面圖形的面積為【答案】ABD【分析】若，由于與重合時，此時點唯一；，則，即點的軌跡是一段圓??；當(dāng)為中點時，DP有最小值為，可判斷C；平面截正四棱柱的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為，可得D.【詳解】如圖：∵正四棱柱的底面邊長為2，∴，又側(cè)棱，∴，則與重合時，此時點唯一，故A正確；∵，，則，即點的軌跡是一段圓弧，故B正確；連接，，可得平面平面，則當(dāng)為中點時，DP有最小值為，故C錯誤；由C知，平面即為平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面圖形為外接球的大圓，其半徑為，面積為，故D正確．故選：ABD．【點睛】本題考查了立體幾何綜合，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.12．如圖，正方體的棱長為a，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，以下結(jié)論正確的有（）A．B．點A到所在平面的距離為定值C．三棱錐的體積是正方體體積的D．異面直線AE，BF所成的角為定值【答案】AB【分析】由線面垂直推出異面直線垂直可判斷A；由點到平面的距離可判斷B；運用三棱錐的體積公式可判斷C；根據(jù)異面直線所成角的定義判斷D.【詳解】如圖：對于A，根據(jù)題意，，，平面，所以，故A正確；對于B，A到平面的距離是定值，所以點A到的距離為定值，故B正確；對于C，三棱錐的體積為，三棱錐的體積是正方體體積的，故C錯誤；對于D，當(dāng)點E在處，F(xiàn)為的中點時，異面直線AE，BF所成的角是，當(dāng)在的中點時，F(xiàn)在的位置，異面直線AE，BF所成的角是，顯然兩個角不相等，命題D錯誤；故選：AB【點睛】本題考查命題真假的判斷，以正方體為載體，考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了面積與體積的計算問題，考查運算求解能力，是中檔題.三、填空題13．一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為________.【答案】或【分析】由題意可知點在反射光線上，設(shè)反射光線所在的直線方程為，利用直線與圓的相切的性質(zhì)即可得出.【詳解】由題意可知點在反射光線上，設(shè)反射光線所在的直線方程為，即.圓的圓心，半徑為1，由直線與圓相切的性質(zhì)可得，解得或.故答案為：或14．已知，動直線過定點，動直線過定點，若與交于點（異于點），則面積最大值是________.【答案】【分析】根據(jù)題意，將直線、的方程變形，分析可得、的坐標(biāo)，又由直線的方程分析可得動直線與動直線互相垂直，據(jù)此可得在以為直徑的圓上，結(jié)合、的坐標(biāo)可得的軌跡方程，由直線與圓的位置關(guān)系分析可得當(dāng)時，的面積取得最大值，計算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，對于直線，其恒過定點，則；

對于直線，變形可得，恒過定點，則，

動直線，動直線，有，

則動直線與動直線互相垂直，

又由直線與交于點，則在以為直徑的圓上，

又由，，，當(dāng)為等腰直角三角形時，面積取得最大值，則有時，的面積取得最大值，

此時的面積的最大值.

故答案為：.【點睛】本題軌跡方程的計算，涉及恒過定點的直線，關(guān)鍵是找到點的軌跡，屬于中檔題.15．《九章算術(shù)》第五卷中涉及到一種幾何體——羨除，它下廣六尺，上廣一丈.深三尺，末廣八尺，袤七尺.該羨除是一個多面體ABCDFE，如圖，四邊形ABCD，ABEF均為等腰梯形，，平面平面ABEF，梯形ABCD，梯形ABEF的高分別為3，7，且，，，則________.【答案】14【分析】過分別作，的高，垂足分別為，，可證明，，兩兩垂直，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，，的坐標(biāo)，從而求出的值即可．【詳解】如圖示：過分別作，的高，垂足分別為，，平面平面，，平面平面，故平面，故，，又，故，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，，，分別為，，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則由題意可知：，0，，，0，，，7，，，0，，故，7，，，0，，故，故答案為：1416．如圖，拋物線的焦點為，準(zhǔn)線與軸交于點，過點且斜率為的直線與拋物線交于第一象限內(nèi)的，兩點，若，則______.【答案】【分析】過點作，垂足為點，拋物線的定義知，在中，利用題干條件和三角函數(shù)可得，，同理可得，由即可得出答案.【詳解】如圖所示，過點作，垂足為點.由拋物線的定義知，在中，∵，∴，∴.過點作軸，垂足為點，則，同理得，∴.故答案為：【點睛】本題考查了拋物線的定義、直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)、直線的斜率等基礎(chǔ)知識與基本技能方法的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.四、解答題17．如圖，四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，為棱的中點.（1）證明；（2）求二面角的余弦值；（3）設(shè)點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）見證明；（2）；（3）【分析】（Ⅰ）以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點的坐標(biāo)，寫出向量，，計算兩向量的數(shù)量積即可證明垂直（Ⅱ）利用向量的坐標(biāo)，分別求出平面的法向量，平面的法向量，即可計算二面角的余弦值（III）設(shè)，寫出，求平面的一個法向量，利用線面角公式寫出直線與平面所成角的正弦值且為，可解出，即可求解線段的長.【詳解】（I）以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，依題意得，，，，，.則，，而.所以.（II），，設(shè)平面的法向量為，則，即，取.設(shè)平面的法向量為，則，即，取.，所以二面角的余弦值為.（III），，設(shè)，有.取為平面的一個法向量，設(shè)為直線與平面所成的角，則.于是，解得.所以.所以線段的長為.【點睛】本題主要考查了利用空間向量來證明立體幾何中的垂直關(guān)系，求二面角、線面角，考查了學(xué)生的推理計算能力，屬于中檔題.18．等邊的邊長為，點，分別是，上的點，且滿足(如圖(1))，將沿折起到的位置，使二面角成直二面角，連接，(如圖(2)).(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點，使直線與平面所成的角為?若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在點，.【分析】（1）通過證明，即可證明平面；（2）以為坐標(biāo)原點，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后并求出平面的一個法向量及的坐標(biāo)，最后根據(jù)即可求出的值及的長度.【詳解】(1)證明題圖(1)中，由已知可得：，，.從而.故得，所以，.所以題圖(2)中，，，所以為二面角的平面角，又二面角為直二面角，所以，即，因為且、平面，所以平面.(2)解存在.由(1)知，平面.以為坐標(biāo)原點，以射線、、分別為軸、軸、軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，過作交于點，設(shè)，則，，，易知，，，所以.因為平面，所以平面的一個法向量為.因為直線與平面所成的角為，所以，解得.所以，滿足，符合題意.所以在線段上存在點，使直線與平面所成的角為，此時.【點睛】本題主要考查線面垂直的證明及通過建立空間直角坐標(biāo)系并表示出平面的法向量及直線的方向向量的坐標(biāo)，解決已知直線和平面所成的角求參數(shù)的值問題，屬中等難度題.19．對于半徑為的及一個正方形給出如下定義：若上存在到此正方形四條邊距離都相等的點，則稱是該正方形的“等距圓”。如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點的坐標(biāo)為（2，4），頂點、在軸上，且點在點的左側(cè).（1）當(dāng)時，已知兩點，，則可以成為正方形的“等距圓”的圓心的是________；（2）如圖2，在正方形所在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點的坐標(biāo)為（6，2），頂點，在軸上，且點在點的上方.若同時為上述兩個正方形的“等距圓”，且與所在直線相切，求圓心的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，將正方形繞著點旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，線段上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心，寫出的取值范圍.（不必說明理由）【答案】（1）；（2）或；（3）或.【分析】（1）連接和，交于點，設(shè)的圓心坐標(biāo)是，列出圓心到的關(guān)系式，把，代入，看是否成立即可得出結(jié)果；（2）先求出為等腰直角三角形，得到，進而得出為等腰直角三角形，設(shè)據(jù)關(guān)系列出方程，即可求出圓心的坐標(biāo)；（3）連接，作于點，以為圓心，為半徑作圓，交于點，交的延長線于，作圖，可知當(dāng)時和當(dāng)時，線段上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．【詳解】解：（1）連接和，交于點，如圖1所示：四邊形是正方形，到正方形四條邊距離都相等，一定通過點，設(shè)的圓心坐標(biāo)是，時，，即：，把，代入，成立，可以成為正方形的“等距圓”的圓心的是，故答案為：；（2）如圖2所示：同時為正方形與正方形的“等距圓”，同時過正方形的對稱中心和正方形的對稱中心，點在線段的垂直平分線上，，正方形的邊在軸上；，正方形的邊在軸上，，，，設(shè)線段的垂直平分線與軸交于點，與軸交于點，則為等腰直角三角形，軸，，，為等腰直角三角形，，，設(shè)直線的解析式為：，則，解得：，，在直線上，設(shè)，過作直線于，連結(jié)，與所在直線相切，，，解得：，，所以圓心的坐標(biāo)為：，或，；（3）連接，作于點，以為圓心，為半徑作圓，交于點，交的延長線于，如圖3所示：當(dāng)時，線段上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心，所在的直線為，所在的直線為，，，，，，所以當(dāng)時，線段上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心；當(dāng)時，線段上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心，，，，所以當(dāng)時，線段上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心；綜上得當(dāng)或時，線段上沒有一個點能成為它的“等距圓”的圓心．【點睛】本題考查的是直線與圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)題目給出的條件，作出合適的輔助線，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．20．在平面直角坐標(biāo)系中，點為直線上在第一象限內(nèi)的點，，以為直徑的圓與直線交于另一點，且，（1）求圓的方程；（2）設(shè)是圓上兩點，且滿足，試問：是否存在一個定圓，使直線恒與圓相切.【答案】(1);(2)答案見解析.【分析】(1)設(shè)，，由題意可知，結(jié)合已知條件，從而可得關(guān)于的方程組，求出解后，即可求出圓心坐標(biāo)和半徑長度，進而可求出圓的方程.(2)直線的方程為，，由可得，聯(lián)立直線和圓的方程，結(jié)合韋達定理可得，從而可說明原點到直線的距離為定值，即可得到問題的答案.【詳解】(1)解：因為點為直線上在第一象限內(nèi)的點，所以設(shè)，，所以，，，因為為直徑，在圓上，所以，即，又，可得即，解得或(舍去)，則圓的圓心，，所以圓的半徑，所以圓的方程為.(2)解：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，中有一點與原點重合，此時不成立，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與圓的方程得，整理得，所以，，又，則，因為，所以，即，所以原點到直線的距離，所以存在與直線相切.【點睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查了圓的方程的求解.本題的難點在于第二問的整理計算.21．已知直線過橢圓的右焦點F，拋物線的焦點為橢圓C的上頂點，且l交橢圓C于A、B兩點，點A、F、B在直線上的射影依次為D、K、E．（1）求橢圓C的方程；（2）當(dāng)m變化時，直線AE與BD是否相交于定點？若是，請求出定點的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說明理由．【答案】（1）；（2）是，．【分析】（1）由題設(shè)條件求出橢圓的右焦點F與上項點坐標(biāo)，即可得出b、c的值，再求出的值即可求得橢圓C的方程；（2）設(shè)，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達定理得出與，再根據(jù)，及，從而可表示出，化簡即可得證；