組合教案 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第4章計(jì)數(shù)原理4.3組合教案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解組合、組合數(shù)的概念及組合和排列之間的區(qū)別與聯(lián)系.2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)組合數(shù)公式，并熟練掌握組合數(shù)公式及組合數(shù)的性質(zhì)，能運(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明.3.能運(yùn)用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式和計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：組合、組合數(shù)的概念及應(yīng)用.2.教學(xué)難點(diǎn)：組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程情境引入教師提問(wèn)：考察下面兩個(gè)問(wèn)題，并思考這兩個(gè)問(wèn)題與上節(jié)的問(wèn)題1、2有什么聯(lián)系與區(qū)別？教師提出問(wèn)題1：平面上有5個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D，E，以其中兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段共有多少條？學(xué)生思考回答：如圖，以A為端點(diǎn)，到其余四點(diǎn)的線(xiàn)段有4條：AB，AC，AD，AE.A不是端點(diǎn)，以B為端點(diǎn)之一，到其余三點(diǎn)的線(xiàn)段有3條：BC，BD，BE；A，B都不是端點(diǎn)，以C為端點(diǎn)之一，到其余兩點(diǎn)的線(xiàn)段有2條：CD，CE；A，B，C都不是端點(diǎn)，以剩下兩點(diǎn)D，E為端點(diǎn)的線(xiàn)段只有1條：DE.共有（條）不同的線(xiàn)段.教師提出問(wèn)題2：從a，b，c，d這4個(gè)字母中，取出3個(gè)組成一組，共有多少種不同的取法？學(xué)生思考回答：從a，b，c，d這4個(gè)字母中，取出3個(gè)組成一組，所有取法為abc，abd，acd，bcd.共有4種不同的取法.教師總結(jié)：上述問(wèn)題1、2與上節(jié)的排列問(wèn)題比較而言，相同點(diǎn)都是從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素；不同點(diǎn)是本節(jié)的兩個(gè)問(wèn)題與所選的元素的順序無(wú)關(guān)，而排列問(wèn)題與順序有關(guān).新知積累1.組合一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同的元素，不論次序地構(gòu)成一組，叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.根據(jù)組合的定義，兩個(gè)組合相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)組合的元素完全相同.2.組合數(shù)從n個(gè)不同元素中取出個(gè)不同的元素，所有不同組合的個(gè)數(shù)叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.思考：從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的組合數(shù)怎么計(jì)算呢？3.組合數(shù)公式一般地，求從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的排列數(shù)，可以分兩步完成：第一步（選元素），先從這n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，不考慮次序構(gòu)成一個(gè)組合，共有個(gè)組合；第二步（排位置），將每一個(gè)組合中的m個(gè)元素進(jìn)行全排列，全排列數(shù)是.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得到.由此得到組合數(shù)的計(jì)算公式：，其中，并且，這個(gè)公式叫作組合數(shù)公式.因?yàn)?，所以，上面的組合數(shù)公式還可以寫(xiě)成.特別地，.一般地，從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的組合數(shù)與從n個(gè)不同元素中取個(gè)元素的組合數(shù)相等，即.因?yàn)?，，所以成?例題鞏固例1計(jì)算和.解，.例2為助力建設(shè)宜居宜業(yè)和美鄉(xiāng)村，星辰中學(xué)從“十佳志愿者”的10人中任選5人代表學(xué)校參加“為美麗鄉(xiāng)村增光添彩”的志愿服務(wù)活動(dòng).問(wèn)：（1）共有多少種不同的選法？（2）如果還要從選出的5人中再選定一人為組長(zhǎng)，那么共有多少種不同的選法？解（1）由于從10人中任選5人，與順序無(wú)關(guān)，所以共有種選法.（2）（方法一）從這10人中任選5人，并確定其中一人為組長(zhǎng)，可以分為如下兩步完成：第一步，先從10人中任選5人，共有種方法；第二步，從選出的5人中再確定1人為組長(zhǎng)，共有種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的選法.（方法二）從這10人中任選5人，并確定其中一人為組長(zhǎng)，可以分為如下兩步完成：第一步，先從10人中選定1人為組長(zhǎng)，共有種方法；第二步，從余下的9人中再選4人，共有種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的選法.例3從4臺(tái)標(biāo)清彩電和5臺(tái)高清彩電中選購(gòu)3臺(tái)，要求至少有標(biāo)清彩電與高清彩電各1臺(tái)，共有多少種不同的選法？解選法可分為兩類(lèi)：第一類(lèi)，從4臺(tái)標(biāo)清彩電中選1臺(tái)，從5臺(tái)高清彩電中選2臺(tái)，共有種不同的選法；第二類(lèi)，從4臺(tái)標(biāo)清彩電中選2臺(tái)，從5臺(tái)高清彩電中選1臺(tái)，共有種不同的選法.根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的選法.例46本不同的書(shū)，按下列要求各有多少種不同的分法：（1）分給甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分為三份，每份2本.解（1）將6本不同的書(shū)分給甲、乙、丙三人，每人2本，可以分為三步完成：第一步，先從6本書(shū)中選2本給甲，有種選法；第二步，從其余的4本書(shū)中選2本給乙，有種選法；第三步，最后剩余的2本書(shū)給丙，有種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有種不同的分法.分給甲、乙、丙三人，每人2本，這件事情可以分兩步完成：第一步，將6本書(shū)分為三份，每份2本，設(shè)有x種方法；第二步，將這三份分給甲、乙、丙三人，有種方法.根據(jù)（1）的結(jié)論和分步乘法計(jì)數(shù)原理得到，所以.因此分為三份，每份2本，一共有15種方法.課堂練習(xí)1.若，則正整數(shù)()A.4 B.5 C.6 D.7答案：C解析：，，解得（舍去）或.故選C.2.假期里，有4名同學(xué)去社區(qū)做文明實(shí)踐活動(dòng).根據(jù)需要，要安排這4名同學(xué)去甲、乙2個(gè)文明實(shí)踐站，每個(gè)實(shí)踐站至少去1名同學(xué)，則不同的安排方法共有()A.20種 B.14種 C.12種 D.10種答案：B解析：先將4名同學(xué)分為兩組，則兩組人數(shù)可能為1，3或2，2.當(dāng)兩組人數(shù)為1，3時(shí)，有（種）方法，當(dāng)兩組人數(shù)為2，2時(shí)，有（種）方法，所以將這4名同學(xué)分為兩組，共有（種）方法，再將這兩組同學(xué)分配到2個(gè)文明實(shí)踐站，有（種）方法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，得共有（種）不同的安排方法.故選B.3.某車(chē)間有11名工人，其中5名是鉗工，4名是車(chē)工，另外2名既能當(dāng)車(chē)工又能當(dāng)鉗工.現(xiàn)要在這11名工人里選派4名鉗工和4名車(chē)工修理一臺(tái)機(jī)床，則不同的選派方法有__________種.答案：185解析：設(shè)既能當(dāng)車(chē)工又能當(dāng)鉗工的2名工人為A，B.A，B都不在內(nèi)的選派方法有（種）；A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有（種）；A，B都在內(nèi)且當(dāng)車(chē)工的選派方法有（種）；A，B都在內(nèi)，且一人當(dāng)鉗工，另一人當(dāng)車(chē)工的選派方法有（種）；A