廣東省湛江市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué) 含解析

湛江市2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末高中調(diào)研測(cè)試高一數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘）2024年1月注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上，并將考號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．閱讀答題卡上面的注意事項(xiàng)，所有題目答案均答在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．作答選擇題時(shí)，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.非選擇題如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“，有”的否定為（）A.，使 B.，使C，有 D.，有2.若集合，，則圖中陰影部分表示的集合中的元素個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.63.的值為（）A0 B. C. D.4.已知函數(shù)（，）的圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.5.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.6.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在軍事上還有密位制（gradientsystem）．密位制的單位是密位，1密位等于周角的.密位的記法很特別，高位與低兩位之間用一條短線隔開，例如1密位寫成0-01，1000密位寫成10–00．若一扇形的弧長(zhǎng)為，圓心角為40-00密位，則該扇形的半徑為（）A4 B.3 C.2 D.17.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.8.在R上定義新運(yùn)算，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則m的最小值為（）A. B. C.0 D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知集合，，則（）A. B. C. D.10.已知，則（）A. B.C. D.11.下列函數(shù)在上單調(diào)遞增的為（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)，滿足，，且在上單調(diào)，則的取值可能為（）A.1 B.3 C.5 D.7三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域?yàn)開_____________．14.已知，滿足，則______________．15.德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在證明“二次互反律”的過程中首次定義了取整函數(shù)，其中表示“不超過x的最大整數(shù)”，如，，，則________．16.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則取值范圍是______________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）若的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的值；（2）若，且，求的值．18.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)．（1）求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19.已知集合，，定義兩個(gè)集合P，Q的差運(yùn)算：．（1）當(dāng)時(shí)，求與；（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．20.隨著時(shí)代的發(fā)展以及社會(huì)就業(yè)壓力的增大，大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)的人數(shù)逐年增加.大學(xué)生小明和幾個(gè)志同道合的同學(xué)一起創(chuàng)辦了一個(gè)飼料加工廠.已知該工廠每年的固定成本為10萬元，此外每生產(chǎn)1斤飼料的成本為1元，記該工廠每年可以生產(chǎn)x萬斤司料.當(dāng)時(shí)，年收入為萬元；當(dāng)時(shí)，年收入為92萬元.記該工廠的年利潤(rùn)為萬元（年利潤(rùn)=年收入-固定成本-生產(chǎn)成本）.（1）寫出年利潤(rùn)與生產(chǎn)飼料數(shù)量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求年利潤(rùn)的最大值.21.已知函數(shù)．（1）求的最小值及相應(yīng)x的取值；（2）若把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間．22已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在上的最值；（2）設(shè)函數(shù)，若存在最小值，求實(shí)數(shù)a的值．湛江市2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末高中調(diào)研測(cè)試高一數(shù)學(xué)試卷（滿分：150分，考試時(shí)間：120分鐘）2024年1月注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上，并將考號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．閱讀答題卡上面的注意事項(xiàng)，所有題目答案均答在答題卡上，寫在本試卷上無效.3．作答選擇題時(shí)，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.非選擇題如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.命題“，有”的否定為（）A.，使 B.，使C.，有 D.，有【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題否定特稱命題即可.【詳解】根據(jù)將全稱命題否定為特稱命題即可.可得“，有”的否定為“，使”，故選：A．2.若集合，，則圖中陰影部分表示的集合中的元素個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】利用集合運(yùn)算求解陰影部分即可.【詳解】易知，故圖中陰影部分表示的集合為，共4個(gè)元素，故選：B．3.的值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值求出答案.【詳解】.故選：D．4.已知函數(shù)（，）的圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，利用，得到，結(jié)合題意，即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象知，，則，因?yàn)?，且處在函?shù)的遞減區(qū)間，所以，又因?yàn)?，所?故選：D．5.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.【詳解】由于均為定義域（0,+∞）內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，且，，故，所以該函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C．6.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在軍事上還有密位制（gradientsystem）．密位制的單位是密位，1密位等于周角的.密位的記法很特別，高位與低兩位之間用一條短線隔開，例如1密位寫成0-01，1000密位寫成10–00．若一扇形的弧長(zhǎng)為，圓心角為40-00密位，則該扇形的半徑為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可得40-00密位的圓心角的弧度為，進(jìn)而根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】40-00密位的圓心角的弧度為，設(shè)該扇形的半徑為r，由，解得，故選：B．7.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由特值法，函數(shù)的對(duì)稱性對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；又因?yàn)?，故函?shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)趨近時(shí)，趨近，趨近，所以趨近正無窮，故D錯(cuò)誤.故選：A.8.在R上定義新運(yùn)算，若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則m的最小值為（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，令函數(shù)，，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，求得，即可求解.【詳解】由，可得，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得，即，令函數(shù)，，由，可得是奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，所以，同理可得，當(dāng)時(shí)，，故，即，所以實(shí)數(shù)的最小值為.故選：A．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】依題意列舉A、B中的元素，觀察可得答案【詳解】依題意，，，觀察可知A，D錯(cuò)誤，B，C正確，故選：BC．10.已知，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B、D，利用賦值法判斷C.【詳解】因?yàn)椋?，且，故，故A正確；因?yàn)?，所以，故，故B正確；取，，，則，，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，由，則，故D錯(cuò)誤，故選：AB．11.下列函數(shù)在上單調(diào)遞增的為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】A選項(xiàng)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得到A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)直接得到B正確；C選項(xiàng)，配方后得到函數(shù)的單調(diào)性；D選項(xiàng)，求出，故D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，故B正確；C選項(xiàng)，在上單調(diào)遞增，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)?，，故D錯(cuò)誤.故選：BC．12.已知函數(shù)，滿足，，且在上單調(diào)，則的取值可能為（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】AB【解析】【分析】由，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合可知是函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而得到，，由在上單調(diào)，可得，進(jìn)而，分類討論驗(yàn)證單調(diào)性即可判斷.【詳解】由，知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又，即是函數(shù)的零點(diǎn)，則，，即，.由在上單調(diào)，則，即，所以.當(dāng)時(shí)，由，，得，，又，所以，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故符合題意；當(dāng)時(shí)，由，，得，，又，所以，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，故符合題意；當(dāng)時(shí)，由，，得，，又，所以，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，所以在上不單調(diào)，故不符合題意.綜上所述，或3.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域?yàn)開_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)真數(shù)必須大于零可得不等式，求解得到定義域【詳解】依題意，，得，則，故所求定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?4已知，滿足，則______________．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性可得，即可代入求解.【詳解】因?yàn)?，由，得，所以．故答案為?15.德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在證明“二次互反律”的過程中首次定義了取整函數(shù)，其中表示“不超過x的最大整數(shù)”，如，，，則________．【答案】【解析】【分析】通過已知條件確定取整函數(shù)的取值法則，即，；利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算，進(jìn)而確定的值.【詳解】，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以，，故．故答案為：16.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則的取值范圍是______________．【答案】【解析】【分析】畫出分段函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，找到三根的關(guān)系，利用圖像交點(diǎn)求出最后結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)的圖象，知，，故，即的取值范圍是．故答案：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）若的終邊經(jīng)過點(diǎn)，求的值；（2）若，且，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)正切定義求出，再利用兩角和的正切公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)榈慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以．（2）因?yàn)?，則，且，所以，所以．18.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)．（1）求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）代入點(diǎn)到函數(shù)中即可求解解析式，進(jìn)而可求解值，（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【小問1詳解】依題意，，解得，故（），則．【小問2詳解】易知在上是增函數(shù)，依題意，，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．19.已知集合，，定義兩個(gè)集合P，Q的差運(yùn)算：．（1）當(dāng)時(shí)，求與；（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1），．（2）【解析】【分析】（1）用集合的新定義求解即可；（2）由“”是“”的必要條件得到，再利用范圍求出即可.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，．【小問2詳解】因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以，故，解得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是．20.隨著時(shí)代的發(fā)展以及社會(huì)就業(yè)壓力的增大，大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)的人數(shù)逐年增加.大學(xué)生小明和幾個(gè)志同道合的同學(xué)一起創(chuàng)辦了一個(gè)飼料加工廠.已知該工廠每年的固定成本為10萬元，此外每生產(chǎn)1斤飼料的成本為1元，記該工廠每年可以生產(chǎn)x萬斤司料.當(dāng)時(shí)，年收入為萬元；當(dāng)時(shí)，年收入為92萬元.記該工廠的年利潤(rùn)為萬元（年利潤(rùn)=年收入-固定成本-生產(chǎn)成本）.（1）寫出年利潤(rùn)與生產(chǎn)飼料數(shù)量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求年利潤(rùn)的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)年利潤(rùn)公式列分段函數(shù)解析式即可；（2）結(jié)合基本不等式和一元二次函數(shù)性質(zhì)分別求分段函數(shù)的最值，比較即可得最大值.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，年利潤(rùn)有最大值為萬元.21.已知函數(shù)．（1）求的最小值及相應(yīng)x的取值；（2）若把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）時(shí)，取得最小值．（2），．【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)得到，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（2）化簡(jiǎn)得到，結(jié)合題意，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋援?dāng)，即時(shí)，取得最小值．【小問2詳解】由函數(shù)，由，可得，又，取時(shí)，可得；取時(shí)，可得；所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，．22.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求在上最值；（2）設(shè)函數(shù)，若存在最小值，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）最