文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高考幫全國版試題微專題4高考中的立體幾何問題（考題幫數(shù)學(xué)文）

微專題4高考中的立體幾何問題一、選擇題(每小題5分,共30分)1.一個(gè)多面體的三視圖如圖41所示,則此多面體的表面積是()圖41A.22 B.242 C.22+2 D.20+22.如圖42,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫的是某組合體的三視圖,則該組合體的體積是()圖42A.233+23π B.233+163πC.4+1633.已知正方體ABCDA1B1C1D1的所有頂點(diǎn)均在球O的表面上,E,F,G分別為AB,AD,AA1的中點(diǎn),若平面EFG截球O所得圓的半徑為153,則該正方體的棱長為()A.15 B.10 C.3 D.24.[數(shù)學(xué)文化題]如圖43為中國傳統(tǒng)智力玩具魯班鎖,它起源于中國古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu),這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分嚙合,外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體,其上下、左右、前后完全對(duì)稱,六根完全相同的正四棱柱分成三組,經(jīng)90°榫卯起來.現(xiàn)有一魯班鎖的正四棱柱的底面正方形的邊長為2,欲將其放入球形容器內(nèi)(容器壁的厚度忽略不計(jì)),若球形容器的表面積的最小值為56π,則正四棱柱的高為()A.6 B.223 C.6 D.2515.[數(shù)學(xué)文化題]中國古代計(jì)時(shí)器的發(fā)明時(shí)間不晚于戰(zhàn)國時(shí)代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用機(jī)械原理設(shè)計(jì)的一種計(jì)時(shí)裝置,它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成,開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中,細(xì)沙通過連接管道流到下部容器.如圖44所示,某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐形容器組成,圓錐形容器的底面圓的直徑和高均為8cm,細(xì)沙全部在上部時(shí),其高度為圓錐形容器高度的23(細(xì)管長度忽略不計(jì)).若細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此圓錐形沙堆的高為()圖44A.2cm B.43cm C.83cm D.6.如圖45,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AA1=2AB,E,F分別為BC,BB1的中點(diǎn),M,N分別為AA1,A1C1的中點(diǎn),則直線MN與EF所成角的余弦值為()圖45A.35 B.32C.12二、填空題(每小題5分,共10分)7.若側(cè)面積為8π的圓柱有一外接球O,則當(dāng)球O的體積取得最小值時(shí),圓柱的表面積為.

8.如圖46,在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,作以A為頂點(diǎn),分別以AB,AD,AA1為軸,底面圓半徑為r(0<r≤1)的圓錐.當(dāng)半徑r變化時(shí),正方體挖去三個(gè)14圓錐部分后,余下的幾何體的表面積的最小值是圖46三、解答題(共48分)9.(12分)如圖47,四邊形ABCD為正方形,EA⊥平面ABCD,CF∥EA,EA=2AB=2CF=2.(1)若EC交平面BDF于點(diǎn)G,求證:CG=14CE(2)求證:EC⊥平面BDF;(3)求多面體ABCDEF的體積.圖4710.(12分)在如圖48所示的幾何體中,矩形ABCD所在的平面與平面ABEF垂直,四邊形ABEF是等腰梯形,AB∥EF,AB=2,AD=EF=1,O為AB的中點(diǎn).圖48(1)設(shè)FC的中點(diǎn)為M,求證:OM∥平面DAF;(2)設(shè)平面CBF將幾何體EFABCD分割成的兩個(gè)錐體的體積分別為VFABCD,VFCBE,求VFABCD與VFCBE的比值.11.(12分)如圖49,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,△PAD是等腰三角形,AB=2AD,E是AB上一點(diǎn),且三棱錐PBCE與四棱錐PADCE的體積之比為1∶2,CE與DA的延長線交于點(diǎn)F,連接PF.(1)求證:平面PCD⊥平面PAD;(2)若三棱錐PAEF的體積為32,求線段AD的長圖4912.(12分)如圖410,在Rt△PBC中,∠PCB=90°,AD∥BC,AD=1,BC=3,將△PAD沿AD折起得四棱錐PABCD,使PD⊥PB.(1)求證:PD⊥平面PBC;(2)若三棱錐PADC的體積為233,求四棱錐PABCD圖410答案1.C根據(jù)題中三視圖知,該多面體是從一個(gè)棱長為2的正方體的左上角截去一個(gè)直三棱柱后剩余的部分,因此其表面積為6×221×1×2+2×1=22+2,故選C.2.D觀察題中三視圖可知該組合體的上面是三棱錐,下面是半徑為1的半球,其直觀圖如圖D41所示.圖D41解法一如圖D42所示,將組合體中三棱錐ABEF“補(bǔ)”成正方體,頂點(diǎn)A,B,E,F分別是正方體的棱的中點(diǎn).取EF的中點(diǎn)C,連接AC,BC,則EF⊥平面ABC,由已知得,EF=AB=2,AC=BC=5,所以S△ABC=12×2×2=2,三棱錐ABEF的體積V1=13×S△ABC×EF=43,半球的體積V2=12×43π×13=23π.所以該組合體的體積V=V1+V2=4圖D42解法二如圖D43所示,將組合體中的三棱錐ABEF“補(bǔ)”成正方體,頂點(diǎn)A,B,E,F分別是正方體的棱的中點(diǎn),取AB的中點(diǎn)G,過EF和點(diǎn)G作截面EFDC,則截面EFDC將三棱錐ABEF分成兩個(gè)相同的小三棱錐,且AG=1,S△EFG=12×2×2=2,所以三棱錐ABEF的體積V1=2×13×S△EFG×AG=43,半球體積V2=12×43π×13=23π,所以該組合體的體積V=V1+V2=4圖D433.D設(shè)正方體的棱長為a,則AC1=3a,由正方體ABCDA1B1C1D1的外接球球心O為對(duì)角線AC1的中點(diǎn),可知球O的半徑R=32a,因?yàn)镋,F,G分別為AB,AD,AA1的中點(diǎn),所以EF=EG=FG=22a,所以△EFG為等邊三角形,S△AEF=12×a2×a2=a28,S△EFG=12×2a2×2a2×32=3a28.設(shè)點(diǎn)A到平面EFG的距離為h,由等體積法得S△AEF×AG×134.C設(shè)正四棱柱的高為h,表面積最小的球形容器可以看成長、寬、高分別為4,2,h的長方體的外接球,設(shè)外接球的半徑為R,則4πR2=56π,所以4R2=56.又(2R)2=42+22+h2,所以56=20+h2,解得h=6.故選C.5.D由題意可知,開始時(shí),沙漏上部分圓錐形容器中的細(xì)沙的高為H=23×8=163,底面半徑為r=23×4=83,故細(xì)沙的體積V=13πr2H=13π×(83)2×163=1024π81.當(dāng)細(xì)沙漏入下部后,圓錐形沙堆的底面半徑為4,設(shè)其高為H',則V=13π6.C解法一如圖D44,在原三棱柱的上方,再放一個(gè)完全一樣的三棱柱,連接AC1,CB1,C1B',易得MN∥AC1,EF∥CB1∥C1B',圖D44那么∠AC1B'或∠AC1B'的補(bǔ)角即直線MN與EF所成的角.設(shè)AA1=2AB=2a,則AC1=C1B'=3a,連接AB',則AB'=a2+(2由余弦定理,得cos∠AC1B'=(3a)則直線MN與EF所成的角為∠AC1B'的補(bǔ)角,其余弦值為12.故選C解法二如圖D45,連接AC1,C1B,CB1,圖D45設(shè)C1B,CB1交于點(diǎn)O,取AB的中點(diǎn)D,連接CD,OD,則MN∥AC1∥OD,EF∥CB1,那么∠DOC或∠DOC的補(bǔ)角即直線MN與EF所成的角.設(shè)AA1=2AB=2a,則AC1=CB1=3a,所以O(shè)D=OC=3a2,又CD=3a2故∠DOC=60°,所以∠DOC即為直線MN與EF所成的角,且cos∠DOC=12,所以直線MN與EF所成角的余弦值為127.12π由球體的對(duì)稱性可知,圓柱的高即球心到圓柱兩底面圓心的距離之和,設(shè)圓柱的底面半徑為r,球心到圓柱底面的距離為d,外接球O的半徑為R.由球心到圓柱底面的距離、圓柱底面的半徑、球的半徑之間構(gòu)成直角三角形,可得r2+d2=R2.由題設(shè)可得2πr×2d=8π,所以d=2r,則R2=r2+d2=r2+4r2≥2r2·4r2=4,當(dāng)且僅當(dāng)r=2時(shí)取等號(hào),此時(shí)球O的體積取得最小值.故此時(shí)圓柱的表面積S表=8π+2πr28.3+3(2-1)4π由題知,余下幾何體的表面積由原正方體的表面的剩余部分和3個(gè)14圓錐的側(cè)面組成,其表面積S=34πr·r2+1+3(1r)+3(114πr2)=6+34π(rr2+1r24rπ),其中0<r≤1.設(shè)f(x)=xx2+1x24xπ,0<x≤1,求導(dǎo)并整理得2x2+1x2+1(2x+1)<2x2+1(2x+1)=2x(x1)≤0,∴2x2+1x2+1<2x+1,∴f'(x)=2x2+1x2+12x4π<2x+12x4π=9.(1)連接AC交BD于O,連接FO,如圖D46所示,∵EA∥FC,∴A,E,C,F四點(diǎn)共面,∴FO與EC相交,又FO?平面BDF,∴FO與EC的交點(diǎn)即EC與平面BDF的交點(diǎn)G.(2分)過O作OH∥AE交EC于H,∵O是AC的中點(diǎn),∴H是EC的中點(diǎn),∴OH=12連接HF,∵AE∥CF,且AE=2CF,∴OH∥CF,且OH=CF,∴四邊形HOCF是平行四邊形,∴G是線段CH的中點(diǎn),∴CG=14CE.(4分)圖D46(2)∵EA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴EA⊥BD.∵BD⊥AC,AC∩EA=A,∴BD⊥平面EAC,又EC?平面EAC,∴BD⊥EC.(6分)∵OC=22AB=CF=OH,OH⊥OC,∴四邊形HOCF為正方形,∴OF⊥∵BD∩OF=O,∴EC⊥平面BDF.(8分)(3)由(2)知BD⊥平面EACF.∵S梯形EACF=(AE+CF)×∴V多面體ABCDEF=VBEACF+VDEACF=13S梯形EACF·BD=2.(12分)10.(1)設(shè)FD的中點(diǎn)為N,連接AN,MN.∵M(jìn)為FC的中點(diǎn),∴MN∥CD,MN=12CD.(2分)又AO∥CD,AO=12CD∴MN∥AO,MN=AO,∴四邊形MNAO為平行四邊形,∴OM∥AN.(4分)又OM?平面DAF,AN?平面DAF,∴OM∥平面DAF.(6分)(2)過點(diǎn)F作FG⊥AB于G.∵平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,∴FG⊥平面ABCD,∴VFABCD=13S四邊形ABCD·FG=13AB·BC·FG=23同理可證CB⊥平面ABEF,∴VFCBE=VCBEF=13S△BEF·CB=13·12EF·FG·∴VF-ABCDVF11.(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.(1分)又底面ABCD是矩形,所以AD⊥CD.(2分)因?yàn)镻A∩AD=A,所以CD⊥平面PAD.(3分)因?yàn)镃D?平面PCD,所以平面PCD⊥平面PAD.(4分)(2)不妨設(shè)AP=AD=x,則AB=2AD=2x,BC=x.(5分)因?yàn)槿忮FPBCE與四棱錐PADCE的體積之比為1∶2,所以13·12BE·BC·PA13·AE+CD2則BE=4x3,AE=2x易知△AEF∽△BEC,則AFBC=AEBE=12,即AF=1所以三棱錐PAEF的體積V=13×12×AF×AE×AP=13×12×12x×2x故線段AD的長為3.(12分)12.(1)翻折前在Rt△PBC中,∠PCB=90°,AD∥BC,所以AD⊥PC,翻折后AD⊥PD,所以BC⊥PD.(2分)又PD⊥PB,PB∩BC=B,所以PD⊥平面PBC.(4分)(2)翻折后AD⊥DC,AD⊥PD,所