數(shù)字圖像處理-4第四章圖像變換

幾何變換正交變換第四章圖像變換

圖像的幾何變換（GeometricTransformation）是指圖像處理中對圖像平移、旋轉、放大和縮小，這些簡單變換以及變換中灰度內(nèi)插處理等。幾何變換可能改變圖像中各物體之間的空間位置關系。幾何變換不改變像素值，而可能改變像素所在的位置。1.幾何變換概念

空間變換灰度插值

空間變換（1）齊次坐標幾何變換一般形式

根據(jù)幾何學知識，上述變換可以實現(xiàn)圖像各像素點以坐標原點的比例縮放、反射、錯切和旋轉等各種變換，但是上述2×2變換矩陣T不能實現(xiàn)圖像的平移以及繞任意點的比例縮放、反射、錯切和旋轉等變換。

為了能夠用統(tǒng)一的矩陣線性變換形式，表示和實現(xiàn)這些常見的圖像幾何變換，就需要引入一種新的坐標，即齊次坐標。采用齊次坐標可以實現(xiàn)上述各種幾何變換的統(tǒng)一表示。如圖所示，則新位置A1(x1，y1)的坐標為：表示為如下形式即不能表示為如下形式：

由于矩陣T中沒有引入平移常量，無論a、b、c、d取什么值，都不能實現(xiàn)式平移功能。

不能實現(xiàn)平移變換功能，怎么辦?需要進行改進。

將T矩陣擴展為如下2×3變換矩陣，其形式為：

根據(jù)矩陣相乘的規(guī)律，在坐標列矩陣[xy]T中引入第三個元素，擴展為3×1的列矩陣[xy1]T,就可以實現(xiàn)點的平移變換。變換形式如下：上述變換雖然可以實現(xiàn)圖像各像素點的平移變換，但為變換運算時更方便，一般將2×3階變換矩陣T進一步擴充為3×3方陣，即采用如下變換矩陣：這樣一來,平移變換可以用如下形式表示：

空間變換（2）圖像的平移

注意：平移后的景物與原圖像相同，但“畫布”一定是擴大了。否則就會丟失信息。用Matlab實現(xiàn)圖像的平移變換。解

Matlab程序如下：closeall;clearall;clc;I=imread(‘lena.bmp’);%讀取圖像a=50;b=50;%設置平移坐標J1=move(I,a,b);%移動原圖像a=-50;b=50;%設置平移坐標J2=move(I,a,b);%移動原圖像思考題：如何用FFT實現(xiàn)亞像素級圖像平移？（3）圖像的縮放

圖像的縮放[X,map]=imread(‘trees.tif’);%讀取圖像J1=imresize(X,0.25,’bilinear’);%設置縮放比例，實現(xiàn)縮放圖像并顯示J2=imresize(X,3.5,’bicubic’);1.圖像按比例縮?。鹤詈唵蔚氖菧p小一半，這樣只需取原圖的偶（奇）數(shù)行和偶（奇）數(shù)列構成新的圖像。

2.圖像不按比例縮?。哼@種操作因為在x方向和y方向的縮小比例不同，一定會帶來圖像的幾何畸變。圖像的減半縮小效果返回圖像的按比例縮小效果

返回圖像的不按比例任意縮小返回圖像的成倍放大效果返回圖像的不按比例放大返回（3）圖像的鏡像

水平鏡像垂直鏡像

空間變換0,0xy0,0xy水平鏡像的變換結果圖像的垂直鏡像（4）圖像的旋轉

空間變換I=imread(‘office_2.jpg’);%讀取圖像J1=imrotate(I,30);%設置旋轉角度，實現(xiàn)逆時針旋轉30°J2=imrotate(I,-30);%設置旋轉角度，實現(xiàn)順時針旋轉30°0,0xy圖旋轉前的圖像

圖旋轉15°并進行插值處理的圖像

如圖所示，圖像經(jīng)過了兩次45o和135o旋轉變換，旋轉360o之后，圖像(b)的字跡發(fā)生了較明顯的變化，特別是字體的邊緣更為明顯?；叶炔逯?/p>

圖像的比例縮放、旋轉變換時等，變換過程需要兩個獨立的算法:

一個算法完成幾何變換；一個算法用于灰度級插值.

灰度插值最鄰近插值法雙線性插值（一階插值）高階插值數(shù)字圖像處理只能對坐標網(wǎng)格點（離散點）的值進行變換。而坐標變換后產(chǎn)生的新坐標值同網(wǎng)格點值往往不重合，因此需要通過內(nèi)插的方法將非網(wǎng)格點的灰度值變換成網(wǎng)格點的灰度值，這種算法稱為灰度內(nèi)插。

最鄰近插值法

計算與點P(x0，y0)臨近的四個點;將與點P(x0，y0)最近的整數(shù)坐標點(x，y)的灰度值取為P(x0，y0)點灰度近似值。雙線性插值根據(jù)點P(x0，y0)的四個相鄰點的灰度值，通過兩次插值計算出灰度值f(x0，y0)雙線性插值公式最鄰近插值法雙線性插值的特點

計算量大，但縮放后圖像質量高，不會出現(xiàn)圖像不連續(xù)的情況。具有低通濾波器的性質，使高頻分量減弱，所以使圖像的輪廓在一定程度上受損。卷積插值I=imread('cameraman.tif');J=imresize(I,0.25);%縮小圖像Z1=interp2(double(J),2,'nearest');%最鄰近插值法Z2=interp2(double(J),2,'linear');%雙線性內(nèi)插法Z3=interp2(double(J),2,'cubic');%立方卷積插值法

一.圖像正交變換

圖像變換的定義是將圖像從空域變換到其它域（如頻域）的數(shù)學變換圖像變換的作用我們?nèi)祟愐曈X所感受到的是在空間域和時間域的信號。但是，往往許多問題在頻域中討論時，有其非常方便分析的一面。

1.方便處理

2.便于抽取特性常用的變換傅立葉變換FourierTransform2.離散余弦變換DiscreteCosineTransform3.沃爾什－哈達瑪變換Walsh-HadamardTransform二.傅立葉變換

傅立葉變換的作用（1）可以得出信號在各個頻率點上的強度。（2）可以將卷積運算化為乘積運算。（3）傅氏變換和線性系統(tǒng)理論是進行圖像恢復和重構的重要手段。（4）傅立葉變換能使我們從空間域與頻率域兩個不同的角度來看待圖像的問題，有時在空間域無法解決的問題在頻域卻是顯而易見的。

傅立葉變換的定義

傅立葉變換若f(x)為一維連續(xù)實函數(shù)，則它的傅里葉變換可定義為：傅立葉逆變換定義如下：傅里葉變換的條件

傅里葉變換在數(shù)學上的定義是嚴密的，它需要滿足如下狄利克萊條件：(1)具有有限個間斷點；

(2)具有有限個極值點；

(3)絕對可積;

根據(jù)一維離散傅立葉變換的定義和二維連續(xù)傅立葉變換理論，對于一個具有M×N個樣本值的二位離散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3,…,M-1；y=0,1,2,3,…,N-1）其傅立葉變換為：

(1)二維離散傅立葉正變換(2)二維離散傅立葉逆變換若已知頻率二維序列F(u，v)（u=0,1,2,3,…,M-1；v=0,1,2,3,…,N-1），則二維離散序列F(u，v)的傅立葉逆變換定義為：

二維傅立葉變換的可分離特性表明，一個二維傅立葉變換可通過二次一維傅立葉變換來完成，即：第一次先對y進行一維傅立葉變換

在此基礎上對x進行一維傅立葉變換變量分離步驟如圖所示

F(u)可以表示為如下形式：|F(u)|稱為F(u)的模，也稱為函數(shù)f(x)的傅立葉譜，稱為F(u)的相角。稱為函數(shù)f(x)的能量譜或功率譜。I=imread(‘lena.bmp’);%讀取圖像imshow(I);%顯示圖像F1=fft2(I);%計算二維傅里葉變換figure,imshow(log(abs(F1)+1),[]);%顯示對數(shù)變換后的頻譜圖F2=fftshift(F1);%將直流分量移到頻譜圖的中心figure,imshow(log(abs(F2)+1),[]);%顯示對數(shù)變換后中心化的頻譜圖I=imread(‘lena.bmp’);%讀取圖像J=dct2(I);%計算圖像的2-DCT變換figure,subplot(121),imshow(I);%顯示原圖像subplot(122),mesh(J);colormap(jet),colorbar;線性系統(tǒng)與傅立葉變換傅立葉變換在圖像濾波中的應用首先，我們來看Fourier變換后的圖像，中間部分為低頻部分，越靠外邊頻率越高。因此，我們可以在Fourier變換圖中，選擇所需要的高頻或是低頻濾波。傅立葉變換在圖像壓縮中的應用

變換系數(shù)剛好表現(xiàn)的是各個頻率點上的幅值。在小波變換沒有提出時，用來進行壓縮編碼。考慮到高頻反映細節(jié)、低頻反映景物概貌的特性。往往認為可將高頻系數(shù)置為0，騙過人眼。傅立葉變換在卷積中的應用直接進行時域中的卷積運算是很復雜的。傅立葉變換將時域的卷積變換為頻域的乘積。1.問題的提出：傅立葉變換的一個最大的問題是：它的參數(shù)都是復數(shù)，在數(shù)據(jù)的描述上相當于實數(shù)的兩倍。為此，我們希望有一種能夠達到相同功能但數(shù)據(jù)量又不大的變換。在此期望下，產(chǎn)生了DCT變換。4.2.2.離散余弦變換2.正變換：3.逆變換：其中：I=imread('cameraman.tif');%讀取圖像J=dct2(I);%計算圖像的2-DCT變換七.哈達瑪正變換

1.一維哈達瑪正變換

設f(x)表示N點的一維離散序列，則一維哈達瑪變換如下：u=0,1,2,3,…,N-1其中，g(x，u)是一維哈達瑪變換的核，定義如下：式中，

u=0，1，2，…，N-1；x=0，1，2，…，N-1,N是哈達瑪變換的階數(shù)，bi(z)是z的二進制數(shù)的第i位數(shù)值，取值為0或1。

2.一維哈達瑪逆變換

h(x，u)是一維哈達瑪逆變換的核逆變換核與正變換核相等，即哈達瑪變換的階數(shù)具有規(guī)律性，即按照

規(guī)律遞升，高階哈達瑪矩陣可以通過低階哈達瑪矩陣的克羅尼科積運算求得，也就是說，哈達瑪矩陣具有如下關系：

(1)(2)(3)(4)

采用上述規(guī)律求哈達瑪變換矩陣要比直接用哈達瑪變換核求矩陣快得多，此結論提供了一種快速哈達瑪變換，也可以稱為FHT。

例如，根據(jù)哈達瑪矩陣的運算規(guī)律，可以得出8階哈達瑪矩陣如下：I=imread('peppers.png');%讀取RGB圖像I=rgb2gray(I);%轉換為灰度圖像I=im2double(I);h1=size(I,1);%圖形的行h2=size(I,2);%圖形的列H1=hadamard(h1);%Hadamard矩陣H2=hadamard(h2);%HadamardJ=H1*I*H2/sqrt(h1*h2);%Hadamard變換8*8圖像的空間域基8*8圖像的Haar小波基8*8圖像的哈達瑪基8*8圖像的離散余弦基DCT圖像的DCT8*8圖像的空間域基8*8圖像的離散余弦基可參數(shù)化不能參數(shù)化§K-L變換以矢量信號X的協(xié)方差矩陣Ф的歸一化正交特征矢量q所構成的正交矩陣Q，來對該矢量信號X做正交變換Y=QX，則稱此變換為K-L變換（K-LT或KLT），K-LT是Karhuner-Loeve變換的簡稱，有的文獻資料也寫作KLT。要實現(xiàn)KLT，首先要從信號求出其協(xié)方差矩陣Ф，再由Ф求出正交矩陣Q。Ф的求法與自相關矩陣求法類似§協(xié)方差矩陣自相關矩陣協(xié)方差

反映的是兩個序列的相關程度相關系數(shù)如果XY均為歸一化的序列（均值為0，方差為1），則§協(xié)方差矩陣自相關矩陣協(xié)方差相關系數(shù)相關矩陣？§K-L變換協(xié)方差令X是輸入樣本（如果是圖像，轉化成向量形式），Y是線性變換結果我們希望生成的特征之間是不相關的（沒有信息冗余）即是對角矩陣？§K-L變換我們假設了E(X)=0，則E(Y)=0這里是對稱矩陣，因此它的特征向量是正交的。如果選擇矩陣的特征值對應的特征向量q

組成變換矩陣Q，則變換特征對應的相關矩陣是對角矩陣對角線上的元素是RX的特征值在非零均值情況下，用協(xié)方差矩陣代替相關矩陣，對應§K-L變換的特性去相關特性：變換后的