山西省祁縣二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

山西省祁縣二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀(jì)念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（）A. B.C. D.2．宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生"的問(wèn)題，松長(zhǎng)三尺，竹長(zhǎng)一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等，如圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的，分別為3，1，則輸出的等于A.5 B.4C.3 D.23．已知兩個(gè)向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.84．在三棱錐中，，D為上的點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.5．若直線與直線平行，則（）A. B.C. D.6．設(shè)橢圓（）的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線與C的一個(gè)交點(diǎn)為Q（點(diǎn)Q在x軸上方），且，則C的離心率為（）A. B.C. D.7．已知a，b是互不重合直線，，是互不重合的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則8．已知、是平面直角坐標(biāo)系上的直線，“與的斜率相等”是“與平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件9．函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.10．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點(diǎn)，為邊上的一列點(diǎn)，連接，交于，且，其中數(shù)列的首項(xiàng)，則（）A. B.為等比數(shù)列C. D.11．已知長(zhǎng)方體的底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，長(zhǎng)方體的高為，則與對(duì)角面夾角的正弦值等于（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．圓與圓的位置關(guān)系為_(kāi)_____(填相交，相切或相離).14．已知向量，，，若，則____________.15．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為_(kāi)_________.16．設(shè)圓，圓，則圓有公切線___________條.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，（1）求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值18．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，且動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)（1）若Q為的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q到平面的距離；（2）設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍19．（12分）已知函數(shù)R)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間20．（12分）已知函數(shù)圖像在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）求函數(shù)在上的最值.21．（12分）如圖，在半徑為6m的圓形O為圓心鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點(diǎn)B在圓弧上，點(diǎn)A，C在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形鋁皮OABC卷成一個(gè)以AB為母線的圓柱形罐子的側(cè)面不計(jì)剪裁和拼接損耗，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)|AB|xm，圓柱的體積為Vm3.（1）寫(xiě)出體積V關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，才能使做出的圓柱形罐子的體積V最大最大體積是多少?22．（10分）已知橢圓焦距為，點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)R是直線上任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，求的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為所以球的體積為,表面積為.圓柱的體積為：,所以其體積之比為：圓柱的側(cè)面積為：,圓柱的表面積為：所以其表面積之比為：故選：C2、B【解析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【詳解】解：當(dāng)n＝1時(shí)，a＝3，b＝2，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝2時(shí)，a，b＝4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝3時(shí)，a，b＝8，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n＝4時(shí)，a，b＝16，不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是程序框圖，當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多，或有規(guī)律時(shí)，常采用模擬循環(huán)的方法解答3、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，解?故選：B4、B【解析】根據(jù)幾何關(guān)系以及空間向量的線性運(yùn)算即可解出【詳解】因?yàn)?，所以，即故選：B5、D【解析】根據(jù)兩直線平行可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于直線與直線平行，則，解得.故選：D.6、D【解析】連接Q和右焦點(diǎn)，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，寫(xiě)出兩直線方程，聯(lián)立可得Q點(diǎn)坐標(biāo)，Q點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得a、b、c關(guān)系﹒【詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為，連接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，F(xiàn)Q過(guò)F(－c，0)，Q過(guò)(c，0)，則，由，∵Q在橢圓上，∴，又，解得，∴離心率故選：D7、B【解析】根據(jù)線線，線面，面面位置關(guān)系的判定方法即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】A：若，，則或a，故A錯(cuò)誤；B：若，，則a⊥β，又，則a⊥b，故B正確；C：若，，則或α與β相交，故C錯(cuò)誤；D：若，，，則不能判斷α與β是否垂直，故D錯(cuò)誤.故選：B.8、D【解析】根據(jù)直線平行與直線斜率的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：與的斜率相等”，“與可能重合，故前者不可以推出后者，若與平行，與的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分條件也非必要條件，故選：D.9、D【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，即有，而，則過(guò)點(diǎn)，斜率為1的直線方程為：，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為.故選：D10、A【解析】由得，為邊的中點(diǎn)得，設(shè)，所以，根據(jù)向量相等可判斷A選項(xiàng)；由得是公比為的等比數(shù)列，可判斷B選項(xiàng)；代入可判斷C選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)可判斷D選項(xiàng).【詳解】由得，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，所以設(shè)，所以，所以，當(dāng)時(shí)，A選項(xiàng)正確；，由得，是公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，不是常數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；所以，由得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，此時(shí)為的中點(diǎn)，與重合，即，，故D錯(cuò)誤.故選：A.11、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出線面角的正弦值.【詳解】連接，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系∵底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，∴，，，因?yàn)?，且，所以平面，∴，平面的法向量，∴與對(duì)角面所成角的正弦值為故選：C.12、B【解析】根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的，，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題可知：對(duì)任意的，，都有恒成立，故可得對(duì)任意的，；又，則，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，則當(dāng)時(shí)，,.對(duì)任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故，則只需.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、相交【解析】求兩圓圓心距，并與半徑之和、半徑之差的絕對(duì)值比較即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，∵，∴兩圓相交.故答案為：相交.14、【解析】首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?，，所以向量，因?yàn)?，所以，即，解得故答案為?5、【解析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，而，所以切線方程為：，令，得，令，得，所以三角形的面積為：，故答案為：16、2【解析】將圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)式，結(jié)合圓心距判斷兩圓位置關(guān)系，進(jìn)而求解.【詳解】由題意得，圓：，圓：，∴，∴與相交，有2條公切線.故答案為：2三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）坐標(biāo)表示出、，利用向量夾角的坐標(biāo)表示求夾角余弦值；（2）坐標(biāo)表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求的值.【詳解】由題設(shè)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)（1）cosθ＝，所以和的夾角余弦值為.（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，則(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.18、（1）1（2）【解析】(1)以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出平面的法向量，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量求法計(jì)算即可；(2)設(shè)點(diǎn)，，進(jìn)而得出的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積即可列出線面角正弦值的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意，分別以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標(biāo)系，于是，，，，，設(shè)平面法向量所以，解得，，令得，，設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，平面的法向量，由P點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)可設(shè)點(diǎn)，于是，，所以，的取值范圍是19、（1）（2）答案見(jiàn)解析【解析】(1)根據(jù)切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率，切點(diǎn)在曲線上可得切線方程；(2)求導(dǎo)，分類討論可得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，，，則，所以在處的切線方程為【小問(wèn)2詳解】，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為20、（1）a=3，b=-9.（2）最小值=-24，最大值=8.【解析】由曲線在的值以及切線斜率容易確定a與b的值；根據(jù)導(dǎo)數(shù)很容易確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間以及極值點(diǎn).【小問(wèn)1詳解】，，，由于切線方程是，當(dāng)x=1時(shí)，y=-8，即，即=-8……①；又切線的斜率為-12，∴……②；聯(lián)立①②得.【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，；當(dāng)時(shí)，，導(dǎo)函數(shù)圖像如下：在時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增；∴在x=-1有極大值，x=3有極小值；在區(qū)間內(nèi)：在x=-1有最大值；在x=3有最小值.21、（1），；（2）時(shí)，最大值為m3.【解析】(1)連接，在中，由，利用勾股定理可得，設(shè)圓柱底面半徑為，求出．利用(其中即可得出；(2)利用導(dǎo)數(shù)，求出V的單調(diào)性，即可得出結(jié)論【小問(wèn)1詳解】連接，在中，，，設(shè)圓柱底面半徑為，則，即，，其中【小問(wèn)2詳解】由及，得，列表如下：，0↗極大值↘∴當(dāng)時(shí)，有極大值，也是最大值為m322、（1）；（2）.【解析】（1