2025屆云南省保山隆陽區(qū)高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆云南省保山隆陽區(qū)高二數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某企業(yè)為節(jié)能減排，用萬元購進一臺新設備用于生產.第一年需運營費用萬元，從第二年起，每年運營費用均比上一年增加萬元，該設備每年生產的收入均為萬元.設該設備使用了年后，年平均盈利額達到最大值（盈利額等于收入減去成本），則等于（）A. B.C. D.2．圓與圓的位置關系是（）A.內含 B.相交C.外切 D.外離3．復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.4．已知過點的直線l與圓相交于A，B兩點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的表面積為（）A. B.C.8 D.126．已知拋物線：的焦點為F，準線l上有兩點A，B，若為等腰直角三角形且面積為8，則拋物線C的標準方程是（）A. B.C.或 D.7．已知是和的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.或2C. D.或8．在中，內角的對邊分別為，若，則角為A. B.C. D.9．橢圓的（）A.焦點在x軸上，長軸長為2 B.焦點在y軸上，長軸長為2C.焦點在x軸上，長軸長為 D.焦點在y軸上，長軸長為10．已知數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則滿足的的最小值為（）A.30 B.31C.32 D.3311．已知點F是雙曲線的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F作垂直于x軸的直線與雙曲線交于G、H兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.12．如圖在中，，，在內作射線與邊交于點，則使得的概率是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項和為，且，若點在直線上，則______；______.14．若不等式的解集為，則________15．某次實驗得到如下7組數(shù)據(jù)，通過判斷知道與具有線性相關性，其線性回歸方程為，則______.（參考公式：）12345676.06.26.36.46.46.76.816．如圖，已知AB，CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑，且，若該圓柱的底面圓直徑是其母線長的2倍，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的上下兩個焦點分別為，，過點與y軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點，△的面積為，橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知O為坐標原點，直線與y軸交于點P，與橢圓C交于A，B兩個不同的點，若存在實數(shù)，使得，求m的取值范圍18．（12分）已知拋物線的焦點為F，傾斜角為45°的直線m過點F，若此拋物線上存在3個不同的點到m的距離為，求此拋物線的準線方程19．（12分）已知點是橢圓E：一點，且橢圓的離心率為.（1）求此橢圓E方程；（2）設橢圓的左頂點為A，過點A向上作一射線交橢圓E于點B，以AB為邊作矩形ABCD，使得對邊CD經過橢圓中心O.（i）求矩形ABCD面積的最大值；（ii）問：矩形ABCD能否為正方形？若能，求出直線AB的方程；若不能，請說明理由.20．（12分）已知為數(shù)列的前項和，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和（3）設，若不等式對一切恒成立，求實數(shù)取值范圍21．（12分）設命題p：實數(shù)x滿足，其中；命題q：若，且為真，求實數(shù)x的取值范圍；若是的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，且，，分別為，的中點（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）點在棱上，且，證明：平面

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設該設備第年的營運費為萬元，利用為等差數(shù)列可求年平均盈利額，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】設該設備第年的營運費為萬元，則數(shù)列是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，則，則該設備使用年的營運費用總和為，設第n年的盈利總額為，則，故年平均盈利額為，因為，當且僅當時，等號成立，故當時，年平均盈利額取得最大值4.故選：D.【點睛】本題考查等差數(shù)列在實際問題中的應用，注意根據(jù)題設條件概括出數(shù)列的類型，另外用基本不等式求最值時注意檢驗等號成立的條件.2、C【解析】分別求出兩圓的圓心、半徑，再求出兩圓的圓心距即可判斷作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓，即的圓心，半徑，則，即有，所以圓與圓外切.故選：C3、B【解析】先根據(jù)復數(shù)除法與加法運算求解得，再求共軛復數(shù)及其虛部.【詳解】解：，所以其共軛復數(shù)為，其虛部為故選：B4、D【解析】經判斷點在圓內，與半徑相連，所以與垂直時弦長最短，最長為直徑【詳解】將代入圓方程得：，所以點在圓內，連接，當時，弦長最短，，所以弦長，當過圓心時，最長等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D5、B【解析】首先確定幾何體的空間結構特征，然后求解其表面積即可.【詳解】由題意知，該幾何體是一個由8個全等的正三角形圍成的多面體，正三角形的邊長為：，正三角形邊上的一條高為：，所以一個正三角形的面積為：，所以多面體的表面積為：.故選：B6、C【解析】分或（）兩種情況討論，由面積列方程即可求解【詳解】由題意得，當時，，解得；當或時，，解得，所以拋物線的方程是或.故選：C.7、B【解析】由等比中項的性質可得，分別計算曲線的離心率.【詳解】由是和的等比中項，可得，當時，曲線方程為，該曲線為焦點在軸上的橢圓，離心率，當時，曲線方程為，該曲線為焦點在軸上的雙曲線，離心率，故選：B.8、A【解析】因為，那么結合，所以cosA==，所以A=，故答案為A考點：正弦定理與余弦定理點評：本題主要考查正弦定理與余弦定理的基本應用，屬于中等題.9、B【解析】把橢圓方程化為標準方程可判斷焦點位置和求出長軸長.【詳解】橢圓化為標準方程為，所以，且，所以橢圓焦點在軸上，，長軸長為.故選：B.10、C【解析】由條件可得得出，再由解出的范圍，得出答案.【詳解】由，則由，即，即，所以所以滿足的的最小值為為32故選：C11、B【解析】根據(jù)是等腰三角形且為銳角三角形，得到，即，解得離心率范圍.【詳解】，當時，，，不妨取，，是等腰三角形且為銳角三角形，則，即，，即，，解得，故.故選：B.12、C【解析】由題意可得，根據(jù)三角形中“大邊對大角，小邊對小角”的性質，將轉化為求的概率，又因為，，從而可得的概率【詳解】解：在中，，，所以，即，要使得，則，又因為，，則的概率是故選：C【點睛】本題考查幾何概型及其計算方法的知識，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.；②.【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結合等差數(shù)列前項和公式、裂項相消法進行求解即可.【詳解】因為點在直線上，所以，所以數(shù)列是以，公差為的等差數(shù)列，所以；因為，所以，于是，故答案為：；14、11【解析】根據(jù)題意得到2與3是方程的兩個根，再根據(jù)兩根之和與兩根之積求出，進而求出答案.【詳解】由題意得：2與3是方程的兩個根，則，，所以.故答案為：1115、9##【解析】求得樣本中心點的坐標，代入回歸直線，即可求得.詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得：故，解得.故答案為：.16、.【解析】利用空間向量夾角公式進行求解即可.【詳解】取CD的中點O，以O為原點，以CD所在直線為x軸，以底面內過點O且與CD垂直的直線為y軸，以過點O且與底面垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設，則，，，，，，所以，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或或.【解析】（1）根據(jù)已知條件，求得的方程組，解得，即可求得橢圓的方程；（2）對的取值進行分類討論，當時，根據(jù)三點共線求得，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用韋達定理，結合直線交橢圓兩點，代值計算即可求得結果.【小問1詳解】對橢圓，令，故可得，則，故，則，又，，故可得，則橢圓的方程為：.【小問2詳解】直線與y軸交于點P，故可得的坐標為，當時，則，由橢圓的對稱性可知：，故滿足題意；當時，因為三點共線，若存在實數(shù)，使得，即，則，故可得.又直線與橢圓交于兩點，故聯(lián)立直線方程，與橢圓方程，可得：，則，即；設坐標為，則，又，即，故可得：，即，也即，代入韋達定理整理得：，即，當時，上式不成立，故可得，又，則，整理得：，解得，即或.綜上所述：的取值范圍是或或.【點睛】本題考察橢圓方程的求解，以及橢圓中范圍問題的處理；解決本題的關鍵一是要求得的取值，二是充分利用韋達定理以及直線和曲線相交，則聯(lián)立方程組后得到的一元二次方程的，屬綜合中檔題.18、【解析】設出直線m的方程，利用方程組聯(lián)立、一元二次方程根的判別式求出與直線m平行的拋物線的切線方程，結合平行線間距離公式進行求解即可.【詳解】拋物線的焦點坐標為：，設直線m為，設為與拋物線相切，聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡整理可得，，則，解得，且，故兩平行線間的距離，解得，故所求的準線方程為19、（1）；（2）(i)；(ii).【解析】(1)根據(jù)給定條件列出關于a，b的方程組，解方程組代入得解.(2)(i)設直線AB方程，與橢圓方程聯(lián)立求出線段AB長，再求出原點O到直線AB距離列出矩形面積求解即可；(ii)由(i)及列出方程，由方程解的情況即可判斷計算作答.【小問1詳解】令橢圓半焦距為c，依題意，，解得，所以橢圓E的方程為：.【小問2詳解】(i)由(1)知，，設直線AB的斜率為，則直線AB的方程為：，由消去y并整理得：，點的橫坐標，則點的橫坐標有：，解得，則有，因矩形的邊CD過原點O，則，因此，矩形的面積，當且僅當，即時取“=”，所以矩形ABCD面積的最大值是.(ii)假定矩形ABCD能成為正方形，則，由(i)知：，整理得：，即，而，解得，所以矩形ABCD能成為正方形，此時，直線AB的方程為.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的最值問題，往往需要利用韋達定理構建目標的函數(shù)關系式，自變量可以斜率或點的橫、縱坐標等.而目標函數(shù)的最值可以通過二次函數(shù)或基本不等式或導數(shù)等求得.20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用的關系，根據(jù)等比數(shù)列的定義求通項公式.（2）由（1）可得，應用裂項相消法求.（3）應用錯位相減法求得，由題設有，討論為奇數(shù)、偶數(shù)求的取值范圍【小問1詳解】當時，，可得，當時，，可得，∴是首項、公比都為的等比數(shù)列，故.【小問2詳解】由（1），，∴.【小問3詳解】由題設，，∴，則，∴，由對一切恒成立，令，則，∴數(shù)列單調遞減，∴當為奇數(shù)，恒成立且在上遞減，則，當為偶數(shù)，恒成立且在上遞增，則，綜上，.21、(1)(2)【解析】解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可；寫出命題所對應的集合，命題p：，命題q：，由是的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件，則A是B的真子集，列不等式組可求解【詳解】解：(1)由，其中；解得，又，即，由得：，又為真，則，得：，故實數(shù)x的取值范圍為；由得：命題p：，命題q：，由是的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條