重難點18 球的切、接問題（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

重難點18球的切、接問題【十大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1定義法求外接球問題】 4【題型2補(bǔ)形法求外接球問題】 4【題型3截面法求外接球問題】 5【題型4棱切球模型問題】 6【題型5內(nèi)切球模型問題】 6【題型6多球相切問題】 7【題型7外接球之二面角模型】 8【題型8與球的切、接有關(guān)的最值問題】 9【題型9與球的切、接有關(guān)的截面問題】 10【題型10多面體與球體內(nèi)切外接綜合問題】 111、球的切、接問題球的切、接問題是歷年高考的重點、熱點內(nèi)容，一般以客觀題的形式出現(xiàn)，考查空間想象能力、計算能力.其關(guān)鍵點是利用轉(zhuǎn)化思想，把球的切、接問題轉(zhuǎn)化為平面問題或特殊幾何體來解決或轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的切、接問題來解決.【知識點1正方體與球、長方體與球】1．正方體與球的切、接問題(1)內(nèi)切球：內(nèi)切球直徑2R=正方體棱長a.(2)棱切球：棱切球直徑2R=正方體的面對角線長.(3)外接球：外接球直徑2R=正方體體對角線長.2．長方體與球外接球：外接球直徑2R=體對角線長(a,b,c分別為長方體的長、寬、高).【知識點2正棱錐與球】1．正棱體與球的切、接問題(1)內(nèi)切球：(等體積法)，r是內(nèi)切球半徑，h為正棱錐的高.(2)外接球：外接球球心在其高上，底面正多邊形的外接圓圓心為E，半徑為r，(正棱錐外接球半徑為R，高為h).【知識點3正四面體的外接球、內(nèi)切球】1．正四面體的外接球、內(nèi)切球若正四面體的棱長為a，高為h，正四面體的外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，則，，，.【知識點4正三棱柱的外接球】1．正三棱柱的外接球球心到正三棱柱兩底面的距離相等，正三棱柱兩底面中心連線的中點為其外接球球心..【知識點5圓柱、圓錐的外接球】1．圓柱的外接球(R是圓柱外接球的半徑，h是圓柱的高，r是圓柱底面圓的半徑).2．圓錐的外接球(R是圓錐外接球的半徑，h是圓錐的高，r是圓錐底面圓的半徑).【知識點6幾何體與球的切、接問題的解題策略】1．常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：2．空間幾何體外接球問題的求解方法：空間幾何體外接球問題的處理關(guān)鍵是確定球心的位置，常見的求解方法有如下幾種：(1)定義法：利用平面幾何體知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.(2)補(bǔ)形法：若球面上四點P,A,B,C構(gòu)成的三條線段PA,PB,PC兩兩垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個球內(nèi)接長方體，根據(jù)4R2=a2+b2+c2求解.(3)截面法：涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時，一般過球心及多面體的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解.3．內(nèi)切球問題的求解策略：(1)找準(zhǔn)切點，通過作過球心的截面來解決.(2)體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用方法.【題型1定義法求外接球問題】【例1】（2024·新疆烏魯木齊·三模）三棱錐A?BCD中，AD⊥平面ABC，∠BAC=60°，AB=1，AC=2，AD=4，則三棱錐A?BCD外接球的表面積為（

）A．10π B．20π C．25π【變式1-1】（2024·海南·模擬預(yù)測）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點A．2π B．4π C．6π【變式1-2】（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為2，面積為4π3的扇形，則該圓錐的外接球的面積為（A．9π8 B．9π4 C．9【變式1-3】（2024·青?！ざ＃┤鐖D，已知在四棱錐P?ABCD中，底面四邊形ABCD為等腰梯形，BC//AD，PD=2AD=4BC=4，底面積為334，PD⊥AD且PB=19A．9π B．123π C．39【題型2補(bǔ)形法求外接球問題】【例2】（2024·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·模擬預(yù)測）在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(0,3,0)，B(0,0,0)，C(4,0,0)，A．29π B．28π C．32π 【變式2-1】（2024·江西·模擬預(yù)測）現(xiàn)為一球形玩具設(shè)計一款球形的外包裝盒（盒子厚度忽略不計）．已知該球形玩具的直徑為2，每盒需放入4個玩具球，則該種外包裝盒的直徑的最小值為（

）A．2?3 B．2+3 C．6?2【變式2-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知四面體ABCD中，AB=CD=AC=BD=2,AD=BC，若四面體ABCD的外接球的表面積為7π，則四面體ABCD的體積為（

）A．1 B．2 C．43 D．【變式2-3】（2024·四川雅安·模擬預(yù)測）如圖是以正方體的各條棱的中點為頂點的多面體，這是一個有八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，若該多面體的棱長為2，則該多面體外接球的表面積為（

）A．8π B．4π C．2π【題型3截面法求外接球問題】【例3】（2024·江蘇南通·三模）已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側(cè)棱長為35，則該正四棱臺內(nèi)半徑最大的球的表面積為（

A．12π B．27π C．64π【變式3-1】（23-24高三下·河南·階段練習(xí)）已知圓臺Ω的上、下底面半徑分別為r1，r2，且r2=2r1，若半徑為3的球與A．73π B．83π C．【變式3-2】（2024·湖北·二模）已知圓錐PO的頂點為P，其三條母線PA，PB，PC兩兩垂直，且母線長為6，則圓錐PO的內(nèi)切球表面職與圓錐側(cè)面積之和為（

）A．1210?36πB．2420?76π【變式3-3】（2024·四川成都·三模）已知正四棱臺ABCD?EFGH的上底面積為16，下底面積為64，且其各個頂點均在半徑R=57的球O的表面上，則該四棱臺的高為（

A．2 B．8 C．8或12 D．2或12【題型4棱切球模型問題】【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測）正四面體ABCD的棱長為2，其棱切球的體積為（

）A．2π B．6π C．23【變式4-1】（2024·山東日照·二模）已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1，以正方體中心為球心的球O與正方體的各條棱相切，若點A．2 B．74 C．34 【變式4-2】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為S1,S2【變式4-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）若將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，八個頂點共截去八個三棱錐，可得到一個有十四個面的多面體.它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，如圖所示，已知該多面體過A，B，C三點的截面面積為63，則其棱切球（球與各棱相切）的表面積為【題型5內(nèi)切球模型問題】【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是邊長為2的菱形，O為AC,BD的交點，PO⊥平面ABCD，∠PBA=∠ABC=60°，則四棱錐P?ABCD的內(nèi)切球的體積為（

）

A．6π2 B．6π4 C．【變式5-1】（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（

A．πm2 B．2πm2 【變式5-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓臺O1O2存在內(nèi)切球O（與圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切的球），若圓臺O1O2的上、下底面面積之和與它的側(cè)面積之比為5:8，設(shè)圓臺O1O2A．23 B．34 C．511【變式5-3】（2024·江蘇宿遷·三模）若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個球是這個多面體的內(nèi)切球．在四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PAB是邊長為1的等邊三角形，底面ABCD為矩形，且平面PAB⊥平面ABCD．若四棱錐P?ABCD存在一個內(nèi)切球，設(shè)球的體積為V1，該四棱錐的體積為V2，則V1A．3π6 B．3π12 C．【題型6多球相切問題】【例6】（2024高三·全國·專題練習(xí)）在一個半徑為2的半球形封閉容器內(nèi)放入兩個半徑相同的小球，則這兩個小球的表面積之和最大為（

）A．96?642π B．24?162π C．【變式6-1】（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）某包裝設(shè)計部門為一球形塑料玩具設(shè)計一種正四面體形狀的外包裝盒（盒子厚度忽略不計），已知該球形玩具的直徑為2，每盒需放入10個塑料球，則該種外包裝盒的棱長的最小值為（

）A．2+26 B．2+46 C．.4+26【變式6-2】（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）如圖所示，4個球兩兩外切形成的幾何體，稱為一個“最密堆壘”．顯然，即使是“最密堆壘”，4個球之間依然存在著空隙．材料學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，某種金屬晶體中4個原子的“最密堆壘”的空隙中如果再嵌入一個另一種金屬原子并和原來的4個原子均外切，則材料的性能會有顯著性變化．記原金屬晶體的原子半徑為rA，另一種金屬晶體的原子半徑為rB，則rA和rA．2rB=C．2rB=【變式6-3】（2024·浙江溫州·二模）如今中國被譽為基建狂魔，可謂是逢山開路，遇水架橋.公路里程?高鐵里程雙雙都是世界第一.建設(shè)過程中研制出用于基建的大型龍門吊?平衡盾構(gòu)機(jī)等國之重器更是世界領(lǐng)先.如圖是某重器上一零件結(jié)構(gòu)模型，中間最大球為正四面體ABCD的內(nèi)切球，中等球與最大球和正四面體三個面均相切，最小球與中等球和正四面體三個面均相切，已知正四面體ABCD棱長為26，則模型中九個球的表面積和為（

A．6π B．9π C．31π【題型7外接球之二面角模型】【例7】（2024·陜西寶雞·三模）△ABC與△ABD都是邊長為2的正三角形，沿公共邊AB折疊成60°的二面角，若點A，B，C，D在同一球O的球面上，則球O的表面積為（

）A．139π B．208π9 C．【變式7-1】（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖①，將兩個直角三角形拼在一起得到四邊形ABCD，且AC=BC=12AD=1，AC⊥AD，現(xiàn)將△ACD沿AC折起，使得點D到達(dá)點P處，且二面角P?AC?B的大小為60°，連接BP，如圖②，若三棱錐P?ABC

A．4π B．5π C．6π【變式7-2】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是邊長為4的正三角形，D是BC的中點，沿AD將△ABC折疊，形成三棱錐A?BCD．當(dāng)二面角B?AD?C為直二面角時，三棱錐A?BCD外接球的表面積為（

）A．5π B．20π C．55【變式7-3】（2024·上海徐匯·二模）三棱錐P?ABC各頂點均在半徑為22的球O的表面上，AB=AC=22,∠BAC=90。，二面角P?BC?A①三棱錐O?ABC的體積為83；②點P形成的軌跡長度為2A．①②都是真命題B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題D．①②都是假命題【題型8與球的切、接有關(guān)的最值問題】【例8】（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知四棱錐P?ABCD的底面為矩形，AB=23，BC=4，側(cè)面PAB為正三角形且垂直于底面ABCD，M為四棱錐P?ABCD內(nèi)切球表面上一點，則點M到直線CD距離的最小值為（

A．10?2 B．10?1 C．23【變式8-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）在四棱錐P?ABCD中，底面四邊形ABCD為正方形，四棱錐P?ABCD外接球的表面積為16π，則當(dāng)四棱錐P?ABCD的體積最大時，AB=（

A．3 B．2 C．83 【變式8-2】（2024·福建泉州·一模）泉州花燈技藝源于唐朝中期從形式上有人物燈、宮物燈、宮燈，繡房燈、走馬燈、拉提燈、錫雕元宵燈等多種款式．在2024年元宵節(jié)，小明制做了一個半正多面體形狀的花燈，他將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體，如圖所示．已知該半正多面體的體積為203，M為△ABC的中心，過M截該半正多面體的外接球的截面面積為S，則S的最大值與最小值之比（

A．85 B．95 C．3【變式8-3】（2024·福建南平·模擬預(yù)測）某雕刻師在切割玉料時，切割出一塊如圖所示的三棱錐型邊料，測得在此三棱錐A?BCD中，側(cè)面ABC⊥底面BCD，且AB=AC=DB=DC=AD=2?cm，該雕刻師計劃將其打磨成一顆球形玉珠，則磨成的球形玉珠的直徑的最大值為（

A．26?cm C．222?3【題型9與球的切、接有關(guān)的截面問題】【例9】（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測）正方體ABCD?A1B1C1D1外接球的體積為43π，E、A．5π3 B．4π3 C．【變式9-1】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知SO1=2，底面半徑O1A=4的圓錐內(nèi)接于球O，則經(jīng)過S和OA．252π B．253π C．【變式9-2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）四棱錐P?ABCD各頂點都在球心O為的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PA=AD=2,AB=22，設(shè)M,N分別是PD,CD的中點，則平面AMN截球O所得截面的面積為（

A．π B．3π C．4π 【變式9-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，DA．62 B．32 C．305【題型10\t"/gzsx/zsd28893/_blank"\o"多面體與球體內(nèi)切外接問題"多面體與球體內(nèi)切外接綜合問題】【例10】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓臺O1O2的內(nèi)切球半徑為2，圓臺O1OA．32π B．1025π48 C．1025【變式10-1】（23-24高二下·湖南長沙·期中）已知正四棱錐外接球的半徑為3，內(nèi)切球的半徑為1，則該正四棱錐的高為（

）A．4+3 B．4+2 C．4±3【變式10-2】（2024·甘肅金昌·模擬預(yù)測）在底面是邊長為4的正方形的四棱錐P?ABCD中，點P在底面的射影H為正方形ABCD的中心，異面直線PB與AD所成角的正切值為32，則四棱錐P?ABCD的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為（

A．617 B．516 C．413【變式10-3】（2024·云南大理·模擬預(yù)測）六氟化硫，化學(xué)式為SF6，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）．如圖所示，正八面體E?ABCD?F的棱長為a，此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為（

A．33 B．23 C．32一、單選題1．（2024·遼寧·一模）已知正四棱錐P?ABCD各頂點都在同一球面上，且正四棱錐底面邊長為4，體積為643，則該球表面積為（

A．9π B．36π C．4π2．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知正三棱錐P－ABC的底面邊長為23，若半徑為1的球與該正三棱錐的各棱均相切，則三棱錐P－ABC的體積為（

A．2 B．22 C．3 D．3．（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測）已知正三棱錐A?BCD的外接球是球O，正三棱錐底邊BC=3，側(cè)棱AB=23，點E在線段BD上，且BE=DE，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的最大值是（

A．2π B．9π4 C．34．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知球O內(nèi)切于圓臺（即球與該圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切），且圓臺的上、下底面半徑分別為r1，r2，且r2A．74 B．218 C．525．（2024·陜西寶雞·三模）△ABC與△ABD都是邊長為2的正三角形，沿公共邊AB折疊成三棱錐且CD長為3，若點A，B，C，D在同一球O的球面上，則球O的表面積為（

）A．139π B．208π9 C．6．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是邊長為4的正三角形，D是BC的中點，沿AD將△ABC折疊，形成三棱錐A?BCD．當(dāng)二面角B?AD?C為直二面角時，三棱錐A?BCD外接球的體積為（

）

A．5π B．20π C．557．（2024·天津和平·二模）如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分，將這些陰影部分裁下去，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，則這個正四棱錐的內(nèi)切球（球與正四棱錐各面均有且只有一個公共點）的體積為（

）A．94π B．92π C．8．（2024·安徽安慶·三模）如圖，在一個有蓋的圓錐容器內(nèi)放入兩個球體，已知該圓錐容器的底面圓直徑和母線長都是3，則（

）A．這兩個球體的半徑之和的最大值為3+B．這兩個球體的半徑之和的最大值為4C．這兩個球體的表面積之和的最大值為6+3D．這兩個球體的表面積之和的最大值為10π二、多選題9．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）圖柱的軸截面為正方形，則下列結(jié)論正確的有（

）A．圓柱內(nèi)切球的半徑與圖柱底面半徑相等B．圓柱內(nèi)切球的表面積與圓柱表面積比為2C．圓柱內(nèi)接圓錐的表面積與圓柱表面積比為1D．圓柱內(nèi)切球的體積與圓柱體積比為210．（2024·河北衡水·三模）已知在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2，點M為A1D1的中點，點A．球O的體積為4π3 B．點P的軌跡長度為C．異面直線CC1與BP所成角的余弦值取值范圍為33,2511．（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）在平面四邊形ABCD中，AB=BC=1,AB⊥BC，將△ACD沿AC折起，使D到達(dá)點P的位置．已知三棱錐P?ABC的外接球的球心M恰是AP的中點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．AP,BM與平面ABC所成的角相等B．AC．二面角B?AP?C的大小可能為30D．若∠PBC=45°，則球M三、填空題12．（20