2019高三數(shù)學(xué)（人教A版文）一輪教師用書(shū)第2章第6節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)

第六節(jié)對(duì)數(shù)函數(shù)[考綱](教師用書(shū)獨(dú)具)1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為2,10，eq\f(1,2)的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象.3.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第18頁(yè))[基礎(chǔ)知識(shí)填充]1．對(duì)數(shù)的概念 如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì) (1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)． (2)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a，c均大于0且不等于1，b＞0)． (3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN，③logaMn＝nlogaM(n∈R)．3．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì)定義函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖象a＞10＜a＜1性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過(guò)定點(diǎn)(1,0)當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，y＜0在(0，＋∞)上為增函數(shù)在(0，＋∞)上為減函數(shù)4.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)．[知識(shí)拓展]1．換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論 (1)logab＝eq\f(1,logba)； (2)logambn＝eq\f(n,m)logaB． 其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R.2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較 如圖2-6-1，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)．故0＜c＜d＜1＜a＜B．由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大．圖2-6-1[基本能力自測(cè)]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)log2x2＝2log2x.() (2)當(dāng)x＞1時(shí)，logax＞0.() (3)函數(shù)y＝lg(x＋3)＋lg(x－3)與y＝lg[(x＋3)(x－3)]的定義域相同．() (4)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，且過(guò)點(diǎn)(a,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，－1))，函數(shù)圖象不在第二、三象限．() [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．已知a＝2，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,3)，則() A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b D[∵0＜a＝2＜20＝1，b＝log2eq\f(1,3)＜log21＝0，c＝logeq\f(1,3)＞logeq\f(1,2)＝1，∴c＞a＞B．]3．已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，a≠1)的圖象如圖2-6-2，則下列結(jié)論成立的是()圖2-6-2 A．a(chǎn)＞1，c＞1 B．a(chǎn)＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 D[由圖象可知y＝loga(x＋c)的圖象是由y＝logax的圖象向左平移c個(gè)單位得到的，其中0＜c＜1.再根據(jù)單調(diào)性可知0＜a＜1.]4．(教材改編)若logaeq\f(3,4)＜1(a＞0，且a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))) B．(1，＋∞) C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) C[當(dāng)0＜a＜1時(shí)，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴0＜a＜eq\f(3,4)； 當(dāng)a＞1時(shí)，logaeq\f(3,4)＜logaa＝1，∴a＞1. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))∪(1，＋∞)．]5．(2018·蘇州模擬)計(jì)算：2log510＋log5eq\f(1,4)＝________，2log43＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79170033】 2eq\r(3)[2log510＋log5eq\f(1,4)＝log5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(102×\f(1,4)))＝2，因?yàn)閘og43＝eq\f(1,2)log23＝log2eq\r(3)，所以2log43＝2log2eq\r(3)＝eq\r(3).](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第19頁(yè))對(duì)數(shù)的運(yùn)算(1)設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m等于() A．eq\r(10) B．10 C．20 D．100 (2)(2018·太原模擬)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x等于() A．eq\f(1,3) B．eq\f(\r(3),6) C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),4) (1)A(2)D[(1)∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log ∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2， ∴m＝eq\r(10). (2)由log7[log3(log2x)]＝0得log3(log2x)＝1， 即log2x＝3，所以x＝8， 所以x＝eq\f(\r(2),4).] [規(guī)律方法]1.在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后正用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并． 2．先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算． 3．a(chǎn)b＝N?b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化．[變式訓(xùn)練1](1)(2017·東城區(qū)綜合練習(xí)(二))已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≥4，,fx＋1，x＜4，))則f(2＋log23)的值為() A．24 B．16 C．12 D．8 (2)(2015·浙江高考)計(jì)算：log2eq\f(\r(2),2)＝________，2log23＋log43＝________. (1)A(2)－eq\f(1,2)3eq\r(3)[(1)∵3＜2＋log23＜4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝ 23＋log23＝8×3＝24，故選A． (2)log2eq\f(\r(2),2)＝log2eq\r(2)－log22＝eq\f(1,2)－1＝－eq\f(1,2)；2log23＋log43＝2log23·2log43＝3×2log43＝3×2log2eq\r(3)＝3eq\r(3).]對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用(1)(2016·河南焦作一模)若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是()ABCD (2)(2017·衡水調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x＞0，,3x，x≤0，))且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (1)B(2)(1，＋∞)[(1)若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則a＞1，故函數(shù)y＝loga|x|的大致圖象如圖所示．故選B． (2)如圖，在同一坐標(biāo)系中分別作出y＝f(x)與y＝－x＋a的圖象，其中a表示直線在y軸上截距，由圖可知，當(dāng)a＞1時(shí)，直線y＝－x＋a與y＝log2x只有一個(gè)交點(diǎn)．] [規(guī)律方法]1.在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)． 2．一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．[變式訓(xùn)練2](1)(2018·邵陽(yáng)模擬)若函數(shù)f(x)＝ax－k·a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)g(x)＝loga(x＋k)的大致圖象是() (2)(2018·合肥模擬)當(dāng)0＜x≤eq\f(1,2)時(shí)，4x＜logax，則a的取值范圍是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79170034】 A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2) (1)B(2)B[(1)由題意函數(shù)f(x)＝ax－k·a－x(a＞0且a≠1)在(－∞，＋∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，∴有f(0)＝0，即0＝1－k， ∴k＝1，根據(jù)增＋增＝增，∴y＝ax是增函數(shù)，∴a＞1. 那么函數(shù)g(x)＝loga(x＋1)(a＞1)的圖象單調(diào)遞增，恒過(guò)(0,0)，故選B． (2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，當(dāng)a＞1時(shí)不滿足條件，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的圖象，可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2＜logaeq\f(1,2)，則a＞eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).]對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1比較對(duì)數(shù)值的大小(1)(2016·全國(guó)卷Ⅰ)若a＞b＞0,0＜c＜1，則() A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb (2)(2018·榆林模擬)設(shè)a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，則a、b、c A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a (1)B(2)B[(1)∵0＜c＜1，∴當(dāng)a＞b＞1時(shí)，logac＞logbc，A項(xiàng)錯(cuò)誤； ∵0＜c＜1，∴y＝logcx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，又a＞b＞0， ∴l(xiāng)ogca＜logcb，B項(xiàng)正確； ∵0＜c＜1，∴函數(shù)y＝xc在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 又∵a＞b＞0，∴ac＞bc，C項(xiàng)錯(cuò)誤； ∵0＜c＜1，∴y＝cx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減， 又∵a＞b＞0，∴ca＜cb，D項(xiàng)錯(cuò)誤． (2)因?yàn)閍＝60.4＞1，b＝log0.40.5∈(0,1)，c＝log80.4＜0，所a＞b＞C．角度2解簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)不等式(1)(2018·哈爾濱模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋log2x，x＞0,x2－x－1，x≤0))，則不等式f(x)≤5的解集為() A．[－1,1] B．(－∞，－2]∪(0,4) C．[－2,4] D．(－∞，－2]∪[0,4] (2)(2016·浙江高考)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，則() A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0 C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0 (1)C(2)D[(1)由于f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＋log2x，x＞0,x2－x－1，x≤0))， 當(dāng)x＞0時(shí)，3＋log2x≤5，即log2x≤2＝log24，解得0＜x≤4，當(dāng)x≤0時(shí)，x2－x－1≤5，即(x－3)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤0， ∴不等式f(x)≤5的解集為[－2,4]，故選C． (2)法一：logab＞1＝logaa， 當(dāng)a＞1時(shí)，b＞a＞1； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜b＜a＜1.只有D正確． 法二：取a＝2，b＝3，排除A，B，C，故選D．]角度3探究對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)已知函數(shù)f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79170035】 [解](1)因?yàn)閒(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，a＝－1，這時(shí)f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3＞0，得－1＜x＜3， 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3， 則g(x)在(－1,1)上遞增，在(1,3)上遞減． 又y＝log4x在(0，＋∞)上遞增， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,1)， 單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)． (2)假設(shè)存在