小學數(shù)學教學案例課程第二章如何進行估算教學

小學數(shù)學教學案例課程第二章如何進行估算教學本章重難點分析【重點】在教學中，能指導學生選擇適當?shù)膯挝贿M行簡單的估算。2.學生能理解估算的意義。【難點】1.對有關于估算的教學案例進行評析。第一節(jié)導言估算作為一種重要的數(shù)學能力，近些年來逐漸受到國際數(shù)學教育界的重視，全美數(shù)學教師理事會編寫的《美國學校數(shù)學教育的原則和標準》中對估算提出了明確的要求：學前期至十二年級的數(shù)學教育應該使所有的學生都能夠熟練地計算并進行合理的估算。荷蘭、英國、法國等國家的正式課程中也包括估算內(nèi)容的教學。我國新一輪數(shù)學課程改革對學生估算能力的培養(yǎng)也給予了充分的重視?！墩n程標準》中對估算教學提出了具體的目標和要求。第一學段的具體目標提出“在具體情境中，能選擇適當?shù)膯挝贿M行簡單的估算”，第二學段的目標是“理解估算的意義”。一、關于估算問題的認識從一份測試說起在一次考試中出現(xiàn)了下面兩道題，而分析學生的答案會發(fā)現(xiàn)一個很有趣的現(xiàn)象。第1題計算估算第2題計算估算37人0人27人10人可以發(fā)現(xiàn)在這兩道題目中學生受“大約”一詞的影響，在可以估算的題目中沒有采取估算策略，而在不應估算的題目中卻錯誤地使用了估算，約占總人數(shù)的27%。具體看：在第1題中，雖然沒有出現(xiàn)“大約”一詞，但在實際生活中人們常常無法（有時也沒必要）進行精確的運算和判斷，這時只需采用估算。如購物吃飯，要估算價格；行車走路，要估算時間；出差旅游，要估算路程；投資經(jīng)商，要估算成本、利潤等等。但37名學生沒有一人用了估算策略，學生只是簡單地將有無表示大概的詞作為是否進行估算的一個標準，可以看出估算意識沒有深入學生的頭腦中。在第2道題目中“大約”的含義是因為兩地之間的距離不可能是準確的348千米，“大約”在題目中有近似的意義。因此在這樣的問題表述中表面看有“大約”，但不屬于需要估算的問題，學生錯用估算在其他情境中也常出現(xiàn)。從上面的例子中可以看出，估算在教學中仍然存在很大的問題，值得我們給予關注。（1）何為估算?！肮浪恪钡难芯?，在數(shù)學領域中是一個較新的課題，從20世紀80年代開始才獲得了人們的一定重視。但是，實際上每個人對估算都不陌生，在日常生活中，人們或多或少都會運用估算能力來解決一些問題。譬如，到超市選購物品，人們在結算前大多會對自己所買物品的價錢進行一下估算，一來可以看看自己帶的錢是否充足，二來還可以和收銀處的結果對照。這就是估算在生活中的典型應用?？梢姡粘Ｉ铍x不開估算，估算在生活中有著廣泛的應用性。估算會為人們的生活帶來方便與快捷。由此，估算是數(shù)學教育中的重要內(nèi)容。教師要幫助學生提高估算能力，首先要清楚估算的含義。什么是估算？估算是一種近似計算，是對計算結果在一定范圍內(nèi)做出合理的估計。估算采用口算的形式，不借助筆、紙、計算器等工具，并且要求迅速得出結果。從估算的定義可以看出其特點有以下五個：第一，估算值與精確計算的準確值之間有一定的差距；第二，估算雖不要求精確的計算結果，但是也不能漫無邊際地估計，估算值與準確值的差距是在一定范圍內(nèi)的；第三，估算要有一定的依據(jù)，其結果應是合理的；第四，估算采用口算的形式，不借助筆、紙、計算器等工具；第五，估算要求迅速，人們往往對一些復雜的數(shù)據(jù)進行估算，估算的目的之一便是迅速地了解大致結果。（2）估算與精算。估算與精算兩個詞的字面意義反映出了兩種計算方式在結果的準確程度上的差異，估算能力與精算能力是個體最基本的兩種計算能力。研究表明，雖然它們都是個體計算能力的重要成分，但是二者具有不同的性質，主要表現(xiàn)在以下幾方面：首先，從它們的表現(xiàn)特點來看，精算能力主要是一種程序化、精確化、相對更外部化的認知能力，個體往往需要運用紙筆或語言幫助計算，所得結果較為精確；估算能力則表現(xiàn)出較強的直覺化與內(nèi)隱性特點，其所得結果只是在一定范圍內(nèi)對答案的估計。其次，從它們在個體工作、學習中的作用來看，精算能力有助于個體有效地解決抽象的數(shù)學問題，形成嚴格的邏輯思維；而估算能力則在個體解決實際問題的過程中發(fā)揮著重要作用，估算在日常生活中使用較為頻繁，具有很強的實用性和廣泛性。最后，從它們發(fā)展的先后順序看，在兒童計算能力的發(fā)展過程中，估算能力的發(fā)展要相對早于精算能力，表現(xiàn)為一個由以估算能力為主逐漸過渡為以精算能力為主的發(fā)展模式。從目前對于這兩種計算能力的研究結果來看，估算能力與精算能力不僅在表現(xiàn)形式、作用、發(fā)展順序等方面存在差異，同時，它們的起源、認知機制與腦基礎也不盡相同，是兩種不同性質的計算能力。雖然這兩種計算能力存在著如此多的區(qū)別，但是，它們之間也存在著密切的聯(lián)系。估算能力與精算能力在精算過程中均發(fā)揮著重要作用；估算能力與精算能力的特點具有較好的互補性，在解決問題的過程中存在一定的協(xié)同性；估算能力與精算能力在個體發(fā)展過程中并不是并列或平行的關系，而是彼此交錯、相互影響的。（3）估算與取近似值。估算與取近似值之間既有相似之處，又有本質區(qū)別。估算和取近似值的結果都不是精確計算的準確值，它們與準確值之間都有一定的差距。但是，估算是一種計算的方法，其本質是“算”；而取近似值是對精確計算的結果運用“四舍五入法”或“進一法”、“退一法”取值。估算結果要求只要在一定范圍內(nèi)即可，因此，對一個算式的估算可以有多種結果；而當取近似值的要求一旦確定（如，結果保留兩位小數(shù)），答案便是唯一的。（4）估算的方法與策略。估算的基本過程大致可以分為三個階段：第一，簡化數(shù)據(jù)，簡化的目的是使數(shù)據(jù)的處理變得較為容易，例如，將算式176X29÷9簡化成180X30÷9，值得注意的是，簡化是對數(shù)據(jù)的簡化，不要改變問題的結構，即運算順序。第二，變換，是對問題的結構進行變形以便于操作，如將180X30÷9轉變成180÷9X30，進而計算出結果。估算的基本過程大致可以分為三個階段：第三，調(diào)整結果，由于實行前面的兩步會使原題結果產(chǎn)生變化，因此，要適當調(diào)整所得結果以減小誤差，如上面例子中，由于前面的簡化會使結果變大，因此，要適當縮小估算結果。根據(jù)上述三個階段，可以具體地總結出一些相應的策略。以下這些策略與技巧是國外學者通過對優(yōu)秀估算者使用策略的研究得出的結論。①首位策略。首位策略是利用最高位進行估算。利用首位策略估算時，首先要確定題目中最重要的數(shù)字——最高位上的數(shù)字，然后進行適當?shù)倪\算，最后確定結果的數(shù)位。這個過程適用任何運算，但是更適合加法、減法和除法的估算。首位策略的優(yōu)點在于它很簡單，運算過程中的數(shù)在原題中是可見的，年齡小的學生也能算得很快。使用這種策略可以讓學生經(jīng)歷成功的體驗，這種成功體驗是很重要的。同時，這種技巧也適合高年級的學生和成人，而且適用于其他的數(shù)，像分數(shù)、小數(shù)等。②取近似值法。取近似值法就是先對算式中的數(shù)取近似值，最好是取整十整百的數(shù)，然后再進行計算，這樣計算起來就簡單多了。取近似值的方法尤其適用多位數(shù)的乘法。在使用這種方法時，學生可以取不同的近似值。例如，估算95X43，可以將95看成90，將43看成40，那么就是計算90X40了；還可以將95看成100，43不變，計算100X43。這種取近似值的方法都可以簡化題目，使問題易于口算。隨著學生估算能力的提高，對數(shù)的認識逐步深入，他們會根據(jù)自己計算的習慣來取近似值，以達到簡化的目的。取近似值的方法比首位策略要抽象一些，它包括兩個步驟，取近似值和口算。學生在使用這種方法時應該知道，取近似值的目的是為了將題目中的數(shù)簡化成可以口算的數(shù)。③協(xié)調(diào)法。協(xié)調(diào)法與取近似值法有些類似，相比之下，協(xié)調(diào)法更復雜一些。協(xié)調(diào)法，也是先對算式中的數(shù)取近似值，然后計算，但是近似值不是隨意取，而是取容易計算的數(shù)。拿除法算式估商的例子來說明，我們在對被除數(shù)和除數(shù)取近似值時，所取近似值要使得除數(shù)能夠整除被除數(shù)。例如，在估算2256÷6時，將2256看成2300（最接近的整百數(shù)）或者2000（最接近的整千數(shù)）對于估算是沒有幫助作用的，但是將2256看成2400（協(xié)調(diào)數(shù)）就容易計算了，因為2400能夠被6整除。在除法算式估商的時候，找這樣的協(xié)調(diào)數(shù)是很有效的方法。協(xié)調(diào)法也適用于估算多個加數(shù)的加法。④平均估算法。平均估算法適用于包含許多加數(shù)的加法運算，其中，這些加數(shù)的大小又都比較接近。平均估算法就是先在這組數(shù)中選擇一個合理的平均值，然后再用這組數(shù)的個數(shù)乘以這個平均值，得到估算結果的方法。下面舉個例子來說明，這組數(shù)都接近3，又因為有6個數(shù)，所以，估算的結果是18。雖然平均估算法是個特殊的方法，但是，它仍然具有很強的適用性。這種方法最大的優(yōu)點在于避免了多次反復使用首位策略和取近似值的方法，而是用很簡單的數(shù)字和容易的算式取代。⑤調(diào)整策略。調(diào)整策略是對其他估算策略的補充與完善，使得估算的結果更為合理，這個過程通常在使用其他估算方法后使用。例如，在首位策略中提到的問題13000明顯地估小了，應當加上一些。對于此題，加上1000比較合適，那么14000應該是估算的最終結果。恰當?shù)厥褂谜{(diào)整策略是學生估算能力提高的標志。雖然許多學生很清楚估算的結果需要調(diào)整，但是，他們不知道如何確定究竟要調(diào)整多少才合適，這對學生來說是一個較大的困難。一開始，學生們通常借助直覺來決定調(diào)整多少。但是，隨著學生估算能力的提高，他們調(diào)整的能力也會逐步提高。二、學習估算的意義估算能力是人們?nèi)粘Ｉ钪斜匦璧哪芰?，是社會生活對人的基本要求。因此，學習估算對學生適應社會生活有很重要的意義。除了適應社會生活之外，學習估算還可以培養(yǎng)學生的思維能力，發(fā)展其數(shù)感，有利于學生數(shù)學能力的發(fā)展。1.日常生活的需要在日常生活中，許多情況下是不需要進行精確計算的。據(jù)統(tǒng)計，人們平時在解決問題時，利用估算與精確計算的比例為3：1，一個人估算能力的強弱直接影響到人的生活節(jié)奏的快慢和工作效率的高低。隨著社會科學技術的發(fā)展，估算能力變得越來越重要?？茖W技術的進步，尤其是計算器和計算機的普及，使估算能力變得更為重要。2.培養(yǎng)學生的思維能力估算教學可以培養(yǎng)學生思維能力，主要表現(xiàn)在以下四方面：（1）培養(yǎng)學生思維的準確性。思維的準確性是指學生的思維活動符合邏輯，判斷推理準確。估算的目的之一是對計算結果做出合理的判斷，這個判斷不僅僅針對算式的計算結果，還包括考慮是否符合實際情況。通過估算，學生可以確定計算結果的數(shù)值范圍，并根據(jù)實際情況，判斷計算結果是否合理和正確，達到減少錯誤的目的，從而提高學生思維的準確性。（2）培養(yǎng)學生思維的敏捷性。思維的敏捷性是指思維過程的速度或迅速程度，即在處理具體問題的過程中，能夠迅速判斷，迅速做出反應，迅速得出結論。敏捷地思維，可以使人在緊急的情況下積極地思維，正確地判斷和迅速地做出結論從而解決問題。估算的特征之一，就是根據(jù)具體的條件和相關的知識，對事物結果迅速合理地做出推斷。估算教學，可以讓學生靈活運用已有知識和經(jīng)驗，以敏銳的觀察能力和迅速的判斷能力，對問題進行簡化推理，一下就抓住問題的本質，使問題得到解決，這個過程培養(yǎng)了學生思維的敏捷性。（3）培養(yǎng)學生思維的靈活性。思維的靈活性是指思維活動的靈活程度，這是一種隨機應變的思維能力，主要表現(xiàn)是，學生在思維活動中，善于打破常規(guī)，主動克服思維定式的消極影響，機動靈活地從多角度、多層次去思考問題。這里的思維的靈活性與發(fā)散思維的意思比較接近。由于估算結果不唯一，因此，估算給學生提供了一個比較靈活、寬松的思考空間，可以培養(yǎng)學生思維的靈活性。（4）培養(yǎng)學生思維的創(chuàng)造性。思維的獨創(chuàng)性是人類思維的高級形態(tài)，是智力的高級形態(tài)。它的四個主要特點是：認知的深刻性、獨特性、發(fā)散性和新穎性。在學習過程中，表現(xiàn)為學生善于獨立思考，能夠發(fā)現(xiàn)事物的本質屬性和共同規(guī)律，提出新穎的、與眾不同的解決問題的途徑和方法。由于估算的結果不唯一，估算的方法也可以是多種多樣的，學生在估算時就有很大的空間來發(fā)揮自己的想象，學生可以根據(jù)自己的計算習慣或對問題的判斷來確定使用哪種估算方法，在這個過程中，學生思維的創(chuàng)造性得到了培養(yǎng)。在教學中，教師要不斷鼓勵學生從不同的角度靈活運用所學的知識，結合估算發(fā)現(xiàn)一些獨特的解題思路，尋找到一些新穎的解題方法。這樣，學生的創(chuàng)造能力才能得到發(fā)展。3.發(fā)展學生的數(shù)感國內(nèi)外許多學者都研究過“數(shù)感”，但對什么是“數(shù)感”，很難做出清楚的界定。不同學者有著不同的看法。例如，學者索德等人認為，“數(shù)感”主要是指“很好地發(fā)展起來的整體性概念網(wǎng)絡”，也就是指將數(shù)和運算的各種性質很好地聯(lián)結起來。由此可以看出，對數(shù)和運算的性質能夠靈活地、創(chuàng)造性地加以應用，既是“數(shù)感”的表現(xiàn)，也是估算的要求。全美數(shù)學教師理事會組織編寫的《數(shù)學教與學研究手冊》是數(shù)學教育領域內(nèi)的一部權威性著作。此書第十六章“估計與數(shù)感”中明確提出了估算是發(fā)展“數(shù)感”的重要手段之一，同時，估算能力又可以看作“數(shù)感”的表現(xiàn)之一。三、影響估算能力的多種因素影響估算能力的因素有多種，包括具體的估算策略和相關的數(shù)學知識與能力，如一定的心算能力、一定的解決問題能力等。另外，一般的數(shù)學能力和心理因素都會影響學生估算能力的發(fā)展。例如，學生是否具有相關的經(jīng)驗，學生對自己所進行的估算活動是否有足夠的自信心，以及學生如何看待計算結果，都是影響估算活動的重要因素。由此，要提高學生的估算能力，除去必要的知識和技能以外，教師還應該幫助學生更好地認識估算的性質和意義，并且培養(yǎng)學生解決問題的自信心。學生對于數(shù)學學習的觀念和對于估算意義與目的的認識，在很大程度上也會影響學生的估算能力。一些不恰當?shù)挠^念對學生的估算活動會產(chǎn)生嚴重的消極影響，例如，有研究表明，學生們通常會認為“計算的精確性是最高的準則，我們完全無須從其他角度再對運算的正確性做出分析”，“任何問題都只有唯一正確的解答與解題方法”，等等。這些不正確的觀念，不僅會影響學生的估算活動，而且會對其他數(shù)學活動產(chǎn)生嚴重的消極影響。因此，幫助學生很好地認識估算的性質和作用有助于糾正學生的一些錯誤觀念。第二節(jié)案例分析與評析一、創(chuàng)設估算情境，挖掘估算內(nèi)容二、估算課上的教師角色一、創(chuàng)設估算情境，挖掘估算內(nèi)容案例一加減法估算情境一師：同學們，媽媽帶100元錢去商店買下列生活用品，熱水瓶28元，茶壺43元，一套茶杯24元，你說媽媽帶的錢夠嗎？（生想了想，幾秒鐘后紛紛舉手）生：老師，我是口算的，三樣用品總共需要95元，媽媽帶的錢夠了。生：老師，100元是夠的。我是這樣算的：28元加43元是71元，再加上24元等于95元。（其他同學聽了也紛紛點頭同意）師：（有些著急，希望接下去會有心中的標準答案出現(xiàn)）還有沒有其他算法呢？師：（稍等了一下，開始講解估算方法）這道題我們還可以估算！同學們看，我們已經(jīng)學過了“四舍五入”法，可以把28元估成30元，43元估成40元，24元估成20元，30加40加20等于90元，所以媽媽帶的錢夠了。情境二師：同學們，這兩樣用品標價上的個位數(shù)字不小心被墨汁弄臟看不清了，請大家?guī)托∶鞯膵寢屜胍幌耄I兩樣用品各一件，需要多少錢？帶80元夠了嗎？先請學生思考后，安排小組討論。生：兩樣用品各一件可能要60多元。熱水瓶是20多元，加上茶壺是40多元，所以我估計大概是60多元。生：也有可能是70多元，如果當兩樣用品價錢的個位數(shù)相加超過10元時，總價就是70多元了。情境三生：我也覺得是70元左右，兩樣用品價錢的個位數(shù)字也有可能在5元左右，因為我平時看超市里一些標價的個位數(shù)字，有5的比較多。生：如果我們把這兩樣用品價錢的個位數(shù)字都想成1，那么總價是62元，如果我們把這兩樣用品價錢的個位數(shù)字都想成9，那么總計最多就是78元?！军c評】：面對同一教學內(nèi)容，對比兩個教學情境，我們可以發(fā)現(xiàn)：讓學生能想到應用“估算”是進行估算教學的第一步，為此教師可以為學生創(chuàng)設生活化的情境。在教學時，教師要遵循學生認知發(fā)展規(guī)律和心理特點設計適合學生思考的有效情境，給學生留有足夠的思考和探究空間。在情境一中，學生已經(jīng)有百以內(nèi)的計算基礎，利用口算就能解決問題。面對這樣的問題，學生很難感受到估算的價值和必要性。在教師帶領下進行的“偽估算”效果必定不好。情境二雖然只對教材內(nèi)容進行很小的修改，但卻使學生充分感知了估算在生活中的作用，了解、體驗、經(jīng)歷了估算的內(nèi)容、意義和方法。數(shù)學家弗賴登塔爾說過：數(shù)學是現(xiàn)實的，學生從現(xiàn)實生活中學習數(shù)學，再把學到的數(shù)學應用到現(xiàn)實中去?？梢?，生活經(jīng)驗是學生學習數(shù)學的基礎。此教學過程充分體現(xiàn)了數(shù)學與生活的密切聯(lián)系，貫徹了數(shù)學教學要從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)的思想，使學生有運用數(shù)學知識解決實際生活問題的機會，有用數(shù)學的眼光觀察周圍世界的機會，增強了學生的數(shù)學應用意識，從而培養(yǎng)學生解決問題的能力和實踐能力。二、估算課上的教師角色乘法估算案例（一）創(chuàng)設情境實例引入師：課前，請同學們調(diào)查我校三年級各班的人數(shù)。誰來向大家介紹一下？生1：三（1）班有78人，三（2）班76人，三（3）班79人，三（4）班77人，三（5）班76人，三（6）班77人。師：根據(jù)這位同學匯報的結果，思考一下：三年級每個班大約有多少人，再估計一下整個三年級一共有多少名同學？生2：三年級每個班人數(shù)大約有80人，有6個班，所以三年級的總人數(shù)大約有480人。師：香蕉每千克1元8角，媽媽要買5千克，她帶多少錢合適？誰來幫媽媽估計一下？生3：媽媽帶9元錢合適。因為1元8角×5=9元。生4：媽媽帶10元錢合適。因為1元8角接近2元，2元×5=10元。師：在這里，9元是一個準確數(shù)，10元是一個近似數(shù)。平時，我們在買東西之前，也需要像媽媽一樣先估計一下大約帶多少錢。這種計算不需要算得太精確，只要能方便地算出它的近似數(shù)就可以了。像這樣的計算就是估算。今天我們就來探究有關估算的知識。（板書：估算）（二）探究新知XX。（三）鞏固新知XX。（四）發(fā)展練習形成技能XX。（五）課堂小結（此處因篇幅受限，故省略）【評析】：此案例中，學生是學習的主體，他們自己調(diào)查數(shù)據(jù)，并對自己調(diào)查的數(shù)據(jù)進行估算，充分體驗了學習數(shù)學的過程。教學過程當中，教師不斷地為學生提供合作交流的機會，不論是組內(nèi)交流還是全班交流，學生都在獨立思考的基礎上借鑒了其他同學的思想與方法，并在此過程中不斷完善自己的想法。教師提出的所有問題，都是學生們通過自己的獨立思考、討論交流、分享總結這幾個環(huán)節(jié)解決的。新課程下，數(shù)學被看成是一項人類活動，學生在數(shù)學課上的學習就是在參與數(shù)學活動。數(shù)學課堂的一切都要圍繞學生的活動展開，學生是活動的主人。與之相隨的，就是教師的角色要發(fā)生改變，教師要從一個知識的傳授者轉變?yōu)閷W生發(fā)展的促進者?！墩n程標準》指出：“教師是數(shù)學活動的組織者、引導者和合作者。”教師的作用，特別要體現(xiàn)在引導學生思考和尋找眼前的問題與自己已有的知識體驗之間的關聯(lián)方面，在于提供把學生置于問題情境之中的機會，在于營造一個激勵探索和理解的氣氛，在于為學生提供有啟發(fā)性的討論模式。上面的案例中，教師就較好地處理了教師的角色和師生間的關系，成為學生學習數(shù)學的組織者、引導者和合作者，對學生的學習起到了良好的促進作用。第三節(jié)教學機智一、加深認識，轉變觀念傳統(tǒng)教學過程中，學生形成了一些對數(shù)學學習的不正確的觀念。有研究表明，許多學生不理解估算的內(nèi)涵、意義和目的，認為估算得到的結果不如精算的結果好，認為估算不是真正的數(shù)學，估算值不是要得到的最終答案，因而，他們總傾向于求出精確答案。例如，當五年級的學生看到“估算56×28”這一題時，一些學生會試圖心算以得到精確答案。許多學生想得到所謂的“正確”答案，而忽視了估算的應用。還有一些學生會寫下算式，用紙、筆計算得出答案，然后再取積的近似值來得到估算的答案。這個過程當然不是估算，教師也不應該允許學生用這種計算后再取近似值的方法。學生不理解估算的內(nèi)涵、意義和目的，就不可能主動運用估算技能解決問題。學生對估算的錯誤態(tài)度是進行估算教學的主要障礙，因為他們往往只想快速計算出精確答案而忽略了估算。要提高學生的估算能力，教師首先要幫助學生理解估算的意義和目的，認識估算的重要性。估算與精算的思維方式是不同的，許多好的估算者說他們在數(shù)學課上從不估算，因為數(shù)學課上總是要求得到精確答案。因此，估算教學的前提，是教師幫助學生轉變觀念，使他們認識到估算是一種非常重要的能力。只有讓學生認識到這一點，學生才會主動使用估算策略解決問題。觀念的轉變將會幫助學生轉變對估算的態(tài)度，增強學生的估算意識，促進學生估算能力的提高。要轉變學生的關于估算的不正確的觀念，教師首先要對估算持有正確的理解。上圖是一幅選擇計算方法解決問題的流程圖。從圖中我們可以看出：當給定一個具體的問題情境后，首先要確定是否需要計算，然后再根據(jù)題目的具體要求，確定適合的計算方法。如果這個情境不需要精確答案，可以使用估算，快速地算出大概范圍；如果需要精確答案，再根據(jù)題目特點考慮使用哪種精算的方法。從圖中我們還可以看出：估算與其他計算方法關系密切。即使用筆算、心算或借助計算器等算出精確答案，在計算之前或之后也需要估算一下答案的合理性與可靠性。教師不僅要對估算的內(nèi)涵、意義和目的有正確的認識，而且在教學過程中，教師還要轉變角色?！墩n程標準》指出：“教師是數(shù)學活動的組織者、引導者和合作者?！痹诠浪憬虒W過程中，教師只有發(fā)揮好了組織者、引導者和合作者的作用，才能保護學生估算的熱情和主動性。二、估算教學策略以下估算教學策略來自國外的研究。1.估計練習要提高學生的估算能力，首先要培養(yǎng)學生估計的能力。對于估算用途的介紹能夠幫助學生意識到估算的重要性，并且讓學生知道究竟哪些情況下需要估計，哪些情況下不能估計。例如，教師可以向學生提出的問題，有的需要精確答案，如：“你家的電話號碼是多少?”而有些則不需要精確答案，大概接近就可以了如：“你多大了?”教師也可以用另外一種方法提問，如下面哪種請求需要精確答案，哪種請求用精確答案來回答不實際？飛行員告訴我們正在多少千米的高空飛行？美國有多少人口？你的新車用的是哪種里程表？世界上最大的漢堡連鎖店從開店到現(xiàn)在賣了多少個漢堡包了？一旦學生開始注意估計的用途，他們很快會開始思考其他的估計情境。估計的題目中通常有一些關鍵詞，學生能夠總結出一些，例如“幾乎、將近、大約、接近”等。這些基礎練習會有效地激發(fā)學生對估計的目的和作用的正確認識。一旦這種認識形成了，基本和有效的估計策略就可以開始學習了。2.首位策略學生需要意識到在估算中，一個數(shù)中最重要的數(shù)字是首位（或最高位）數(shù)字，而不像筆算要從最低位開始算起。要幫助學生明白這點，教師可以在黑板上寫一個三位數(shù)，并用一張紙或一塊板子遮住，然后讓學生來猜這個數(shù)，看學生猜的能夠多么接近這個數(shù)。在猜之前，學生可以看到一個數(shù)字，這個數(shù)字是學生自己選擇的。在這個活動中，會有一些學生選擇看百位數(shù)字，這個數(shù)字可以提供非常重要的信息（見圖2—2）；其他同學也許會要求看別的數(shù)字（見圖2—3）。在游戲之后，教師要引導學生討論在猜之前選擇看哪個數(shù)字更容易猜得接近？為什么？像這樣的練習能夠幫助學生認識到首位數(shù)字是最有用的。如圖2—4，加法算式的一部分被遮住了，教師問學生：“如果被遮住的部分不能看到，能計算出精確答案嗎?”學生可以展開討論。既然首位數(shù)字可以看到，學生會進行估算。例如，4+2+1=7，7是最后的答案嗎？很顯然，算式中的每個數(shù)都是三位數(shù)，因此，700是合理的估算結果。接下來，教師還可以引導學生展開進一步的討論，如，700是不是估多了？我們怎么才能得到更接近的答案？通過這種練習，學生將會掌握估計的方法與技巧。3.取近似值雖然取近似值與估算有著本質的區(qū)別，但是培養(yǎng)學生取近似值的能力有助于培養(yǎng)學生的估算能力，因為估算的第一步就是要將復雜的數(shù)據(jù)簡化，即取其近似值。同時，要加強學生心算乘數(shù)是10的乘法的能力，為估算奠定基礎。當學生熟練掌握以上技巧后，教師要為學生提供交流和共享的機會。學生們都有自己獨特的估算方法，為學生提供交流的機會是非常重要的。值得注意的是，估算并不是給定策略的機械應用，這也正是好的估算者與較差的估算者的一個重要區(qū)別，前者明顯地表現(xiàn)出思維的靈活性與策略的多樣性。有一個調(diào)查可以說明此問題。在一次對35個數(shù)學家進行的測試中，僅就“546÷33.5”這樣一個問題，被試就采用了22種不同的策略；而且，在幾個星期后對部分數(shù)學家進行的復試中，又有大約一半的人使用了與原來測試中完全不同的策略?！稊?shù)學教與學研究手冊》中也寫道：“好的估算者表現(xiàn)出了思維的靈活性，并能采用多種不同的策略，他們對數(shù)和運算有深刻的理解，并能在估算中不斷地對此加以應用?！币虼耍處熢诮淌诠浪悴呗缘耐瑫r，不要輕易否定學生的方法，要保護學生的獨特想法。三、估算評價方法對學生估算能力的評價是一個較難的問題。當教師出示卷子要求學生估算時，學生通常想用筆、紙快速計算出答案，然后再取近似值作為估算的答案。這個過程顯然不是估算。下面是幾個檢測學生估算水平時可采用的技巧：三、估算評價方法1.時間的控制估算每道題的時間必須嚴格控制。但是時間不能太長，也不能太短。時間太長學生將會有時間用紙、筆進行計算，時間太短學生就會亂猜答案。要避免這兩個極端現(xiàn)象，可以找一些學生來試驗，然后確定合適的時間。答題時間的長短可以根據(jù)題目的復雜性和學生年級的高低進行調(diào)整。2.問題的設計估算測驗的題目最好使用開放題。估算的答案要在一個范圍內(nèi)，劃定這個答案范圍的有效方法是找到解決這個問題的所有方法，然后找到最小值和最大值以確定范圍。例如，一箱罐頭賣47元，要買28箱，最小值1200是有局限性的，然而最大值1500能使估算者決定這些錢是否夠用。選擇題不適合用來測試學生的估算能力，研究表明學生對待選擇題和開放題使用的方法和策略是不同的。也有證據(jù)表明，對于同一個問題，分別用選擇題的形式和開放題的形式呈現(xiàn)，其正確率是不同的。3.數(shù)據(jù)的選擇估算題目中的數(shù)據(jù)越復雜越好，這樣才能激發(fā)學生估算的欲望。問題中的數(shù)據(jù)要讓學生明確感覺到?jīng)]有足夠的時間來精確計算，即便有時間，計算起來也將是一件苦差事。學生們已經(jīng)習慣了計算出精確答案，當他們逐漸意識到快速得到一個近似答案是被老師接受的，他們的估算意識就會增強了。下面就舉一些適合的和不適合的例子。68×10很適合口算，然而68×12就需要估算了。像78+83這樣的問題學生能夠很快地口算出來，但是783427+830224就能激發(fā)學生的估算欲望。大體上來說，加法問題應該有兩個以上的加數(shù)或者加數(shù)是多位數(shù)（四位或更多）。4.創(chuàng)設問題情境國外有研究表明，學生回答有問題情境的題目的正確率明顯高于回答干巴巴的只有數(shù)字的算式題目。因此可以認為，情境