浙江省七彩陽光新高考研究聯(lián)盟2023-2024學年高一下學期4月期中聯(lián)考數(shù)學試題

絕密★考試結束前2023學年第二學期浙江七彩陽光新高考研究聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學學科試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并填涂相應數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4.考試結束后，只需上交答題紙.選擇題部分一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的交集運算求解.【詳解】解：因為集合，=或，所以，故選：C2.已知復數(shù)滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復數(shù)，再判斷其虛部即可.【詳解】因為，所以，所以的虛部為.故選：B3.下列函數(shù)在上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)與反比例函數(shù)定義及性質逐一判斷即可.【詳解】由于函數(shù)的定義域為，不符合已知條件，故A不符合題意；根據(jù)冪函數(shù)的性質得函數(shù)在單調遞減，故B不符合題意；根據(jù)冪函數(shù)的性質得函數(shù)在單調遞增，故C符合題意；由于是向左平移1個單位得到，所以在單調遞增，故D不符合題意，故選：C.4.如圖是用斜二測畫法得到的直觀圖，，，其中是的中點，則在原圖中最長的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量關系畫出原圖，在原圖中比較長度即可.【詳解】因為在直觀圖中，，所以，所以且，所以.作出原圖，如圖所示.在原圖中，，，所以，又因為為中點，所以，所以原圖中最長的是.故選：B.5.在中，角，，的對邊分別為，，，若，且的最短邊與最長邊的長度和為6，則的面積為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理得出，再根據(jù)最短邊與最長邊的長度和為6求出各邊長，計算面積即可．【詳解】因為，所以由正弦定理得，所以最長邊為，最短邊為，設，則，解得，所以，由余弦定理，故為銳角，所以，所以，故選：D．6.已知向量，滿足，，，則在上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義以及向量的坐標運算求解即可.【詳解】因為，所以，又把兩邊平方得，即，解得，所以在的投影向量坐標為，故選：A.7.下列各數(shù)中最大的數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先得到，，，，再比較與的大小關系，即可得到，從而得解.【詳解】因為，，，，又因為，，所以，即，所以，又，所以，即，故這個幾個數(shù)最大的是.故選：A8.已知實數(shù)，，滿足（），則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】借助已知可變形得，借助基本不等式可求范圍.【詳解】根據(jù)已知，可得，則，因為，所以，所以上式，當且僅當，即時等號成立，所以的取值范圍是.故選：D二.選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在中，角，，的對邊分別為，，，則（）A.若，則B.若，，則外接圓的半徑為2C.若，則為鈍角三角形D.若，則點是的重心【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值判斷A，利用正弦定理判斷B，利用余弦定理判斷C，根據(jù)重心的定義判斷D.【詳解】對于A：若，，滿足，但是，，故A錯誤；對于B：由正弦定理，所以，即外接圓的半徑為，故B正確；對于C：由余弦定理，又，所以為鈍角，故為鈍角三角形，故C正確；對于D：取中點，則，又，所以，所以在中線上，且，所以為的重心，故D正確；故選：BCD10.已知函數(shù)的定義域為，，且當時，，則下列說法正確的是（）A.當時，B.當時，C.若對任意的，都有，則的取值范圍是D.若，則有3個互不相等的實數(shù)根【答案】AC【解析】【分析】由已知，可得，從而可得當時，的解析式，即可判斷A，B選項；由函數(shù)在上的圖象平移變換，結合的圖象，對任意的，都有，可得的取值范圍，進而判斷C選項；由在上的單調性，作出函數(shù)和的圖象，可得兩函數(shù)交點個數(shù)，則可判斷D選項.【詳解】當時，，因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，函數(shù)的定義域為，滿足，即，且當時，,當時，，故，故A正確，B錯誤；將函數(shù)在上的圖象每次向右平移2個單位，再將縱坐標伸長為原來的2倍即可得函數(shù)在上的圖象，同理可得函數(shù)在上的圖象每次向左平移2個單位，再將縱坐標縮短為原來的倍即可得函數(shù)在上的圖象，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由此可令，即有，解得，又因為對任意的，都有，由圖象可得，故C正確；因為，易知在上單調遞增，且，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示：由此可得兩函數(shù)只有一個交點，所以只有1個實數(shù)根，故D錯誤.故選：AC.11.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．如圖在一個棱長為4的正方體中，，，……，，過三點可做一截面，類似地，可做8個形狀完全相同的截面．關于截面之間的位于正方體正中間的這個幾何體，下列說法正確的是（）A.當此半正多面體是由正八邊形與正三角形圍成時，邊長為2B.當此半正多面體是由正方形與正三角形圍成時，表面積是C.當此幾何體為半正多面體時，或D.當此幾何體是半正多面體時，可能由正方形與正六邊形圍成【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)不同的半正多面體，取不同的數(shù)值，畫出幾何圖形，并根據(jù)半正多面體的概念進行計算求解即可.【詳解】由題意得，，，對于A，當此半正多面體是由正八邊形與正三角形圍成時，，，，故A錯誤；對于B，當此半正多面體是由正方形與正三角形圍成時，，所以，表面積為，正確；對于C，D，當時，如下圖所示，此半正多面體是由正方形與正六邊形圍成，此時幾何體也是半正多面體，故C錯誤，D正確.故選：BD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查半正多面體幾何性質.本題關鍵點是根據(jù)取不同的數(shù)值，畫出對應的幾何圖形，并根據(jù)半正多面體的概念進行計算.非選擇題部分三.填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為復數(shù)，且，則的最大值為__________．【答案】2【解析】【分析】設，由復數(shù)模的計算公式可解.【詳解】設，由于，所以，則，由于，所以的最大值為.故答案為：213.化簡______.【答案】【解析】【分析】利用換底公式、對數(shù)的運算性質計算可得結果.【詳解】原式.故答案為：.14.趙爽是我國古代數(shù)學家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖”（1弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成）.類比，可構造如圖所示的圖形，它是由三個全等的三角形與中間一個小等邊三角形組成的一個較大的等邊三角形，設且，則可推出___________.【答案】【解析】【分析】設，根據(jù)與，利用余弦定理求出，，設出AG=m，DG=n，利用勾股定理求出m與n的值，建立直角坐標系，利用向量的坐標運算求出與的值，進而求出的值.【詳解】設，，則，，因為和是等邊三角形，故，由余弦定理得：，解得：，故，，過點D作DG⊥AB于點G，設AG=m，DG=n，則BG=2m，由勾股定理得：，解得：如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，垂直AB的直線為y軸建立直角坐標系，則，，，，則，，，由得：，即，解得：，則故答案為：四.解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知、為單位向量，且夾角為.（1）若，求的值；（2）若，求的最小值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，平面向量數(shù)量積的運算性質進行求解即可；（2）由模長公式、數(shù)量積公式以及二次函數(shù)的性質得出最小值.【小問1詳解】由、為單位向量，且夾角為，則由已知，得所以【小問2詳解】已知，所以的最小值為.16.在中，角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若，，且，求邊上中線的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接用余弦定理化簡，最后再用輔助角公式即可；（2）先利用正弦定理得到為直角三角行，在用勾股定理求解即可.【小問1詳解】已知，得，由余弦定理得，則由，得，即又，則，，則【小問2詳解】由可得，則，由，所以，，為直角三角形因為，所以，，則邊上的中線為.17.已知銳角中，角，，的對邊分別為，，，向量，，且與共線．（1）求角的值；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由與共線，得到，法一：利用正弦定理和余弦定理求解；法二：利用兩角和的正弦公式求解；（2）利用正弦定理得到，，從而由求解.小問1詳解】解：因為與共線，所以，，法一：由正弦定理得，又由余弦定理得，，∴，則，又為銳角三角形，故．法二：由兩角和的正弦公式得：，因為，所以，又為銳角三角形，故．【小問2詳解】，，由于為銳角三角形，則，且，解得，所以，而，即，∴的取值范圍為．18.已知函數(shù)在上有定義，且關于中心對稱，若．（1）求實數(shù)的值；（2）若存在，使值域為，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可知關于中心對稱，結合奇函數(shù)的性質分析求解；（2）換元令，可得，分類討論，結合函數(shù)單調性和最值分析求解.【小問1詳解】因為關于中心對稱，可知關于中心對稱，且的定義域為，則，解得，此時，且，可知奇函數(shù)，關于原點對稱，即符合題意，綜上所述：.【小問2詳解】令，可得，可知函數(shù)在單調遞增，①當時，，則，可得，可知，均為的實根，即有兩個不相等的正根，等價于有兩個不相等的正根，可得，解得；②當時，，則可得，即，可得，則，可得，此方程能成立，即；③，則，，不合題意；綜上所述：或.19.祖暅在求球體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是立體的高.意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.更詳細點說就是，界于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積恒相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.如圖是一個半徑為的球體，平面與球相交，截面為圓，延長，交球于點，則垂直于圓（垂直于圓內的所有直線）.（1）若圓錐DB的側面展開圖扇形的圓心角為，求圓錐DB的表面積和體積；（2）如圖平面上方與球體之間的部分叫球冠，若，請你利用祖暅原理求球冠的體積.【答案】（1）表面積為，體積為（2）【解析】【分析】（1）利用圓心角等于弧長除以半徑來計算，再結合直角三角形中的三角函數(shù)定義，即可計算得到，從而去求圓錐的高和母線長，最后利用表面積和體積公式即可求出結果；（2）利用祖暅原理，利用半球的體積與底面半徑和