湖北省十堰市六校教學(xué)合作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

十堰市六校教學(xué)合作體2024—2025學(xué)年高二九月月考數(shù)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘；注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.給出下列命題：①若空間向量，滿足，則與的夾角為鈍角；②空間任意兩個(gè)單位向量必相等；③對(duì)于非零向量，若，則；④若為空間的一個(gè)基底，則構(gòu)成空間的另一個(gè)基底．其中說法正確的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用空間向量基本概念及數(shù)量積的定義及運(yùn)算，對(duì)各個(gè)命題逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)與的夾角為，滿足，所以①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)橄蛄考扔写笮∮钟蟹较?，兩向量相等要滿足方向相同，長(zhǎng)度相等，任意兩個(gè)單位向量，只能確定長(zhǎng)度相等，所以②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由，得到，所以或與垂直，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)闉榭臻g向量的一個(gè)基底，所以不共面，故也不共面，所以構(gòu)成空間的另一個(gè)基底，所以④正確.故選：B.2.袋內(nèi)裝有大小、形狀完全相同的3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，設(shè)事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”，事件C=“第一次摸到黑球”，則下列說法中正確的是（）A.A與B是互斥事件 B.A與B不是相互獨(dú)立事件C.B與C是對(duì)立事件 D.A與C是相互獨(dú)立事件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件的定義判斷即可.【詳解】根據(jù)題意可知，事件和事件可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)；不放回摸球，第一次摸球?qū)Φ诙蚊蛴杏绊懀允录褪录幌嗷オ?dú)立，故B正確；事件的對(duì)立事件為“第二次摸到黑球”，故C錯(cuò)；事件與事件為對(duì)立事件，故D錯(cuò).故選：B.3.“”是“直線和直線互相垂直”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先求出兩條直線垂直的充要條件，再根據(jù)所得條件和已知條件的關(guān)系可得兩者的條件關(guān)系.【詳解】直線和直線的充要條件為即，可以推出，但推不出，故“”是“直線和直線互相垂直”的必要而不充分條件，故選：B.4.在空間四邊形中，若分別是的中點(diǎn)，是上的點(diǎn)，且，記，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理將用表示，從而可求出的值，進(jìn)而可求得答案.【詳解】連接，因?yàn)椋謩e是的中點(diǎn)，所以，故．故選：A5.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離的向量坐標(biāo)公式計(jì)算即可求解.詳解】根據(jù)題意，，則，設(shè)向量是直線的單位方向向量，，，則點(diǎn)C到直線AB的距離為.故選：A.6.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若對(duì)于空間中不在平面上的任意一點(diǎn)，都有，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由三點(diǎn)共面得到系數(shù)之和為，從而解出的值.【詳解】因?yàn)椋瑒?dòng)點(diǎn)在所在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，所以，解得．故選：B．7.已知正方體中，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量的方法求線面角.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A2,0,0，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則∴可取.設(shè)直線與平面所成角的，則，于是直線與平面所成角的余弦值為.故選：A.8.直線l1：y＝ax＋b與直線l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象只可能是（）A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線的斜率和縱截距的正負(fù)進(jìn)行判斷．【詳解】對(duì)B，斜率為正，在軸上的截距也為正，故不可能有斜率為負(fù)的情況.故B錯(cuò).當(dāng)時(shí)，和斜率均為正，且截距均為正.僅D選項(xiàng)滿足.故選：D二、多選題（本題共3小題，每題6分，共18分；全部選對(duì)得6分，多選對(duì)多得分，選錯(cuò)得0分）9.已知空間向量，，則下列選項(xiàng)中正確的是（）A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，利用空間向量平行的性質(zhì)即可判斷；對(duì)于B，利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示即可判斷；對(duì)于C，根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算出，利用模長(zhǎng)公式計(jì)算，從而得以判斷；對(duì)于D，利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可判斷.【詳解】對(duì)A，，存在實(shí)數(shù)，使得，則，即，解得，，故A正確；對(duì)B，，，即，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，，故C正確；對(duì)D，當(dāng)時(shí)，，，，故D正確.故選：ACD.10.下列描述正確的是（）A.若事件，相互獨(dú)立，，，則B.若三個(gè)事件，，兩兩獨(dú)立，則滿足C.若，，則事件，相互獨(dú)立與，互斥一定不能同時(shí)成立D.必然事件和不可能事件與任意事件相互獨(dú)立【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)獨(dú)立事件的概念及乘法公式直接可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：由，，則，，又事件，相互獨(dú)立，則，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：若三個(gè)事件，，兩兩獨(dú)立，由獨(dú)立事件的乘法公式，，，無法確定，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，若事件，相互獨(dú)立則，若事件，互斥，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：設(shè)任意事件發(fā)生的概率為，必然事件事件發(fā)生的概率為，不可能事件發(fā)生的概率為，則，，D選項(xiàng)正確；故選：ACD.11.下列說法正確的是（）A.直線恒過點(diǎn)B.經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上截距相等的直線方程為C.已知，點(diǎn)在軸上，則的最小值是5D.若直線過點(diǎn)，且與軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則面積的最小值為12【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于，將直線化簡(jiǎn)，列出方程，求得定點(diǎn)；對(duì)于B，設(shè)出直線方程根據(jù)截距相等列出方程，求解即可；對(duì)于C，找對(duì)稱點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；對(duì)于D，設(shè)出直線方程，把三角形的面積表示出來，求最值即可.【詳解】對(duì)于，整理，得，令，解得所以直線恒過點(diǎn)，故正確.對(duì)于，可知所求直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則它的方程為.令，得，即該直線在軸上的截距為；令，得，即該直線在軸上截距為.因?yàn)樵撝本€在軸上的截距相等，所以，解得，所以所求直線的方程為或，B錯(cuò)誤.對(duì)于C，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，連接，于是，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，等號(hào)成立，因此，C正確.對(duì)于D，直線與軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，可知直線的斜率為負(fù)數(shù)，設(shè)直線，令，得，令，得，可知，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值為12，D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，，夾角為，則__________．【答案】【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積，結(jié)合空間向量夾角公式列式求解作答.【詳解】由，，得，，由，夾角為，得，解得，所以.故答案為：13.已知甲、乙、丙三人投籃的命中率分別為0.7，0.5，0.4，若甲、乙、丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則至多有一人命中的概率為______.【答案】0.45##【解析】【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式、對(duì)立事件的概率公式以及互斥事件的概率加法公式求解即可.【詳解】甲、乙、丙各投籃一次（三人投籃互不影響），則沒有人命中的概率為，恰有一人命中的概率為，所以至多有一人命中的概率為.故答案為：0.4514.已知點(diǎn)，，直線是過點(diǎn)且與線段AB相交且斜率存在，則的斜率的取值范圍是____________【答案】【解析】【分析】利用斜率計(jì)算公式可得，，根據(jù)直線過點(diǎn)且與線段相交，數(shù)形結(jié)合即可求出直線的斜率的取值范圍．【詳解】因?yàn)?，，，所以，．直線過點(diǎn)且與線段相交，如下圖所示：或，直線的斜率的取值范圍是：．故答案為：．四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.（1）已知，，求邊的垂直平分線的方程.（2）求過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距是互為相反數(shù)的直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求得中點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)垂直的斜率關(guān)系可求得直線的斜率,進(jìn)而利用點(diǎn)斜式求得直線方程,化簡(jiǎn)為一般式即可.（2）討論截距是否為0:當(dāng)截距為0時(shí),可設(shè)正比例函數(shù),代入點(diǎn)求解;當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)截距式,代入點(diǎn)坐標(biāo)即可求得參數(shù),進(jìn)而得直線方程.【詳解】（1）因?yàn)?則中點(diǎn)坐標(biāo)為根據(jù)垂直直線的斜率關(guān)系可得所以由點(diǎn)斜式可得化簡(jiǎn)得（2）當(dāng)截距為0時(shí),設(shè)直線方程為代入可得則此時(shí)當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)直線方程為代入可得解得,即化簡(jiǎn)可得綜上可知,直線方程為或【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)斜式方程的用法,截距相同時(shí),注意討論截距是否為0,屬于基礎(chǔ)題.16.在試驗(yàn)“袋中有白球3個(gè)（編號(hào)為1，2，3）、黑球2個(gè)（編號(hào)為1，2），這5個(gè)球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個(gè)，每次摸1個(gè)，觀察摸出球的情況”中，摸到白球的結(jié)果分別記為，，，摸到黑球的結(jié)果分別記為，．求：（1）取到的兩個(gè)球都是白球的概率；（2）取到的兩個(gè)球顏色相同的概率；（3）取到的兩個(gè)球至少有一個(gè)是白球的概率．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）（2）（3）根據(jù)題意列出試驗(yàn)的樣本空間，利用古典概率模型概率計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.【小問1詳解】由前面的分析可知試驗(yàn)的樣本空間，共有20個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，可用古典概型來計(jì)算概率．設(shè)事件A表示“取到的兩個(gè)球都是白球”，則，共含有6個(gè)樣本點(diǎn)，所以，即取到的兩個(gè)球都是白球的概率為；【小問2詳解】設(shè)事件B表示“取到的兩個(gè)球顏色相同”，則，共含有8個(gè)樣本點(diǎn)，所以，即取到的兩個(gè)球顏色相同的概率為；【小問3詳解】設(shè)事件C表示“取到的兩個(gè)球至少有一個(gè)是白球”，則，共含有18個(gè)樣本點(diǎn)，所以，即取到的兩個(gè)球至少有一個(gè)是白球的概率為.17.如圖，四邊形是正方形，平面，，，分別為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大?。唬?）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判斷定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量來求解即可；（3）在（2）建立的坐標(biāo)系下利用向量法求解即可.【小問1詳解】由題意分別為中點(diǎn)，所以是的中位線，即，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】由于四邊形是正方形，平面，所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：又，分別為的中點(diǎn)，則，所以；設(shè)平面的一個(gè)法向量m=x則，解得，令，得；即，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x則，解得，令，即；設(shè)平面與平面夾角的大小為，所以，又，所以；即平面與平面夾角的大小為；【小問3詳解】由（2）平面的一個(gè)法向量為；又，所以點(diǎn)到與平面的距離距為：.18.在全球抗擊新冠肺炎疫情期間，我國(guó)醫(yī)療物資生產(chǎn)企業(yè)加班加點(diǎn)生產(chǎn)口罩、防護(hù)服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一線醫(yī)療物資供應(yīng)，在國(guó)際社會(huì)上贏得一片贊譽(yù).我國(guó)某口罩生產(chǎn)企業(yè)在加大生產(chǎn)同時(shí)，狠抓質(zhì)量管理，不定時(shí)抽查口罩質(zhì)量，該企業(yè)質(zhì)檢人員從所生產(chǎn)的口罩中隨機(jī)抽取了100個(gè)，將其質(zhì)量指標(biāo)值分成以下六組：40,50，50,60，60,70，…，90,100，得到如下頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中m的值；（2）利用樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)該企業(yè)所生產(chǎn)的口罩的質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)和中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）；（3）現(xiàn)規(guī)定：質(zhì)量指標(biāo)值小于70的口罩為二等品，質(zhì)量指標(biāo)值不小于70的口罩為一等品.利用分層抽樣的方法從該企業(yè)所抽取的100個(gè)口罩中抽出5個(gè)口罩，并從中再隨機(jī)抽取2個(gè)作進(jìn)一步的質(zhì)量分析，試求這2個(gè)口罩中恰好有1個(gè)口罩為一等品的概率.【答案】（1）（2）平均數(shù)為71，中位數(shù)為73.33（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)小矩形面積之和為1，列出方程求解，即可得出答案；（2）根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算即可得出平均數(shù)；根據(jù)已知得出質(zhì)量指標(biāo)值位于、之間的頻率，然后列出方程，求解即可得出答案；（3）先根據(jù)已知得出一等、二等品口罩的個(gè)數(shù)，求出抽樣比，得出各品級(jí)口罩應(yīng)抽取的數(shù)目.進(jìn)而列舉得出所有可能的樣本點(diǎn)以及事件“這2個(gè)口罩中恰好有1個(gè)口罩為一等品”包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型公式，即可得出答案.【小問1詳解】由，得.【小問2詳解】平均數(shù)為.設(shè)中位數(shù)為，質(zhì)量指標(biāo)值位于之間的頻率為0.4，位于之間的頻率為0.7，所以，，且，解得