山東省泰安市高三四輪檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

高三四輪檢測(cè)數(shù)學(xué)試題2024.05注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡1.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由得出，將代入求得的值，進(jìn)而解出集合即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，，所以，解得或，?故選：B.2.已知向量，，且，則（）A.2 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量平行的充要條件列方程即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解?故選：D.3.已知且，則（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】分析】由誘導(dǎo)公式可得，根據(jù)平方關(guān)系，再根據(jù)商數(shù)關(guān)系得.【詳解】由誘導(dǎo)公式得，所以，又因?yàn)椋?，所?故選：B.4.某圓錐高為，母線與底面所成的角為，則該圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出該圓錐底面圓的半徑為r，再利用勾股定理求出母線長(zhǎng)，代入表面積公式求解即可.【詳解】由圓錐高為，母線與底面所成角為，得圓錐底面圓半徑，母線，所以圓錐的表面積.故選：A5.已知等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，，則C的實(shí)軸長(zhǎng)為（）A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)出雙曲線方程（引入?yún)?shù)），將拋物線準(zhǔn)線方程代入可表示出，由此即可列方程求解參數(shù)，進(jìn)而得解.【詳解】由題意，設(shè)等軸雙曲線C的方程為：，而拋物線的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線為，將代入得，，由題意，所以，解得，所以C的實(shí)軸長(zhǎng)為.故選：C.6.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A.2 B.1 C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由題意求出函數(shù)的周期，再利用奇偶性代入求值即可.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，且，則，所以，所以函數(shù)的周期為，所以故選：D.7.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】由模長(zhǎng)公式結(jié)合題設(shè)條件得條件等式，結(jié)合模長(zhǎng)公式將所求轉(zhuǎn)換為求二次函數(shù)最值即可.【詳解】設(shè)，而，所以，即，所以，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，的最小值為.故選：A.8.已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)所要比較的式子適當(dāng)變形，構(gòu)造函數(shù)證得，結(jié)合已知即可進(jìn)一步求解.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)镽的偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以定義域?yàn)镽的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，令，則在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，即，而定義域?yàn)镽的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上所述，.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，從而得出，由此即可順利得解.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于中心對(duì)稱B.當(dāng)時(shí)，將圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減D.設(shè)的周期為T，若時(shí)，，為方程的兩個(gè)不相等實(shí)根，則【答案】ABD【解析】【分析】由已知可得結(jié)合每個(gè)選項(xiàng)條件計(jì)算可判斷其正確性.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，又，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，將圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的函數(shù)為所以為偶函數(shù)，所以將圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕栽谏喜皇菃握{(diào)遞減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；設(shè)的周期為T，若時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，由則可得或，所以，當(dāng)時(shí)，由則可得或，所以，故D正確.故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且，，則B.若變量x與變量y滿足關(guān)系，變量y與變量z是正相關(guān)，則x與z負(fù)相關(guān)C.若在一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，6中增加一個(gè)數(shù)據(jù)4，則方差變小D.根據(jù)分類變量X與Y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)（），可判斷X與Y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)的概率不大于0.05【答案】ACD【解析】【分析】由條件概率公式可得，可判斷A；由題意可得x與z正相關(guān)，判斷B；計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的方差可判斷C；由獨(dú)立性檢驗(yàn)可判斷D.【詳解】對(duì)于A：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，且，則，又，故A正確；對(duì)于B：若變量x與變量y滿足關(guān)系，則變量x與變量y是正確定關(guān)系，又變量y與變量z是正相關(guān)，所以x與z正相關(guān)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：一組數(shù)據(jù)為2，3，3，4，6，則，所以，若在2，3，3，4，6中增加一個(gè)數(shù)據(jù)4，則，則，又，故若在一組數(shù)據(jù)2，3，3，4，6中增加一個(gè)數(shù)據(jù)4，則方差變小，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋械陌盐张袛郮與Y有關(guān)聯(lián)，即判斷錯(cuò)誤的概率不大于0.05，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在五邊形中，四邊形為正方形，，，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起到面位置，使得，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面平面B.若為的中點(diǎn)，則平面C.折起過程中，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.三棱錐的外接球的體積為【答案】ABD【解析】【分析】首先說明，結(jié)合已知，從而證明平面，即可判斷A，由，即可證明B，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，求出，即可求出點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度，從而判斷C，連接，即可證明平面，從而得到三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，求出外接球的半徑，即可求出球的體積，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：由題意得，所以，即，而已知，且注意到，，平面，平面，所以平面，平面，所以平面平面，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，，所以，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，所以折起過程中，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑，圓心角為的圓弧，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：連接，則，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又四邊形為邊長(zhǎng)為的正方形，則三棱錐的外接球即為四棱錐的外接球，又四邊形外接圓的直徑為，，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，則，即，所以，所以外接球的體積，即三棱錐的外接球的體積為，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是證明平面平面，從而確定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角，即可判斷B，D選項(xiàng)關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求四棱錐的外接球的體積.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.多項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為160，則實(shí)數(shù)a的值為__________.【答案】【解析】【詳解】根據(jù)多項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式，找到常數(shù)項(xiàng)，建立方程，求解實(shí)數(shù)a的值.【解答】多項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為令，解得，所以可知展開式中常數(shù)項(xiàng)為，解得故答案為：．13.在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若，且，則的面積為________.【答案】【解析】【分析】設(shè)的外接圓半徑為，由已知條件及正弦定理可得到，進(jìn)而有，再使用已知條件及余弦定理即可推知，最后用面積公式即可.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，則.所以，故，從而.而，故，得.故答案為：.14.已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M，N在C上，且滿足且，若，則C的離心率為________.【答案】##【解析】【分析】先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用向量共線列方程組得到，然后帶入方程即可得到的值，根據(jù)橢圓定義可求得的值，再由余弦定理建立方程求出離心率.【詳解】如圖所示，設(shè)，且，，由，得，，所以，即①，又，可化為，將①式代入得，，即，配方整理得，，所以，即，則，又由，，得，，因?yàn)?，所以，所以，根?jù)余弦定理，，，所以，解得，所以..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓錐曲線的離心率（或離心率的取值范圍），常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范圍）.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，對(duì)任意，是與的等差中項(xiàng).（1）求的公比q；（2）求的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）思路一：由之間的關(guān)系結(jié)合公比的定義即可得解；思路二：結(jié)合等比數(shù)列求和公式分公比是否為1進(jìn)行討論即可求解；（2）首先求得，然后結(jié)合分組求和法、錯(cuò)位相減法以及等比數(shù)列求和公式即可得解.【小問1詳解】法一：為等比數(shù)列，，∵，∴，∴，∴.法二：∵，，當(dāng)時(shí)，，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，由得，不成立，舍去，∴.【小問2詳解】由（1）知，，∴，設(shè)，的前項(xiàng)和為，則，，，∴，∴.16.增強(qiáng)青少年體質(zhì)，促進(jìn)青少年健康成長(zhǎng)，是關(guān)系國家和民族未來的大事.某高中為了解本校高一年級(jí)學(xué)生體育鍛煉情況，隨機(jī)抽取體育鍛煉時(shí)間在（單位：分鐘）的50名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們每天體育鍛煉的時(shí)間作為樣本并繪制成如下的頻率分布直方圖，已知樣本中體育鍛煉時(shí)間在的有5名學(xué)生.（1）求a，b的值；（2）若從樣本中體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，設(shè)X表示在的人數(shù)，求X的分布列和均值.【答案】（1），（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）體育鍛煉時(shí)間在的頻率為，可求，利用面積和等于，可求；（2）樣本中體育鍛煉時(shí)間在的有5名學(xué)生，在的有3名學(xué)生，可得，利用超幾何分布可求分布列與數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】因?yàn)轶w育鍛煉時(shí)間在頻率為，所以，又因?yàn)?，所以【小?詳解】樣本中體育鍛煉時(shí)間在的有5名學(xué)生，在的有3名學(xué)生則，，，，所以X的分布列為X0123P所以.17.如圖，在三棱柱中，，.（1）證明：；（2）若平面平面，D為上一點(diǎn)且，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）只需證明平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)以及線線平行的性質(zhì)即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)平面的法向量，由向量夾角公式即可得解.【小問1詳解】取BC中點(diǎn)E，連接AE、，∵，∴，又∵，，∴為正三角形，∴，又∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴，又∵，∴.【小問2詳解】∵平面平面，由（1）知，平面平面，平面，∴平面，而平面，所以，又，所以，，兩兩互相垂直，故以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，，∵，∴，又∵，∴，∴，，設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則，.∴，設(shè)平面的法向量為，則，∴，取，則，，∴，∴，∴平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知直線l：分別與x軸，直線交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P是線段AB的垂直平分線上的一點(diǎn)（P不在x軸負(fù)半軸上）且.（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）設(shè)l與C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)M在C上且滿足，延長(zhǎng)MA交C于點(diǎn)N，求的最小值.【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）結(jié)合題意得出幾何關(guān)系，由拋物線定義即可得解；（2）一方面：設(shè)，，聯(lián)立與拋物線的方程，由韋達(dá)定理得，設(shè)，，同理可得，，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、基本不等式即可得解.【小問1詳解】由題意，如圖，∵，∴，又∵不在軸負(fù)半軸上，∴與直線垂直，又∵，∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，∴點(diǎn)軌跡方程為.【小問2詳解】由得，∵與交于兩點(diǎn)，∴，設(shè)，，則，又∵，∴，∵的斜率為，∴直線的方程為，設(shè)，，同理得，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到“=”，∴的最小值為16.19.在數(shù)學(xué)中，由個(gè)數(shù)排列成的m行n列的數(shù)表稱為矩陣，其中稱為矩陣A的第i行第j列的元素.矩陣乘法是指對(duì)于兩個(gè)矩陣A和B，如果4的列數(shù)等于B的行數(shù)，則可以把A和B相乘，具體來說：若，，則，其中.已知，函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：，.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意，，求導(dǎo)得，從而可以分是否為0進(jìn)行討論，時(shí)，可以繼續(xù)分是否大于0進(jìn)行討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，首先利用導(dǎo)數(shù)證明得到，進(jìn)一步有，從而即可順利得解.【小問1詳解】由矩陣乘法定義知，，