湖南省長沙市高三九月學(xué)情調(diào)研考試數(shù)學(xué)模擬試卷

湖南省長沙市2025屆高三九月學(xué)情調(diào)研考試數(shù)學(xué)模擬試卷本試卷共10頁，19小題，滿分150分.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．若，，則的值是（

）A．0.9 B．1.08 C．2 D．43．已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列的前項和為，滿足，則（

）A．200 B．100 C．200 D．1005．若，，則的值為（

）A． B． C． D．6．有4名男生?3名女生和2個不同的道具（記作A和B）參與一個活動，活動要求：所有人（男生和女生）必須站成一排，女生必須站在一起，并且她們之間按照身高從左到右由高到低的順序排列（假設(shè)女生的身高各不相同）；兩個道具A和B必須被分配給隊伍中的兩個人（可以是男生，也可以是女生），但這兩人不能站在一起.滿足上述所有條件的排列方式共有（

）A．2400種 B．3600種 C．2880種 D．4220種7．用一個邊長為4的正方形紙片，做一個如圖所示的幾何體，圖中兩個圓錐等底、等高，則該幾何體體積的最大值為（

）A． B． C． D．8．設(shè)拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，，，則l的斜率是（

）A．±1 B． C． D．±2二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為，且點均在以坐標(biāo)原點為圓心.2為半徑的圓上，點在第四象限，則（

）A．點在第一象限 B．C． D．10．甲罐中有5個紅球，5個白球，乙罐中有3個紅球，7個白球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，再從乙罐中隨機取出一球．表示事件“從甲罐取出的球是紅球”，表示事件“從甲罐取出的球是白球”，B表示事件“從乙罐取出的球是紅球”．則下列結(jié)論正確的是（

）A．、為對立事件 B．C． D．11．如圖所示，在邊長為3的等邊三角形ABC中，，且點P在以AD中點O為圓心，OA為半徑的半圓上，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．展開式的中間一項的系數(shù)為.13．唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國畫、漆繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝．它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示．已知球的半徑為，酒杯的容積，則其內(nèi)壁表面積為．

14．已知橢圓的左、右焦點分別為，，以線段為直徑的圓與C在第一、第三象限分別交于點A，B，若，則C的離心率的最大值是．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．中國數(shù)學(xué)奧林匹克（）競賽由中國數(shù)學(xué)會主辦，是全國中學(xué)生級別最高?規(guī)模最大?最具影響力的數(shù)學(xué)競賽.某中學(xué)為了選拔參賽隊員，組織了校內(nèi)選拔賽.比賽分為預(yù)賽和決賽，預(yù)賽成績合格者可進入決賽.(1)根據(jù)預(yù)賽成績統(tǒng)計，學(xué)生預(yù)賽的成績，成績超過85分的學(xué)生可進入決賽.若共有600名學(xué)生參加了預(yù)賽，試估計進入決賽的人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）；(2)決賽試題共設(shè)置了10個題目，其中單選題6題，每題10分，每題有1個正確選項，答對的10分，答錯得0分；多選題4題，每題15分，每題有多個正確選項，全部選對得15分，部分選對得5分，有選錯得0分.假設(shè)甲同學(xué)進入了決賽，且在決賽中，每個單選題答對的概率均為；每個多選題得15分?5分?0分的概率均分別為.求甲同學(xué)決賽成績的數(shù)學(xué)期望.附：若，則，16．已知等差數(shù)列滿足，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．17．在直三棱柱中，，，，G是的重心，點Q在線段AB（不包括兩個端點）上．

(1)若Q為的中點，證明：平面；(2)若直線與平面所成的角正弦值為，求．18．動點到直線與直線的距離之積等于，且．記點M的軌跡方程為．(1)求的方程；(2)過上的點P作圓的切線PT，T為切點，求的最小值；(3)已知點，直線交于點A，B，上是否存在點C滿足？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．19．已知函數(shù)，若