2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章選修系列選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標(biāo)系課時(shí)規(guī)范練文含解析北師大版

PAGE第十章選修系列選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一節(jié)坐標(biāo)系課時(shí)規(guī)范練1．在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝2，曲線C的方程為ρ＝4cosθ，求直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)．解析：因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，化成直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4，所以曲線C是圓心為(2，0)，直徑為4的圓．因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝2，化成直角坐標(biāo)方程為y＝eq\f(\r(3),3)(x－4)，則直線l過(guò)A(4，0)，傾斜角為eq\f(π,6)，所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn)．設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B，則∠OAB＝eq\f(π,6).如圖，連接OB.因?yàn)镺A為直徑，從而∠OBA＝eq\f(π,2)，所以AB＝4coseq\f(π,6)＝2eq\r(3).所以直線l被曲線C截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(3).2．(2024·青島質(zhì)檢)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosφ，,y＝1＋sinφ))(其中φ為參數(shù))．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程是ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝2，射線OM：θ＝eq\f(π,6)與圓C的交點(diǎn)為P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長(zhǎng)．解析：(1)圓C的一般方程為x2＋(y－1)2＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ.(2)把θ＝eq\f(π,6)代入圓的極坐標(biāo)方程可得ρP＝1，把θ＝eq\f(π,6)代入直線l的極坐標(biāo)方程可得ρQ＝2，所以|PQ|＝|ρP－ρQ|＝1.3．(2024·鄭州一中模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的一般方程為x2＋y2＋2x－4＝0，曲線C2的方程為y2＝x，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程；(2)求曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)，其中ρ≥0，0≤θ＜2π.解析：(1)依題意，將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入x2＋y2＋2x－4＝0可得ρ2＋2ρcosθ－4＝0.將eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))代入y2＝x，得ρsin2θ＝cosθ.故曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－4＝0，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ＝cosθ.(2)將y2＝x代入x2＋y2＋2x－4＝0，得x2＋3x－4＝0，解得x＝1，x＝－4(舍去)，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝±1，所以曲線C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1，1)，(1，－1)，記A(1，1)，B(1，－1)，所以ρA＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，ρB＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，tanθA＝1，tanθB＝－1，因?yàn)棣选?，0≤θ＜2π，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，所以θA＝eq\f(π,4)，θB＝eq\f(7π,4)，故曲線C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(7π,4))).4．(2024·山西八校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)l1：θ＝eq\f(π,6)，l2：θ＝eq\f(π,3)，若l1，l2與曲線C分別交于異于原點(diǎn)的A，B兩點(diǎn)，求△AOB的面積．解析：(1)∵曲線C的一般方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25，即x2＋y2－6x－8y＝0.∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝6cosθ＋8sinθ.(2)設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ1，\f(π,6)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ2，\f(π,3))).把θ＝eq\f(π,6)代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ1＝4＋3eq\r(3)，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋3\r(3)，\f(π,6))).把θ＝eq\f(π,3)代入ρ＝6cosθ＋8sinθ，得ρ2＝3＋4eq\r(3)，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋4\r(3)，\f(π,3))).∴S△AOB＝eq\f(1,2)ρ1ρ2sin∠AOB