第十五章 分式（7個壓軸題專練）

第十五章分式（壓軸題專練）【題型一求使分式值為整數時未知數的整數值】例題：若表示一個負整數，則整數________．【變式訓練】1．如果m為整數，那么使分式的值為整數的m的值為_______．（寫出兩個即可）2．已知的值為正整數，則整數m的值為_________________.3．已知：分式的值為整數，則整數a有______．【題型二已知分式恒等式，確定分子或分母】例題：若，則_________，_________．【變式訓練】1．已知，則_________________．2．若恒成立，則A-B=__________．3．若恒成立，則______．【題型三分式運算中的規(guī)律探究問題】例題：觀察以下等式：第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．第4個等式：．……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：______．(2)寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．【變式訓練】1．觀察以下等式：第1個等式；第2個等式；第3個等式；第4個等式；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：_；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．2．觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；．．．．．按照以，上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：______；(2)寫出你猜想的第n個等式：______（用含n的等式表示），并證明．3．觀察下列式子，并探索它們的規(guī)律：；．(1)填空：①________；②________；(2)當取哪些正整數時，分式的值為整數？【題型四分式運算中的新定義型問題】例題：定義：若分式與分式的差等于它們的積，即，則稱分式是分式的“關聯分式”．如與，因為，，所以是的“關聯分式”．(1)分式__________分式的“關聯分式”（填“是”或“不是”）；(2)小明在求分式的“關聯分式”時，用了以下方法：設的“關聯分式”為，則，，．請你仿照小明的方法求分式的“關聯分式”．(3)①觀察（1）、（2）的結果，尋找規(guī)律，直接寫出分式的“關聯分式”：__________．②用發(fā)現的規(guī)律解決問題：若是“關聯分式”，求實數，的值．【變式訓練】1．閱讀下面的材料：把一個分式寫成兩個分式的和叫作把這個分式表示成“部分分式”．例：將分式表示成部分分式．解：設，將等式右邊通分，得，依據題意，得，解得，所以請你適用上面所學到的方法，解決下面的問題：(1)將分式表示成部分分式；(2)按照（1）的規(guī)律，求的值．2．定義：若分式與分式的差等于它們的積，即，則稱分式是分式“友好分式”．如與，因為，，所以是的“友好分式”．(1)分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；(2)小明在求分式的“友好分式”時，用了以下方法：設的“友好分式”為，則，∴，∴．請你仿照小明的方法求分式的“友好分式”．(3)①觀察（1）（2）的結果，尋找規(guī)律，直接寫出分式的“友好分式”：______．②若是的“友好分式”，則的值為______．3．定義：若分式與分式的差等于它們的積，即，則稱分式N是分式的“互聯分式”．如與，因為，，所以是的“互聯分式”．(1)判斷分式與分式是否是“互聯分式”，請說明理由；(2)小紅在求分式的“互聯分式”時，用了以下方法：設的“互聯分式”為，則，，．請你仿照小紅的方法求分式的“互聯分式”．(3)解決問題：仔細觀察第（1）（2）小題的規(guī)律，請直接寫出實數，的值，使是的“互聯分式”．4．觀察下列式子：以上變形的過程稱為“分離系數法”，可以看作是分式加減運算的逆運算，這是解決有關分式問題的一種常用的數學思想與方法，請同學們認真探索它們的規(guī)律，并回答下列問題：(1)根據以上式子填空：①_．②_．(2)按照上述規(guī)律，將分式進行“分離系數法”為常數，且；(3)當x取哪些正整數時，分式的值為整數？【題型五已知分式方程的增根求參數】例題：若關于x的分式方程（m為常數）有增根，則增根是_______．【變式訓練】1．已知關于的方程有增根，則的值是（）A．4 B． C．2 D．2．關于x的方程有增根，則m的值是_____．3．已知關于的分式方程有增根，則的值為___________．【題型六已知分式方程的無解求參數】例題：如果關于x的方程無解，則a的值為___．【變式訓練】1．已知關于的分式方程無解，則的值為_____．2．①若關于的方程有增根，則增根是______．②若關于的方程無解，則的值為______．3．若關于x的分式方程無解，則m的值為______．4．已知關于x的分式方程.(1)若方程的增根為x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程無解，求a的值．【題型七根據分式方程解的情況求值】例題：若關于x的分式方程的解是正數．則m的取值范圍是________．【變式訓練】1．若關于x的方程的解是正數，則m的取值范圍為（）A． B．且 C． D．且2．關于x的方程的解為非負數，則m的取值范圍是____________．3．若關于x的分式方程的解為正整數，則正數m的值是_____．4．已知關于x的分式方程的解為負數，則m的取值范圍是______．

第十五章分式（壓軸題專練）答案全解全析【題型一求使分式值為整數時未知數的整數值】例題：若表示一個負整數，則整數________．【答案】或或【分析】由表示一個負整數，m為整數，可得或或，進而可得答案．【詳解】解：因為表示一個負整數，m為整數，所以或或，所以或或；故答案為：或或．【點睛】本題考查了分式為整數時相關參數的求解，正確理解題意，得出是4的負約數是解題關鍵．【變式訓練】1．如果m為整數，那么使分式的值為整數的m的值為_______．（寫出兩個即可）【答案】0或1（答案不唯一）【分析】分式，討論就可以了，即是2的約數即可完成．【詳解】解：∵，若原分式的值為整數，那么由得，；由得，；由得，；由得，；∴或或0或1，故答案為：0或1(答案不唯一)【點睛】本題主要考查分式的值，熟練掌握相關知識點并全面討論是解題關鍵．2．已知的值為正整數，則整數m的值為_________________.【答案】7或9【分析】根據分式的性質即可求出答案．【詳解】解：∵的值為正整數，∴或3，∴整數的值為7或9，故答案為：7或9．【點睛】本題主要考查分式的值為正整數，分母中的整數字母取值的問題，按照數的整除特點來解題是解答此題的關鍵．3．已知：分式的值為整數，則整數a有______．【答案】，1，2，4，5，7【分析】根據因式分解，可得最簡分式，根據分式的值是整數，可得分母能被分子整除，可得答案．【詳解】解：，∵分式的值為整數，∴或或，解得：，，，，，，故答案為，1，2，4，5，7．【點睛】本題主要考查了分式的化簡，根據分式的值的情況求解參數等等，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解．【題型二已知分式恒等式，確定分子或分母】例題：若，則_________，_________．【答案】21【分析】根據同分母分式的加減計算，再按對應項相同可得答案．【詳解】解：∴A=2，B=1故答案為：2，1．【點睛】本題考查分式的加減，解題關鍵是掌握分式加法的運算法則．【變式訓練】1．已知，則_________________．【答案】7【分析】根據題意可進行通分，即，然后問題可求解．【詳解】解：∵，∴，∴，①+②得：；故答案為：7．【點睛】本題主要考查分式的加法，熟練掌握分式的加法運算是解題的關鍵．2．若恒成立，則A-B=__________．【答案】2【分析】已知等式右邊通分并利用同分母分式的加法法則計算，再根據分式相等的條件即可求出所求．【詳解】解：等式整理得，∴∴A-B＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查了分式的加減，解題的關鍵是通分，對等式進行整理，轉化為分母相同的形式，從而求解．3．若恒成立，則______．【答案】2【分析】根據異分母分式加減法法則將進行變形，繼而由原等式恒成立得到關于A、B的方程組，解方程組即可得．【詳解】解：，又∵∴，解得，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查了分式的加減法，恒等式的性質，解二元一次方程組，得到關于A、B的方程組是解題的關鍵．【題型三分式運算中的規(guī)律探究問題】例題：觀察以下等式：第1個等式：．第2個等式：．第3個等式：．第4個等式：．……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：______．(2)寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）根據前4個等式得出第五個等式即可；（2）通過觀察減號后面的數字規(guī)律，再結合每個式子找到分母之間的關系，最后通過化簡即可證明．【詳解】（1）解：第5個等式為：，故答案為：．（2）解：第個等式為：，證明：，∴．【點睛】本題考查了運算規(guī)律的探究，分式的加減運算，掌握規(guī)律的探究方法與分式的加減運算是解題的關鍵．【變式訓練】1．觀察以下等式：第1個等式；第2個等式；第3個等式；第4個等式；……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：_；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)；(2)；見解析【分析】（1）根據上述等式可知，第一個加數的分子比分母大1，第二個加數是第一個加數的倒數，減數是2，等式右邊分子為1，分母為兩個加數分母的乘積，據此寫出第5個等式即可；（2）根據上述等式的規(guī)律，寫出第n個等式，并證明即可．【詳解】（1）解：由題意得，第5個等式為：，故答案為：；（2）解：猜想：；證明如下：等式左邊，等式右邊，∴等式左邊等式右邊，∴猜想成立．【點睛】本題主要考查了分式的規(guī)律性問題，異分母分式加減法，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關鍵．2．觀察以下等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；第5個等式：；．．．．．按照以，上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：______；(2)寫出你猜想的第n個等式：______（用含n的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)猜想第n個等式：，證明見解析【分析】（1）根據題意發(fā)現規(guī)律直接寫出結果即可；（2）根據規(guī)律寫出猜想，然后利用分式的混合運算證明即可．【詳解】（1）解：根據題意，第6個等式為：，故答案為：；（2）猜想第n個等式：，證明：左邊，右邊．∴左邊=右邊，∴等式成立．【點睛】題目主要考查規(guī)律探索及分式的混合運算，理解題意，找出相應規(guī)律是解題關鍵．3．觀察下列式子，并探索它們的規(guī)律：；．(1)填空：①________；②________；(2)當取哪些正整數時，分式的值為整數？【答案】(1)①；②(2)為1或3【分析】（1）①先把原式化為，再根據分式的除法計算；②先把原式化為，再根據分式的除法計算；（2）先把原式化為，再根據分式的除法計算得，根據分式的值為整數得，或，計算即可．【詳解】（1）；；故答案為：①；②；（2），當為正整數，且為5的約數時，的值為整數，即或時，的值為整數．或，即當為1或3時，的值為整數．【點睛】本題考查了分式的加減法、規(guī)律型數字的變化類、整式的加減，掌握分式的加減法運算方法，其中數字的變化規(guī)律是解題關鍵．【題型四分式運算中的新定義型問題】例題：定義：若分式與分式的差等于它們的積，即，則稱分式是分式的“關聯分式”．如與，因為，，所以是的“關聯分式”．(1)分式__________分式的“關聯分式”（填“是”或“不是”）；(2)小明在求分式的“關聯分式”時，用了以下方法：設的“關聯分式”為，則，，．請你仿照小明的方法求分式的“關聯分式”．(3)①觀察（1）、（2）的結果，尋找規(guī)律，直接寫出分式的“關聯分式”：__________．②用發(fā)現的規(guī)律解決問題：若是“關聯分式”，求實數，的值．【答案】(1)是(2)(3)①；②．【分析】（1）根據關聯分式的定義進行判斷；（2）仿照題目中給到的方法進行求解；（3）①根據（1）（2）找規(guī)律求解；②由①推出的結論，類比形式求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴是的“關聯分式”故答案為：是；（2）解：設的“關聯分式”為，則，∴，即，∴；（3）解：①設的“關聯分式”為，則，∴，∴．故答案為：；②由題意，可得，整理得，解得．【點睛】本題是創(chuàng)新探究類題目，讀懂題目中的新定義并熟練地掌握分式的混合運算是解決本題的關鍵.【變式訓練】1．閱讀下面的材料：把一個分式寫成兩個分式的和叫作把這個分式表示成“部分分式”．例：將分式表示成部分分式．解：設，將等式右邊通分，得，依據題意，得，解得，所以請你適用上面所學到的方法，解決下面的問題：(1)將分式表示成部分分式；(2)按照（1）的規(guī)律，求的值．【答案】(1)，見解析．(2)．【分析】（1）模仿閱讀材料可得答案；（2）根據（1）的規(guī)律變形，再計算即可．【詳解】（1）解：設，∴，∴，∴．（2）；【點睛】本題考查分式的混合運算，解題的關鍵是讀懂題意，能把一個分式化為部分分式．2．定義：若分式與分式的差等于它們的積，即，則稱分式是分式“友好分式”．如與，因為，，所以是的“友好分式”．(1)分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；(2)小明在求分式的“友好分式”時，用了以下方法：設的“友好分式”為，則，∴，∴．請你仿照小明的方法求分式的“友好分式”．(3)①觀察（1）（2）的結果，尋找規(guī)律，直接寫出分式的“友好分式”：______．②若是的“友好分式”，則的值為______．【答案】(1)是(2)(3)①；②【分析】（1）根據友好分式的定義進行判斷；（2）仿照題目中給到的方法進行求解；（3）①根據（1）（2）找規(guī)律求解；②由①推出的結論，類比形式求解即可.【詳解】（1）解：∵,∴與是“友好分式”故答案為：是（2）解：設的“關聯分式”為，則，∴，∴．（3）解：①設的“關聯分式”為，則，∴，∴．規(guī)律是：將原分式的分母加上分子,分子保持不變,則所新得的分式是原分式的“友好分式”.故答案為：；②將原分式的分母加上分子,分子保持不變,則所新得的分式是原分式的“友好分式”.據此可得，整理得∴．故答案為：【點睛】本題是創(chuàng)新探究類題目，讀懂題目中的新定義并熟練地掌握分式的混合運算是解決本題的關鍵.3．定義：若分式與分式的差等于它們的積，即，則稱分式N是分式的“互聯分式”．如與，因為，，所以是的“互聯分式”．(1)判斷分式與分式是否是“互聯分式”，請說明理由；(2)小紅在求分式的“互聯分式”時，用了以下方法：設的“互聯分式”為，則，，．請你仿照小紅的方法求分式的“互聯分式”．(3)解決問題：仔細觀察第（1）（2）小題的規(guī)律，請直接寫出實數，的值，使是的“互聯分式”．【答案】(1)是，理由見解析；(2)(3)，【分析】（1）根據關聯分式的定義進行判斷；（2）仿照題目中給到的方法進行求解；（3）仿照題目中給到的方法進行求解．【詳解】（1）分式與分式是“互聯分式”，理由如下：∵，，∴分式是分式的“互聯分式”，（2）解：設的“互聯分式”為，則，∴，∴．（3）解：由（1）（2）可得，的“互聯分式”是，∵是的“互聯分式”∴，整理得解得．【點睛】本題考查了分式的混合運算，分式有意義的條件，理解新定義是解題的關鍵．4．觀察下列式子：以上變形的過程稱為“分離系數法”，可以看作是分式加減運算的逆運算，這是解決有關分式問題的一種常用的數學思想與方法，請同學們認真探索它們的規(guī)律，并回答下列問題：(1)根據以上式子填空：①_．②_．(2)按照上述規(guī)律，將分式進行“分離系數法”為常數，且；(3)當x取哪些正整數時，分式的值為整數？【答案】(1)①；②(2)(3)當或時，的值為整數【分析】（1）根據分離常數法，先把分子變形，再分離常數即可；（2）根據分離常數法，先把分子變形，再分離常數即可；（3）先分離常數，再根據分式的值為整數討論即可．【詳解】（1）解：①．故答案為．②．故答案為．（2）解：；（3）解：，當x為正整數，且為5的約數時，的值為整數，∴或或或時，的值為整數，解得（舍去）或（舍去）或或，故當或時，的值為整數．【點睛】本題考查了知識拓展，分式加減的逆運算，以及分式的值為0的條件，熟練掌握“分離系數法”是解答本題的關鍵．【題型五已知分式方程的增根求參數】例題：若關于x的分式方程（m為常數）有增根，則增根是_______．【答案】【分析】根據使分式的分母為零的未知數的值，是方程的增根，計算即可．【詳解】∵關于x的分式方程（m為常數）有增根，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程的解法，增根的理解，熟練掌握分式方程的解法是解題的關鍵．【變式訓練】1．已知關于的方程有增根，則的值是（）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據分式方程有增根，得到x?4＝0，據此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【詳解】解：原方程去分母，得：，∴，由分式方程有增根，得到x?4＝0，即x＝4，把x＝4代入整式方程，可得：m＝-2．故選D．【點睛】此題主要考查了分式方程的增根，解答此題的關鍵是要明確：（1）化分式方程為整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．2．關于x的方程有增根，則m的值是_____．【答案】【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程計算即可求出m的值．【詳解】解：去分母得：，解得，由分式方程有增根，得到，即，∴，解得：．故答案為：．【點睛】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．3．已知關于的分式方程有增根，則的值為___________．【答案】或【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，整理后根據一元一次方程無解條件求出m的值；由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【詳解】解：，當，即或時，分式方程有增根，當時，，解得；當時，，解得；故m的值是或，故答案為：或．【點睛】此題考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的條件是解本題的關鍵．【題型六已知分式方程的無解求參數】例題：如果關于x的方程無解，則a的值為___．【答案】1或2【分析】根據方程無解得出其對應的整式方程的解是或整式方程無解，即可求出．【詳解】解：將方程兩邊同時乘以，得：，整理得：，∵該分式方程無解，∴或，∴或，故答案為：1或2．【點睛】本題考查了分式方程無解的問題，解題關鍵是掌握分式方程無解說明了其對應的整式方程無解或整式方程的解使分母為零．【變式訓練】1．已知關于的分式方程無解，則的值為_____．【答案】或【分析】根據分式方程的解法步驟，結合分式方程無解的情況即可得到參數的值．【詳解】解：，去分母得，，關于的分式方程無解，①當時，即，此時無解；②當時，即，解得，此時分式方程無解，必須有或，則或，當時，方程無解；當時，解得；綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點睛】本題考查解分式方程及由分式方程無解求參數問題，熟練掌握分式方程的解法步驟以及無解情況的分類討論是解決問題的關鍵．2．①若關于的方程有增根，則增根是______．②若關于的方程無解，則的值為______．【答案】42或3【分析】根據分式方程有增根，即分母為0進行求解即可；分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程有增根確定出a的值即可．【詳解】解：①∵分式方程有增根，∴，∴，故答案為：4；②去分母得：，移項得：，合并同類項得：，當，即時，無解，分式方程無解；當時，系數化為1得：，∵分式方程有增根，∴，即，∴，解得，經檢驗，是的解，∴，綜上可知，或，故答案為：2或3；【點睛】本題主要考查了分式方程有增根的情況，熟知分式方程有增根的情況是分式方程分母為0．3．若關于x的分式方程無解，則m的值為______．【答案】或或【分析】直接解方程再利用一元一次方程無解和分式方程無解分別分析得出答案．【詳解】解：去分母得：，可得：，當時，一元一次方程無解，此時；當，時，分式方程無解，解得：或；故答案為：或或．【點睛】本題主要考查了分式方程的解，正確分類討論不要漏解是解題關鍵．4．已知關于x的分式方程.(1)若方程的增根為x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程無解，求a的值．【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2【詳解】試題分析：（1）原方程化為整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；（3）方程無解，可分為有增根和化成的整式方程無解兩種情況求解即可.試題解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.因為原方程的增根為x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(2)因為原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.因為x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根為x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①當3－a＝0，即a＝3時，整式方程(3－a)x＝10無解，則原分式方程也無解；②當3－a≠0時，要使原方程無解，則由(2)知，此時a＝－2.綜上