第十五章 分式（單元重點綜合測試）

第十五章分式（單元重點綜合測試）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列式子是分式的是（）A． B． C． D．2．化簡結(jié)果正確的是（）A． B．1 C． D．3．下列分式變形正確的是（）A． B． C． D．4．去年，生物學家發(fā)現(xiàn)一種病毒的長度約為米，利用科學記數(shù)法表示為（）A．米 B．米 C．米 D．米5．如果將分式中的和都擴大到原來的3倍，那么分式的值（）A．不變 B．擴大到原來的9倍C．縮小到原來的 D．擴大到原來的3倍6．若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（）A．1 B．2 C． D．07．將，，這三個數(shù)從小到大排列，正確的是（）A． B．C． D．8．下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（）A．當時，的值為零B．無論為何值，的值總為正數(shù)C．無論為何值，不可能得整數(shù)值D．當時，有意義9．已知一列數(shù)，，…..，它們滿足關(guān)系式，，，…，當時，則（）A． B． C． D．10．已知關(guān)于的分式方程的解為非負數(shù)，則的取值范圍為（

）A．且 B．且C．且 D．且二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．分式和的最簡公分母是______．12．若分式的值等于，則的值為____________．13．復學在即，由于新冠疫情，學校決定拿出元分兩次購進個口罩免費發(fā)放給學生．已知兩次購買口罩的費用相同，且第一次購買口罩的單價是第二次的倍．若設第二次購買口罩的單價為元/個，根據(jù)題意可列方程為______．14．若，對任意自然數(shù)都成立，則__________．15．定義運算，如：，則方程的解為_____________.16．已知，關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為___________.三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）17．解分式方程：(1)；(2)．18．計算：(1)(2)19．先化簡，再求值：，其中20．已知：代數(shù)式(1)當m為何值時，該式無意義？(2)若該式的值為正數(shù)，求m的取值范圍；四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21．成都大運會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款文創(chuàng)紀念品，已知A、B兩款紀念品的進價分別為30元/個、25元/個．(1)網(wǎng)店第一次用1400元購進A、B兩款紀念品共50個，求A款紀念品購進的個數(shù)；(2)大運會臨近結(jié)束時，網(wǎng)店打算把A款紀念品降價銷售，則降價后銷售A款紀念品要獲得銷售額800元，比按照原價銷售要多賣4個才能獲得同樣多的銷售額，求A款紀念品降價以前的售價．22．觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，第5個等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式；(2)寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．23．（1）已知關(guān)于x的分式方程．①當時，求方程的解．②若該方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．（2）關(guān)于x的方程有整數(shù)解，求此時整數(shù)m的值．五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）24．為豐富同學們的課余生活，培養(yǎng)同學們的創(chuàng)新意識和實踐能力，某校七年級舉辦了“玩轉(zhuǎn)科技、暢想未來”活動，為了表彰活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的同學，學校準備采購A、B兩種獎品.這兩種獎品在甲、乙兩個商場的標價相同，A獎品的單價與B獎品單價之和為35元，買10份A獎品和20份B獎品一共需450元．(1)求A獎品和B獎品的單價分別是多少？(2)甲、乙兩商場舉辦讓利活動：甲商場所有商品以相同折扣打折銷售，乙商場買一份A獎品送一份B獎品.采購時發(fā)現(xiàn)在甲商場用200元買的B獎品數(shù)量比用200元買的A獎品數(shù)量的2倍還多5件．①甲商場的商品打幾折？②若學校分別在甲、乙兩商場均采購10件A獎品和n件B獎品，整理時，采購人員發(fā)現(xiàn)在甲、乙兩商場購買獎品的總費用記賬單，只有百位上的數(shù)字5能看的清楚，十位和個位上的數(shù)字均已被墨水污染．問學校購進B獎品的總數(shù)量為多少？25．對于分式A與B，若（k為常數(shù)），則稱A是B的“k級牽掛分式”，如分式，，，則A是B的“3級牽掛分式”．(1)若分式是分式C的“級牽掛分式”，則分式C為（）A．

B．

C．

D．(2)已知分式，，且分式P是分式Q的“2級牽掛分式”，①求E（用含x的式子表示）；②若P的值為正整數(shù)，x為正整數(shù)，求P的值．(3)已知分式，（a，b為整數(shù)），M是N的“1級牽掛分式”，求a，b的值．

第十五章分式（單元重點綜合測試）答案全解全析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．下列式子是分式的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的定義，一般地，如果A、（不等于零）表示兩個整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A稱為分子，稱為分母，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A，是單項式，故該選項不符合題意；B，是分式，故該選項符合題意；C，是多項式，故該選項不符合題意；D，是單項式，故該選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了分式的判斷，掌握分式的定義是解題的關(guān)鍵．2．化簡結(jié)果正確的是（）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的加減法法則計算即可．【詳解】解：．故選：B．【點睛】本題考查了分式的加減，同分母分式相加減，分母不變，分子相加減．3．下列分式變形正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行計算，逐一判斷即可解答；【詳解】解：A、，故A不符合題意；B、，故B符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D不符合題意；故選：B【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵4．去年，生物學家發(fā)現(xiàn)一種病毒的長度約為米，利用科學記數(shù)法表示為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面0的個數(shù)所決定．【詳解】解：，故選：C．【點睛】本題考查了用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．5．如果將分式中的和都擴大到原來的3倍，那么分式的值（）A．不變 B．擴大到原來的9倍C．縮小到原來的 D．擴大到原來的3倍【答案】C【分析】根據(jù)分式的性質(zhì)，將分式中的和都擴大到原來的3倍，進而化簡，即可求解．【詳解】解：∵∴分式的值縮小到原來的故選：C．【點睛】本題考查的是分式的性質(zhì)，分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變．6．若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（

）A．1 B．2 C． D．0【答案】C【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應先確定增根的可能值，讓最簡公分母，得到，然后代入化為整式方程的方程算出的值．【詳解】解：方程兩邊都乘，得，原方程有增根，最簡公分母，解得：，當時，，故選：C．【點睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求值．注意計算的準確性．7．將，，這三個數(shù)從小到大排列，正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)0指數(shù)冪，負指數(shù)冪直接計算即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，，，，∴，故選：D．【點睛】本題考查0指數(shù)冪，負指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是熟練掌握，．8．下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（）A．當時，的值為零 B．無論為何值，的值總為正數(shù)C．無論為何值，不可能得整數(shù)值 D．當時，有意義【答案】B【分析】根據(jù)分式有意義的條件和分數(shù)值為零的條件逐一判斷，即可得到結(jié)論．【詳解】解：A、當時，無意義，原判斷錯誤，不符合題意；B、，，無論為何值，的值總為正數(shù)，原判斷正確，符合題意；C、當時，是整數(shù)，原判斷錯誤，不符合題意；D、當時，有意義，原判斷錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了分式有意義的條件和分式的值為零的條件．分式有意義的條件是分母不等于0．分式值為零的條件是分子是0，分母不是0．9．已知一列數(shù)，，…..，它們滿足關(guān)系式，，，…，當時，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)列關(guān)系得到，，，即可得到數(shù)列是個循環(huán)數(shù)列，3個一循環(huán)即可得到答案；【詳解】解：∵，，，，∴，，，∴數(shù)列是3個一循環(huán)的數(shù)列，∵，∴，故選：A；【點睛】本題考查數(shù)列的規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到數(shù)列規(guī)律．10．已知關(guān)于的分式方程的解為非負數(shù)，則的取值范圍為（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】先解方程得到，再由方程的解為非負數(shù)，得到，再由，可得，從而可求a的取值范圍．【詳解】解：，去分母得，解得，∵方程的解為非負數(shù)，∴，∴，∵，∴，∴，∴a的取值范圍是且，故選：A．【點睛】本題考查了分式方程的解，熟練掌握分式方程的解法，注意分式方程分母不為0是解題關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．分式和的最簡公分母是______．【答案】【分析】根據(jù)找最簡公分母的方法找出即可．【詳解】解：分式和的最簡公分母是，故答案為：．【點睛】本題考查了最簡公分母，能熟記找最簡公分母的方法是解此題的關(guān)鍵，找最簡公分母的方法是：①系數(shù)找分母各個系數(shù)的最小公倍數(shù)，②相同字母找字母的最高次冪，③對于在一個分母中單獨有的因式，也作為一個因式．12．若分式的值等于，則的值為____________．【答案】1【分析】根據(jù)分式的值為0，分式的分子為0，分母不能為0即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得．故答案為：1．【點睛】本題考查分式的值為零的條件，知道分子等于0分母不能等于0是解題關(guān)鍵．13．復學在即，由于新冠疫情，學校決定拿出元分兩次購進個口罩免費發(fā)放給學生．已知兩次購買口罩的費用相同，且第一次購買口罩的單價是第二次的倍．若設第二次購買口罩的單價為元/個，根據(jù)題意可列方程為______．【答案】【分析】設第二次購買口罩的單價為元/個，則第一次購買口罩的單價是元/個，根據(jù)題意，列出分式方程，即可求解．【詳解】解：設第二次購買口罩的單價為元/個，則第一次購買口罩的單價是元/個，根據(jù)題意得，故答案為：．【點睛】本題考查了列分式方程，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．14．若，對任意自然數(shù)都成立，則__________．【答案】/【分析】先通分，使得等式左右兩邊式子分母一致，從而得到，進而得到關(guān)于a、b的方程組，解方程得出a、b的值，即可得到答案．【詳解】解：，，對任意自然數(shù)都成立，，即，解得：，，故答案為：．【點睛】本題考查了分式的加法運算，解二元一次方程組，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．15．定義運算，如：，則方程的解為_____________.【答案】/【分析】先根據(jù)新運算得出，求出，再方程兩邊都乘，得，求出方程的解，再進行檢驗即可．【詳解】解：，方程兩邊都乘，得，解得：，經(jīng)檢驗，是原方式方程的解．【點睛】本題考查了解分式方程和有理數(shù)的混合運算，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解題的關(guān)鍵．16．已知，關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為___________.【答案】0或【分析】轉(zhuǎn)化成整式方程求出方程的解，根據(jù)無解得出的值．【詳解】解：方程兩側(cè)同乘得：，整理得，方程無解，，，當或時方程無解，，故答案為：0或．【點睛】本題考查了分式方程無解時情況，轉(zhuǎn)化成整式方程進行分析是最基本的方法．三、（本大題共4小題，每小題6分，共24分）17．解分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)原分式方程無解【分析】（1）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、檢驗，進行計算即可得到答案；（2）根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、檢驗，進行計算即可得到答案．【詳解】（1）解：去分母得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，檢驗：當時，，原分式方程的解為：；（2）解：，，去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數(shù)化為1得：，檢驗，當時，，是原分式方程的增根，原分式方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵，注意要檢驗．18．計算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方，零指數(shù)冪以及負整數(shù)指數(shù)冪進行計算即可求解；（2）根據(jù)單項式的乘法，積的乘方，同底數(shù)冪的除法進行計算，然后合并同類項，即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，單項式的乘法，積的乘方以及同底數(shù)冪的除法，熟練掌握以上運算法則是解題的關(guān)鍵．19．先化簡，再求值：，其中【答案】，【分析】先根據(jù)分式的減法法則算括號內(nèi)的減法，再根據(jù)分式的除法法則把除法變成乘法，再根據(jù)分式的加法法則進行計算，最后代入求出答案即可．【詳解】解：原式，把代入得；【點睛】本題主要考查了分式的化簡求值，正確計算是解題的關(guān)鍵．20．已知：代數(shù)式(1)當m為何值時，該式無意義？(2)若該式的值為正數(shù)，求m的取值范圍；【答案】(1)時，該式無意義(2)【分析】（1）由分母為0時，分式無意義，從而可得答案；（2）根據(jù)兩數(shù)相除，同號得正，可得該式的值為正數(shù)，則，再解不等式即可．【詳解】（1）解：由題意得，當時，代數(shù)式無意義；所以時，該式無意義．（2）由題意得，該式的值為正數(shù)時，，即．【點睛】本題考查的是分式無意義的含義，分式的值為正數(shù)，一元一次不等式的解法，理解題意是解本題的關(guān)鍵．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）21．成都大運會期間，某網(wǎng)店直接從工廠購進A、B兩款文創(chuàng)紀念品，已知A、B兩款紀念品的進價分別為30元/個、25元/個．(1)網(wǎng)店第一次用1400元購進A、B兩款紀念品共50個，求A款紀念品購進的個數(shù)；(2)大運會臨近結(jié)束時，網(wǎng)店打算把A款紀念品降價銷售，則降價后銷售A款紀念品要獲得銷售額800元，比按照原價銷售要多賣4個才能獲得同樣多的銷售額，求A款紀念品降價以前的售價．【答案】(1)A款紀念品購進的個數(shù)為30個(2)A款紀念品降價以前的售價50元【分析】（1）設購進A款紀念品個，購進B款紀念品個，根據(jù)共購進50個和花費1400元，可列二元一次方程組，即可解答；（2）設A款紀念品降價以前的售價為m元，則可得降價后的售價為元，利用按照原價銷售的個數(shù)加上4等于降價后銷售的個數(shù)，可列分式方程，即可解答．【詳解】（1）解：設購進A款紀念品個，購進B款紀念品個，根據(jù)題意可得，解得，答：A款紀念品購進的個數(shù)為30個；（2）解：設A款紀念品降價以前的售價為m元，則可得降價后的售價為元，根據(jù)題意可得，解得，經(jīng)檢驗，為原方程的解，答：A款紀念品降價以前的售價50元．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，分式方程的應用，準確理解題意，列出相應的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22．觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，第5個等式：，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式；(2)寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．【答案】(1)(2)【分析】（1）尋找規(guī)律，能求出第6個等式．（2）猜想的第n個等式為：．利用分式運算進行證明即可．【詳解】（1）第6個等式：；（2）猜想的第n個等式為：證明如下：左邊，右邊，左邊=右邊∴【點睛】本題考查簡單的歸納推理、數(shù)學歸納法等基礎知識，還考查分式的加法運算，是中檔題．23．（1）已知關(guān)于x的分式方程．①當時，求方程的解．②若該方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求a的值．（2）關(guān)于x的方程有整數(shù)解，求此時整數(shù)m的值．【答案】（1）①；②a的值為3；（2）m的值為3或0或4【分析】（1）①把代入分式方程后解方程并檢驗即可；②解分式方程得到，求出增根，則，即可求得a的值；（2）解方程得到，根據(jù)分式方程有整數(shù)解得到或且，進一步求解即可得到整數(shù)m的值．【詳解】解：（1）①當時，分式方程為：，去分母得到，解得：，檢驗：當時，，∴是原方程的根；②，去分母得到，解得：，由題意得：，解得：，∴，解得：，∴a的值為3；（2），去分母得到，解得，∵方程有整數(shù)解，∴或且，解得：或3或0或4且，∴或0或4，∴此時整數(shù)m的值為3或0或4．【點睛】此題考查了分式方程的解法、增根問題、整數(shù)解問題等知識，熟練掌握分式方程的解法和增根問題是解題的關(guān)鍵．五、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）24．為豐富同學們的課余生活，培養(yǎng)同學們的創(chuàng)新意識和實踐能力，某校七年級舉辦了“玩轉(zhuǎn)科技、暢想未來”活動，為了表彰活動中表現(xiàn)優(yōu)秀的同學，學校準備采購A、B兩種獎品.這兩種獎品在甲、乙兩個商場的標價相同，A獎品的單價與B獎品單價之和為35元，買10份A獎品和20份B獎品一共需450元．(1)求A獎品和B獎品的單價分別是多少？(2)甲、乙兩商場舉辦讓利活動：甲商場所有商品以相同折扣打折銷售，乙商場買一份A獎品送一份B獎品.采購時發(fā)現(xiàn)在甲商場用200元買的B獎品數(shù)量比用200元買的A獎品數(shù)量的2倍還多5件．①甲商場的商品打幾折？②若學校分別在甲、乙兩商場均采購10件A獎品和n件B獎品，整理時，采購人員發(fā)現(xiàn)在甲、乙兩商場購買獎品的總費用記賬單，只有百位上的數(shù)字5能看的清楚，十位和個位上的數(shù)字均已被墨水污染．問學校購進B獎品的總數(shù)量為多少？【答案】(1)A獎品的單價是25元，B獎品的單價是10元(2)①打8折；②20或22或24或26【分析】（1）設A獎品的單價是x元，B獎品的單價是y元，根據(jù)“A獎品的單價與B獎品單價之和為35元，買10份A獎品和20份B獎品一共需450元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）①設甲商場的商品打a折，利用數(shù)量＝總價÷單價，結(jié)合在甲商場用200元買的B獎品數(shù)量比用200元買的A獎品數(shù)量的2倍還多5件，可列出關(guān)于a的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，即可得出結(jié)論；②總費用為元，由總費用為500多，可列出關(guān)于n的一元一次不等式組，解之可得出n的取值范圍，結(jié)合n為正整數(shù)且，可得出n的值，再將其代入中，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設A獎品的單價是x元，B獎品的單價是y元，根據(jù)題意得