初中數(shù)學．與三角形有關的線段．第01講．教師版

與三角形有關的線段與三角形有關的線段內容基本要求略高要求較高要求三角形了解三角形的有關概念；了解三角形的穩(wěn)定性；會正確對三角形進行分類：理解三角形的內角和、外角和及三邊關系；會畫三角形的主要線段；了解三角形的內心、外心、重心會用尺規(guī)法作給定條件的三角形；會運用三角形內角和定理及推論；會按要求解三角形的邊、角的計算問題；能根據(jù)實際問題合理使用三角形的內心、外心的知識解決問題；會證明三角形的中位線定理，并會應用三角形中位線性質解決有關問題一、三角形的基本概念：⑴三角形的定義：由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形叫做三角形．三角形具有穩(wěn)定性．⑵三角形的內角：三角形的每兩條邊所組成的角叫做三角形的內角．在同一個三角形內，大邊對大角．⑶三角形的外角：三角形的任意一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做三角形的外角．⑷三角形的分類：注意：每個三角形至少有兩個銳角，而至多有一個鈍角．三角形的三個內角中，最大的一個內角是銳角(直角或鈍角)時，該三角形即為銳角三角形(直角三角形或鈍角三角形)．二、與三角形相關的邊⑴三角形中的三種重要線段①三角形的角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線．注：每個三角形都有三條角平分線且相交于一點，這個點叫做三角形的內心，而且它一定在三角形內部．②三角形的中線：在三角形中，連結一個頂點和它的對邊中點的線段叫做三角形的中線．注：每個三角形都有三條中線，且相交于一點，這個點叫做三角形的中心，而且它一定在三角形內部．③三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊畫垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高線．注：每個三角形都有三條高且三條高所在的直線相交于一點，這個點叫做三角形的垂心．銳角三角形的高均在三角形內部，三條高的交點也在三角形的內部；鈍角三角形的高線中有兩個垂足落在邊的延長線上，這兩條高落在三角形的外部，直角三角形有兩條高分別與兩條直角邊重合．反之也成立．畫三角形的高時，只需要向對邊或對邊的延長線作垂線，連接頂點與垂足的線段就是該邊的高．⑵三角形三條邊的關系①三角形三邊關系：三角形任何兩邊的和大于第三邊．②三角形三邊關系定理的推論：三角形任何兩邊之差小于第三邊．即、、三條線段可組成三角形兩條較小的線段之和大于最大的線段．注意：在應用三邊關系定理及推論時，可以簡化為：當三條線段中最長的線段小于另兩條線段之和時，或當三條線段中最短的線段大于另兩條線段之差時，即可組成三角形．如圖所示，∠BAC的對邊是（） A、BD B、DC C、BC D、AD【解析】根據(jù)三角形對邊的定義可知：∠BAC的對邊是BC．【答案】∠BAC的對邊是BC．故選C．三角形的周長小于13，且各邊長為互不相等的整數(shù)，則這樣的三角形共有（） A、2個 B、3個 C、4個 D、5個【解析】首先根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊以及三角形的周長，得到三角形的三邊都不能大于5；再結合三角形的兩邊之差小于第三邊進行分析出所有符合條件的整數(shù)．【答案】根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊以及三角形的周長小于13，則其中的任何一邊不能超過5；再根據(jù)兩邊之差小于第三邊，則這樣的三角形共有3，4，2；4，5，2；3，4，5三個．故選B．為解決四個村莊用電問題，政府投資在已建電廠與這四個村莊之間架設輸電線路．現(xiàn)已知這四個村莊及電廠之間的距離如圖所示（距離單位：公里），則能把電力輸送到這四個村莊的輸電線路的最短總長度應該是（） A、19.5 B、20.5 C、21.5 D、25.5【解析】盡量選擇數(shù)據(jù)較小的路線，到達4個村莊即可．【答案】如圖，最短總長度應該是5+4+5.5+6=20.5cm．故選B．下列長度的三條線段，不能組成三角形的是（） A、3，8，4 B、4，9，6 C、15，20，8 D、9，15，8【解析】根據(jù)三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，進行判定即可．【答案】A：∵3+4＜8∴不能構成三角形；B：∵4+6＞9∴能構成三角形；C：∵8+15＞20∴能構成三角形；D：∵8+9＞15∴能構成三角形．故選A．為估計池塘兩岸A、B間的距離，楊陽在池塘一側選取了一點P，測得PA=16m，PB=12m，那么AB間的距離不可能是（） A、5m B、15m C、20m D、28m【解析】首先根據(jù)三角形的三邊關系定理求出AB的取值范圍，然后再判斷各選項是否正確．【答案】∵PA、PB、AB能構成三角形，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜28m．故選D．如圖所示，第1個圖中有1個三角形，第2個圖中共有5個三角形，第3個圖中共有9個三角形，依次類推，則第6個圖中共有三角形_________個．【解析】根據(jù)前邊的具體數(shù)據(jù)，再結合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：后邊的總比前邊多4，即第n個圖形中，三角形的個數(shù)是1+4（n﹣1）=4n﹣3．所以當n=6時，原式=21．注意規(guī)律：后面的圖形比前面的多4個．【答案】第n個圖形中，三角形的個數(shù)是1+4（n﹣1）=4n﹣3．所以當n=6時，原式=21，故填21．已知三角形的兩邊為、，求第三邊的范圍，求周長的范圍．【解析】設第三邊為，周長為，則；；【答案】下列不能構成三角形三邊長的數(shù)組是()．A．、、B．、、C．、、D．、、【解析】略【答案】D．下列長度的三條線段能組成三角形的是()A．1，2，5B．4，5，9C．5，8，15D．6，8，9【解析】略【答案】D．一個等腰三角形的兩邊長分別為和，則它的周長為()A．7B．9C．12D．9或12【解析】略【答案】C．兩根木棒的長分別是7和10，要選擇第三根木棒，將它們釘成一個三角形，若第三根木棒的長是，則的取值范圍是___________．【解析】．根據(jù)三角形三邊關系定理，可得，解之即得．【答案】已知三角形的三邊長分別為、、，則不可能是()A．B．C．D．【解析】略【答案】D判斷說理，正確的說明理由，錯誤的舉出反例．已知的三邊分別為，，．（1）以，，為三邊的三角形一定存在．（2）以，，為三邊的三角形一定存在．【解析】（1）不一定．比如、、，滿足，而．（2）一定．由對稱性，不妨設，故，．【答案】（1）不一定；（2）一定已知三角形兩邊長為和，求它的周長的取值范圍．【解析】已知兩邊長，求周長的取值范圍，也是應用三角形三邊關系，先求第三邊的取值范圍，再求周長的取范圍．設第三邊長為，周長．由三邊關系得，得．所以周長，所以周長．【答案】周長．一個三角形三邊長分別為，，，則的取值范圍是．【解析】略【答案】．一個三角形三邊長分別為，，，則三角形的周長的范圍是．【解析】略【答案】．已知三角形中兩邊長為2和7，（1）若第三邊長為奇數(shù)，則這個三角形的周長為_________．（2）若這個三角形的周長為奇數(shù)，則第三邊長為_________．【解析】（1）第三邊長的取值范圍是，因為它是奇數(shù)，故只能是7，所以三角形的周長為．（2）由周長為奇數(shù)，可知為偶數(shù)，所以第三邊的長為6或8．【答案】（1）16；（2）6或8．有三條線段，其中兩條線段的長為和，第三條線段的長為，若這三條線段不能構成三角形，則的取值范圍是．【解析】略【答案】或．不等邊三角形中，如果一條邊長等于另兩條邊長的平均值，那么，最大邊上的高與最小邊上的高的比值的取值范圍是．【解析】不妨設三角形三邊長分別為，，且，故，設三角形的面積為，則，則，由，，則．故．【答案】已知有兩邊長為、，其中，則其周長一定滿足()．A．B．C．D．【解析】略【答案】A．、、為三角形的三邊長，化簡，若此三角形周長為，求上面式子的值．【解析】∵三角形任意兩邊之和大于第三邊∴，，∴原式【答案】11下列長度的線段能否組成三角形：、、()；【解析】，均小于，而．因為，所以，它們可以構成三角形；【答案】能下列長度的線段能否組成三角形：、、()；【解析】有，，而，因為，所以，即，它們可以組成三角形；【答案】可以下列線段能組成三角形的是()A．，，B．，，C．，，D．，，【解析】略【答案】D周長為整數(shù)的三角形三邊長分別為、、，且滿足不等式，這樣的三角形有個．【解析】略【答案】．將三邊長為，，的三角形記作．寫出周長為20，各邊長為正整數(shù)的所有不同的三角形．【解析】周長等于20的三解形中，最長邊小于10，且大于等于，由于邊長是整數(shù)，所以最長邊可為9，8，7．用窮舉法可以得下面8個三角形：(9，9，2)、(9，8，3)、(9，7，4)、(9，6，5)、(8，8，4)、(8，7，5)、(8，6，6)、(7，7，6)．【答案】8個用根火柴棒首尾順序連接擺成一個三角形，能擺成不同的三角形的個數(shù)為．【解析】第一：火柴是等長的，不能折斷；第二：一次用完根火柴，不能剩下若干根；第三：要滿足三角形的三邊關系．先確定周長為根，由三角形最大的邊的范圍可知最大的邊必為根，為什么？然后用枚舉法：(怎樣做到不重不漏？)【答案】2如圖，為內一點，試說明．【解析】略【答案】圖中有很多個三角形，在幾個三角形中利用三邊關系進行判斷．因為，，，所以，即．所以．如圖，在三角形中，，為三角形內任意一點，連結，并延長交于點．求證：（1）；（2）．【解析】略【答案】（1）∵，∴∵，∴，∴∵，∴（2）過點作∥，交、于、，則，由(1)知∵，∴即幾何證明中后一問常常要用到前一問的結論．課后作業(yè)課后作業(yè)如圖，△ABC中，已知AB=AC=x，BC=6，則腰長x的取值范圍是（） A、0＜x＜3 B、x＞3 C、3＜x＜6 D、x＞6【解析】根據(jù)三角形的三邊關系定理來確定腰長x的取值范圍．【答案】若△ABC是等腰三角形，需滿足的條件是：6﹣x＜x＜6+x，解得x＞3；故選B．在下列長度的線段中，能組成三角形的是()．A．，，B．，，C．，，D．，，【解析】略【答案】D．如圖，為估計池塘岸邊、兩點的距離，小方在池塘的一側選取一點，測得米，米，、間的距離不可能是()A．5米 B．10米 C． 15米 D．20米【解析】略【答案