立體幾何（解答題）

立體幾何(解答題)

1.【2019年高考全國I卷文數(shù)】如圖，直四棱柱A8CD-4B1G。1的底面是菱形,A4=4,A8=2,ZBAD=60°,

E,M,N分別是8C,BBi,40的中點.

(1)證明：MN〃平面GDE；

(2)求點C到平面C\DE的距離.

2.【2019年高考全國H卷文數(shù)】如圖，長方體的底面ABCQ是正方形，點E在棱A4上,

BE±ECi.

(1)證明：BE_L平面EBCi；

(2)若4E=4E,AB=3,求四棱錐E-的體積.

第1頁共42頁

3.【2019年高考全國in卷文數(shù)】圖1是由矩形4OEB,RtZ\ABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其

中AB=1,BE=BF=2,

/■FBC=60。.將其沿A8,BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)。G,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面ABCL平面BCGE；

(2)求圖2中的四邊形ACGO的面積.

4.【2019年高考北京卷文數(shù)】如圖，在四棱錐P-A3CD中，B4_L平面48。，底部4BCQ為菱形，E

為C。的中點.

(1)求證：8。，平面PAC；

(2)若NABC=60。，求證：平面PAB_L平面PAE；

(3)棱PB上是否存在點尸，使得C尸〃平面PAE?說明理由.

第2頁共42頁

5.【2019年高考天津卷文數(shù)】如圖，在四棱錐P—A3C。中，底面ABC。為平行四邊形，/\PCD為等

邊三角形，平面尸AC，平面PC。，PA±CD,CD^2,AD^3.

(1)設(shè)G,H分別為PB,AC的中點，求證：G”〃平面PAD；

(2)求證：R4_L平面PCD；

(3)求直線A。與平面PAC所成角的正弦值.

6.【2019年高考江蘇卷】如圖，在直三棱柱ABC-AliG中，D,E分別為BC,AC的中點，AB=BC.

求證：(1)4囪〃平面OEG；

(2)BELC\E.

第3頁共42頁

7.【2019年高考浙江卷】如圖，已知三棱柱ABC—AAC，平面4ACG，平面ABC,ZABC=90°,

NBAC=30°,AA=4。=AC,E,F分別是/C,/出的中點.

(1)證明：EF工BC；

(2)求直線EF與平面4BC所成角的余弦值.

8.【2018年高考全國I卷文數(shù)】如圖，在平行四邊形A8C"中，A3=AC=3,ZACM=90°,以4C

為折痕將△ACM折起，使點M到達點。的位置，且ABLD4.

(1)證明：平面AC。，平面ABC；

2

(2)Q為線段AO上一點，P為線段BC上一點，且6P=。。=§D4,求三棱錐Q—A5P的體積.

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9.【2018年高考全國口卷文數(shù)】如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2y[2

PA^PB=PC=AC=4,。為AC的中點.

(1)證明：尸。1_平面43。；

(2)若點M在棱BC上，且A/C=2用求點C到平面POM的距離.

10.【2018年高考全國U卷文數(shù)】如圖，矩形ABC。所在平面與半圓弧CO所在平面垂直，M是CD上異

于C,。的點.

(1)證明：平面平面8MC；

(2)在線段40上是否存在點尸，使得MC〃平面PBO?說明理由.

11.【2018年高考北京卷文數(shù)】如圖，在四棱錐尸-/8CO中，底面為矩形，平面平面/8CD,

第5頁共42頁

PALPD,PA=PD,E,/分別為NO,PB的中點.

(1)求證：PEIBC；

(2)求證：平面以8,平面尸C￡＞；

(3)求證：EF〃平面PCD

12.【2018年高考天津卷文數(shù)】如圖，在四面體ABCZ)中，△A8C是等邊三角形，平面A8CJ_平面A8Z),

點M為棱A8的中點，AB=2,AD=26ZBAD=90°.

(1)求證：ADLBC；

(2)求異面直線8c與例。所成角的余弦值；

(3)求直線CO與平面力8。所成角的正弦值.

13.【2018年高考江蘇卷】在平行六面體ABC。-A4GA中，AA}=AB,AB11.

第6頁共42頁

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IH

求證：(1)43〃平面4片。；

(2)平面AB4AJ"平面RBC.

14.【2018年高考浙江卷】如圖，已知多面體A8C4BC，AA8山，GC均垂直于平面ABC,乙48c=120。,

Ai4=4,GC=1,AB=BC=BiB=2.

(1)證明：ABi_L平面ABC；

(2)求直線AG與平面ABR所成的角的正弦值.

15.【2017年高考全國I文數(shù)】如圖，在四棱錐P-ABCZ)中，AB//CD,且N84P=NCOP=90,.

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(1)證明：平面平面PA。；

o

(2)PA=PD=AB=DC,NAPO=90°，且四棱錐PTBCO的體積為§,求該四棱錐的側(cè)面積.

16.【2017年高考全國H卷文數(shù)】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABC。,

AB=BC=-AD,NBAD=ZABC=90°.

2

(1)證明：直線3c〃平面Q4。；

(2)若APCO的面積為2不，求四棱錐P—ABCD的體積.

17.【2017年高考全國」卷文數(shù)】如圖，四面體A8C。中，AA3C是正三角形，AD=CD.

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(1)證明：ACA.BD；

(2)己知八4儀)是直角三角形，AB=BD.若E為棱8。上與。不重合的點，且AE_LEC,求四面體

A8CE與四面體ACOE的體積比.

18.【2017年高考北京卷文數(shù)】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA±AB,PAVBC,ABLBC,PA=AB=BC=2,

。為線段AC的中點，E為線段PC上一點.

(1)求證：PALBD；

(2)求證：平面平面PAC；

(3)當(dāng)PA〃平面BOE時，求三棱錐E-8C。的體積.

19.【2017年高考天津卷文數(shù)】如圖，在四棱錐P-ABCO中，平面PDC,AD//BC,PD±PB，

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AD=\,BC=3,CD=4,PD=2.

(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；

(2)求證：平面PBC；

(3)求直線A3與平面PBC所成角的正弦值.

20.[2017年高考山東卷文數(shù)】由四棱柱488-小SC。截去三棱錐CL&CDI后得到的幾何體如圖所示,

四邊形為正方形，O為4C與BD的交點，E為4。的中點，小EJ_平面Z8CD

(1)證明：A?！ㄆ矫?C5;

(2)設(shè)〃是。。的中點，證明：平面小平面囪C5.

21.【2017年高考江蘇卷】如圖，在三棱錐A-3CD中，AHLAD,BCLBD,平面AB3,平面BCO,點E,

F(E與A,。不重合)分別在棱A。，80上，且EF_LA￡>.

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求證：(1)EF〃平面ABC；

(2)ADLAC.

22.[2017年高考浙江卷】如圖，已知四棱錐P-ABCD,&PAD是以4。為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,

CD1AD,PC=AD=2DC=2CB,E為尸。的中點.

(1)證明：CE〃平面P4B；

(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.

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立體幾何（解答題）參考答案

1.【2019年高考全國I卷文數(shù)】如圖，直四棱柱A8CD-4B1G。1的底面是菱形,A4=4,A8=2,ZBAD=60°,

E,M,N分別是8C,BBi,40的中點.

（1）證明：MN〃平面GDE；

（2）求點C到平面C\DE的距離.

【答案】（1）見解析；（2）士叵.

17

【解析】（1）連結(jié)BC，ME.

因為M，E分別為的中點，所以ME〃&C,且“七=（4。.

又因為N為4。的中點，所以=

由題設(shè)知44幺DC,可得4c44。，故ME/ND，

因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN//ED.

又MNZ平面GOE,所以MN〃平面GOE.

（2）過C作CiE的垂線，垂足為4.

由已知可得OE_L8C,DEVCXC,所以DEL平面gCE,故OE_LC〃.

從而C”,平面C.DE,故C”的長即為C到平面CyDE的距離，

由已知可得CE=1,GC=4,所以GE=JI7，故677=￥彳.

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從而點c到平面GOE的距離為4p.

【名師點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及的知識點有線面平行的判定，點到平面的距離

的求解，在解題的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋找思路，再者就

是利用線面垂直找到距離問題，當(dāng)然也可以用等積法進行求解.

2.【2019年高考全國n卷文數(shù)】如圖，長方體ABCO-ASGQ的底面4BCD是正方形，點E在棱AAl上，

BE±ECi.

(1)證明：BE,平面E3G；

(2)若AE=4E,AB=3,求四棱錐后一8用C0的體積.

【答案】(1)見詳解；(2)18.

【解析】(1)由已知得平面ABBA”8EU平面ABBA,

故與G

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又BEd.EQ,所以8EL平面EB,C,.

(2)由(1)知N8E8i=90°.

由題設(shè)知RSABE絲RsAliE,所以NAE8=Z^EB,=45°,

故AE=AB=3,A4]=2AE=6.

作垂足為凡則EFL平面34GC,且所=AB=3.

1x3x6x3=18.

所以，四棱錐￡一84CC的體積V=

3

【名師點睛】本題主要考查線面垂直的判定，以及四棱錐的體積的求解，熟記線面垂直的判定定理，

以及四棱錐的體積公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.

3.【2019年高考全國III卷文數(shù)】圖1是由矩形4OE8,RtaABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其

中48=1,BE=BF=2,

NFBC=60。.將其沿AB,BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)OG,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點共面，且平面ABC_L平面3CGE；

(2)求圖2中的四邊形ACGD的面積.

【答案】(1)見解析：(2)4.

【解析】(1)由己知得A。"BE,CG//BE,所以AD〃CG,故AO,CG確定一個平面，從而A,C,G,

力四點共面.

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由已知得A8_L8E,ABlfiC,故平面8CGE.

又因為ABu平面ABC,所以平面ABC_L平面BCGE.

（2）取CG的中點M,連結(jié)EM,DM.

因為A8〃OE,/18_1平面8。6￡：,所以O(shè)EJ_平面8CGE,故OEJ_CG.

由已知，四邊形8CGE是菱形，且N￡8C=60。得EMJ.CG,故CG_L平面。EM.

因此。MJ_CG.

在Rt^OEM中，DE=1,EM=B故OM=2.

所以四邊形ACGO的面積為4.

【名師點睛】本題是很新穎的立體幾何考題，首先是多面體折疊問題，考查考生在折疊過程中哪些量

是不變的，再者折疊后的多面體不是直棱柱，突出考查考生的空間想象能力.

4.【2019年高考北京卷文數(shù)】如圖，在四棱錐P-ABCD中，24_L平面ABC￡>,底部ABCO為菱形，E

為C￡）的中點.

（1）求證：8。_1_平面叢（7；

（2）若/ABC=60。，求證：平面尸平面P4E；

（3）棱PB上是否存在點凡使得CF〃平面PAE?說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）存在，理由見解析.

【解析】（1）因為B4_L平面A8CD,

所以Q4_LBO.

又因為底面A8C。為菱形，

第15頁共42頁

所以30,AC.

所以BO_L平面P4C

(2)因為PA_L平面A5C￡),AEu平面4BC￡>,

所以PALAE.

因為底面ABC。為菱形，NA8C=60。，且E為CO的中點，

所以AELCD

所以ABJ_AE.

所以AEL平面PA8.

所以平面PA8L平面PAE.

(3)棱PB上存在點尸，使得CF〃平面PAE.

取下為PB的中點，取G為PA的中點，連結(jié)CF,FG,EG.

則尸G〃AB,且尸G='AB.

2

因為底面ABCO為菱形，且E為C。的中點，

所以CE〃AB,且CE=L從

2

所以FG〃CE,且尸G=CE.

所以四邊形CEGF為平行四邊形.

所以C尸〃EG.

因為CPU平面PAE,EGU平面PAE,

所以CF〃平面PAE.

【名師點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知

識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.

5.【2019年高考天津卷文數(shù)】如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCO為平行四邊形，△PCD為等

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邊三角形，平面PAC，平面PCD,PAA.CD,CD=2,AD=3.

(1)設(shè)G,H分別為PB,AC的中點，求證：G”〃平面B4。；

(2)求證：平面PCD；

(3)求直線AZ)與平面PAC所成角的正弦值.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)也.

3

【解析】(1)連接80，易知ACn8O=H,BH=DH

又由BG=PG，敬GH〃PD.

又因為(Z平面PAD,PDu平面PAD,

所以G”〃平面為D

(2)取棱尸C的中點N,連接。N.依題意，得ZWJ_PC,

又因為平面PAC_L平面PC。，平面PACA平面PC0=PC，

所以。平面RIC,

又B4u平面RiC,故ON,24.

又已知PA_LCD，CDCDN=D,

所以24_L平面尸CD

(3)連接ZN,ill(2)中OV_L平面a(C,可知NDAN為直線AD與平面RiC所成的角,

因為△PCD為等邊三角形，C/A2且N為尸C的中點，

所以。N=百.

又DNLAN,

在RtA4A?中，stnNDAN=史=昱.

AD3

所以，直線4)與平面RIC所成角的正弦值為".

3

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【名師點睛】本小題主要考查直線與平面平行、直線與平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成

的角等基礎(chǔ)知識.考查空間想象能力和推理論證能力.

6.【2019年高考江蘇卷】如圖，在直三棱柱ABC-A/Q中，D,E分別為BC,AC的中點，AB=BC.

求證：（1）4囪〃平面OEG；

（2）BE_LCiE.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】（I）因為。，E分別為BC,4c的中點，

所以

在直三棱柱48C-481G中，AB〃A向,

所以

又因為EOu平面DEG,4叢.平面DEC,

所以4囪〃平面。EG.

（2）因為N8=8C,E為/C的中點，所以BEL4c.

因為三棱柱是直棱柱，所以CG_L平面ZBC.

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又因為8氏平面ABC,所以CC」BE.

因為CiCu平面4/CG,4Cu平面/MCG,GCMOC,

所以8EJ_平面/MCG.

因為GEu平面/MCG,所以

【名師點睛】本小題主要考查直線與直線、宜線與平面、平面與平面的位置.關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空

間想象能力和推理論證能力.

7.【2019年高考浙江卷】如圖，已知三棱柱平面AACq，平面ABC,ZABC=90°,

ZBAC=30°,AA=A。=AC,E,F分別是AC,4向的中點.

（1）證明：EFIBCt

（2）求直線跖與平面小8c所成角的余弦值.

3

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】方法一：

（1）連接4E,因為4A=AC,E是AC的中點，所以4c.

又平面AiACCj_L平面ABC,AiEu平面AMCC”

平面AiACGD平面4BC=AC,

所以,4E_L平面4BC,則AiE_LBC.

又因為AF〃AB,NA8C=90。，故BCJ_AF.

所以8C_L平面4EF.

因止匕EF_L8c.

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（2）取8c中點G,連接EG,GF,則￡GF4是平行四邊形.

由于4E上平面ABC,故4ELEG,所以平行四邊形EGF4為矩形.

由（1）得BC_L平面EGF4,則平面48CJ_平面EGE41,

所以EF在平面ABC上的射影在直線4G上.

連接4G交E尸于。，則/EOG是直線￡尸與平面48c所成的角（或其補角）.

不妨設(shè)AC=4,則在RsAiEG中，A\E=2S，EG=g.

由于。為4G的中點，故EO=OG=4C=@5

22

EO2+OG2-EG23

所以cos/EOG=

2E00G5

3

因此，直線EF與平面ABC所成角的余弦值是g.

方法二:

（1）連接4E,因為AN=4C,E是AC的中點，所以4E_LAC

又平面4|4。?_1_平面A8C,4EU平面4ACG,

平面AiACCC平面A8C=AC,所以，平面48c.

如圖，以點E為原點，分別以射線EC,E4為y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz.

不妨設(shè)AC=4,則

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,3,2aC(o,2,0).

4(0,0,)，3(51，0)，4(?3,2揚,

2

因此,1,2?BC=(-73,1,0).

由而反=0得稗_LBC.

（2）設(shè)直線EF與平面48c所成角為仇

由(1)可得BC^-s/3,1,0),而=(0,2，-2囚.

設(shè)平面418c的法向量為”=（x，y，z）,

BCn=0+y=0

由7得＜

4。〃=0y-y/iz=0

取“=(1,6,1),故sinegcos(EFS")上\EF-n\4

\EF\-\n\~^'

3

因此，直線即與平面A/C所成的角的余弦值為

【名師點睛】本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，同時考查空

間想象能力和運算求解能力.

8.【2018年高考全國I卷文數(shù)】如圖，在平行四邊形ABCW中，AB=AC=3,NACM=9（）°,以AC

為折痕將△ACM折起，使點用到達點。的位置，且

（1）證明：平面ACDJ_平面A3C；

【答案】（I）見解析；（2）1.

【解析】（1）由已知可得，ZBAC=90°,BA±AC.

又8/J_4D,所以平面/CD.

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又"u平面

所以平面ZCQ_L平面ABC.

(2)由已知可得，DC=CM=AB=3,DA=3亞.

又BP=DQ=§DA,所以BP=2亞.

作0EL4C,垂足為E,則QEggoC.

由已知及(1)可得OCL平面48C,所以。平面Z8C,QE=1.

因此，三棱錐Q-A6P的體積為

vx￡x5xlxx3x2

0-^=1GAAfip=|^V2sin45°=l.

【名師點睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的判定以及三棱錐的體

積的求解，在解題的過程中，需要清楚題中的有關(guān)垂直的直線的位置，結(jié)合線面垂直的判定定理證得

線面垂直，之后應(yīng)用面面垂直的判定定理證得面面垂直，需要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的

關(guān)系，在求三棱錐的體積的時候，注意應(yīng)用體積公式求解即可.解答本題時，(1)首先根據(jù)題的條件，

可以得到ZR4C=90。，即84_LAC,再結(jié)合已知條件84，/。，利用線面垂直的判定定理證得

平面月8,又因為/8U平面/5C,根據(jù)面面垂直的判定定理，證得平面481.平面48C；(2)根據(jù)

已知條件，求得相關(guān)的線段的長度，根據(jù)第一問的相關(guān)垂直的條件，求得三棱錐的高，之后借助于三

棱錐的體積公式求得三棱錐的體積.

9.【2018年高考全國口卷文數(shù)】如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=26，

PA=PB^PC=AC=4,。為AC的中點.

(1)證明：P。，平面ABC；

(2)若點M在棱5c上，且MC=2的3,求點C到平面POM的距離.

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【答案】（1）見解析；（2）二士.

5

【解析】（1）因為AP=CP=AC=4,。為AC的中點，所以O(shè)PLAC,且OP=2jL

連結(jié)。8.因為A8=8C=YZAC，所以△A8C為等腰宜角三角形，MOBLAC,0B=-AC^2.

22

山OP2+OB2=PB2知，。尸J_OB.

由OP_LOB,OP±AC知PO_L平面ABC.

（2）作CH_LOM,垂足為H.又由（1）可得OPLCH,所以CbJ_平面POM.

故CH的長為點C到平面POM的距離.

由題設(shè)可知。C=,AC=2,CM=2BC=生旦，ZACB=45°.

所以。仆述，CH=℃即.sinNACB=^l

所以點C到平面POM的距離為逑.

5

【名師點睛】立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明為

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主，解題的核心是能將問題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明，解答本題時，連接05,欲證平面ABC，

只需證明PO±AC,P0±OB即可；本題第二問可以通過作出點到平面的距離線段求解，即過點C作

CH±OM，垂足為M，只需論證C”的長即為所求，再利用平面幾何知識求解即可，本題也可利用

等體積法解決.

10.【2018年高考全國」卷文數(shù)】如圖，矩形A8CD所在平面與半圓弧所在平面垂直，M是CO上異

于C,。的點.

（1）證明：平面4WD,平面8MC；

（2）在線段40上是否存在點P,使得MC〃平面P8O?說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）存在，理由見解析.

【解析】（1）由題設(shè)知，平面CM。_L平面488,交線為CD

因為8C_LCD,8Cu平面A8CO,所以8CJ_平面CMD,故8C_L￡）M.

因為M為CO上異于C,。的點，且QC為直徑，所以。MLCM.

XBCC\CM=C,所以DW_L平面BMC.

而￡>Mu平面AMD,故平面AM￡>_L平面BMC.

（2）當(dāng)P為AM的中點時，A/C〃平面尸80.

證明如下：連結(jié)4c交8。于。.因為A8C。為矩形，所以。為AC中點.

連結(jié)OP,因為P為AM中點，所以MC〃。尸.

MCN平面PBQ,OPu平面PBO,所以MC〃平面P8D

【名師點睛】本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直，第二問

先斷出P為中點，然后作輔助線，由線線平行得到線面平行，考查學(xué)生空間想象能力，屬于中檔

第24頁共42頁

題.

11.【2018年高考北京卷文數(shù)】如圖，在四棱錐中，底面“BCD為矩形，平面以。，平面/8CQ,

PALPD,PA=PD,E,F分別為4D,尸8的中點.

（1）求證：PE1BC；

（2）求證：平面為8_L平面PCQ；

（3）求證：比7〃平面PCD

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】（1）,:PA=PD，且石為AQ的中點，AO.

?.?底面ABCO為矩形，BC〃AO，

PEVBC.

（2）?.?底面A8CO為矩形，,A3LAD

平面PAD，平面ABCD,：.AB1,平面PAD

ABrPD^PAA-PD，

，PD_L平面PAB■???平面PAB±平面PCD.

（3）如圖，取PC中點G,連接FG,GO.

:EG分別為QB和PC的中點，.??FG〃BC，且FG=gBC.

2

?.?四邊形ABC。為矩形，且￡為A。的中點，

/.ED//BC,DE=-BC,

第25頁共42頁

/.ED//FG，且ED=R7，.?.四邊形EFG。為平行四邊形，

EF//GD.

又所2平面PC。，GOu平面PCD，

七戶〃平面PCD.

【名師點睛】證明面面關(guān)系的核心是證明線面關(guān)系，證明線面關(guān)系的核心是證明線線關(guān)系.證明線線平

行的方法：（1）線面平行的性質(zhì)定理：（2）三角形中位線法；（3）平行四邊形法.證明線線垂直的常用

方法：（1）等腰二角形三線合一；（2）勾股定理逆定理；（3）線面垂直的性質(zhì)定理；（4）菱形對角線

互相垂直.

12.【2018年高考天津卷文數(shù)】如圖，在四面體A8CO中，AABC是等邊三角形，平面ABC,平面AB。，

點M為棱AB的中點，AB=2,AD=26ZBAD=90°.

（1）求證：ADLBC；

（2）求異面直線8。與MZ）所成角的余弦值；

（3）求直線CO與平面48。所成角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）叵;（3）YL

264

【解析】（1）由平面A8C_L平面48/）,平面ABCn平面AD±AB,可得4D_L平面ABC,

故AO_LBC.

（2）取棱AC的中點N,連接MN,ND.又因為M為棱A8的中點，椒MN//BC.所以（或其

補角）為異面直線8c與M。所成的角.

在RtAD4M中，AM=\,DM=y/AD2+AM2=y[13■因為A。L平面ABC,^LADYAC.

在R3DAN中，AN=l,DN=yjAlf+AN2=V13?

_MNi—

在等腰三角形。MN中，MN=1,可得/c2V13.

cosZ.DMN=-....=----

DM26

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所以，異面直線3c與MD所成角的余弦值為'叵.

26

（3）連接CM.因為AABC為等邊三角形，M為邊A3的中點，故CMLA8,CM=￡.又因為平面

ABCJ_平面A3。，而CMU平面ABC,故CM_L平面A8Z）.所以，/CDW為直線CZ）與平面480所成

的角.

在RSC4Q中，CD=JAC2+AD2=4.

在RsCMC中，sin/CDM=^=走.

CD4

所以，直線C。與平面AW）所成角的正弦值為

4

［名師點睛】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面垂直等基礎(chǔ)知識.考

查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.

13.【2018年高考江蘇卷】在平行六面體—中，AA}=AB,AB,15.C,.

求證：（1）A3〃平面ABC；

（2）平面，平面ABC.

【答案】（1）見解析：（2）見解析.

【解析】（1）在平行六面體48CDN囚GA中，AB〃AB.

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因為平面48iC,4-u平面48C,

所以42〃平面小81c.

(2)在平行六面體力88/山iGU中，四邊形為平行四邊形.

又因為/4=/8,所以四邊形/8歷4為菱形，

因此/8i_L小8.

又因為45i_LBQ,BC/ZBiCx,

所以

又因為48nBe=8,48u平面小8C,8Cu平面/山C,

所以平面48c.

因為4Biu平面/8囪小，

所以平面N88i4_L平面小8C.

【名師點睛】本題可能會出現(xiàn)對常見幾何體的結(jié)構(gòu)不熟悉導(dǎo)致幾何體中的位置關(guān)系無法得到運用或者

運用錯誤,如柱體的概念中包含“兩個底面是全等的多邊形，且對應(yīng)邊互相平行，側(cè)面都是平行四邊形”，

再如菱形對角線互相垂直的條件，這些條件在解題中都是已知條件，缺少對這些條件的應(yīng)用可導(dǎo)致無

法證明.解答本題時，(1)先根據(jù)平行六面體得線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論；(2)先根

據(jù)條件得四邊形月8囪小為菱形，再根據(jù)菱形對角線相互垂直，以及已知垂直條件，利用線面垂直判定

定理得線面垂直，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論.

14.【2018年高考浙江卷】如圖，已知多面體A5cA山江AA5山,GC均垂直于平面ABC,NABC=120。，

Ai4=4,C,C=1,AB=BC=BiB=2.

(1)證明：ABi_L平面4SG；

(2)求直線AG與平面ABB所成的角的正弦值.

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【答案】（1）見解析；（2）*土.

13

【解析】方法一：（1）由48=2,朋=4,84=2,朋_LAB,B4J.A5得做=4耳=20,

所以4目+4k=A4：.

故AB1J-44.

由6c=2,BB[=2,CCi=l,BB]工BC,C3工BC得B\C\=后,

由AB=BC=2,NABC=120。得AC=2g，

由CC|_LAC,得AG=內(nèi)，所以A耳+BC；=AC；，故4片，4G.

因此A4_L平面A4G.

（2）如圖，過點a作用，交直線44于點。，連結(jié)AZX

由AB,，平面AgG得平面44G_L平面.

由G。，4用得CD1平面ABB,,

所以NGAO是AC,與平面ABB,所成的角.

￡sinN￡A4=1

由4G=石，44=20,4G=亞得?。$/6；44

所以GO=6.

C,D_V39

故sin4AZ）=而一石

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因此，直線AG與平面所成的角的正弦值是叵

13

方法二：（1）如圖，以ZC的中點。為原點，分別以射線0c為x,V軸的正半軸，建立空間直角

坐標(biāo)系O-xyz.

由題意知各點坐標(biāo)如下:

A(0,-6,0),5(1,0,0),A(0,-A/3,4),旦(1,0,2),G(0,百,1),

UUULLILlUllLUULUl「

因此A4=(1,G,2)，44=(1,6,一2)，AG=(0,26,一3),

UUUUUUU

由=o得Ag_L44.

UUUUULUl

由=0得44_140.

所以A4_L平面4片?！?/p>

(2)設(shè)直線Aa與平面AB片所成的角為夕

UUU「ULULUUU

由(1)可知AG=(0,2V3,1),AB=(1,<3,0),BBt=(0,0,2),

設(shè)平面ABB1的法向量n=（x,y,z）.

nun

n-AB-0,+百y=0,

由＜uuir即〈，可取〃=（一r百,1,0）.

n-BB,=0,〔2z=0,

UUU___

所以sine=|cos（肥,|=火缸電-=叵.

因此，直線A￡與平面A6與所成的角的正弦值是叵.

13

【名師點睛】本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，同時考查空

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間想象能力和運算求解能力.

15.【2017年高考全國I文數(shù)】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD,且ZBAP=NCOP=90.

（1）證明：平面PAB_L平面PAQ；

8

（2）PA=PD=AB=DC,=90。，且四棱錐P-A8C。的體積為葭求該四棱錐的側(cè)面積.

【答案】（1）見解析；⑵6+273.

【解析】（1）由已知尸=NQ）P=90°，得ABJ_AP，CDA.PD.

由于AB〃CD,故ABLFD,從而A3_L平面.

由（D知，A3,平面PAD,故A6LPE，可得PEJ_平面ABCO.

B

設(shè)=則由已知可得AO=J^x，PE=—x.

2

113

123

故四棱錐尸一ABCD的體積VP_AHCI）=-ABADPE^-x.

1Q

由題設(shè)得7；丁=一，故x=2.

33

從而％=?。=2，AD=BC=2O，PB=PC=2叵.

可得四棱錐P—的側(cè)面積為LpA-P0+Lp4A3+LpO-0C+!8C2sin6O°=6+2^.

2222

【名師點睛】證明面面垂直，先由線線垂直證明線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直；計算點面距

離時，如直接求不方便，應(yīng)首先想到轉(zhuǎn)化，如平行轉(zhuǎn)化、對■稱轉(zhuǎn)化、比例轉(zhuǎn)化等，找到方便求值時再

計算，可以減少運算量，提高準(zhǔn)確度，求點面距離有時能直接作出就直接求出，不方便直接求出的看

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成三棱錐的高，利用等體積法求出.解答本題時，（1）由ABLAP，AB±PD^得AB_L平面PAD

即可證得結(jié)果；（2）設(shè)A8=x，則四棱錐尸一ABC。的體積匕=解得

x=2,可得所求側(cè)面積.

16.【2017年高考全國H卷文數(shù)】如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面P4）為等邊三角形且垂直于底面ABCD,

AB=BC=-AD,NBAD=ZABC=90°.

2

（1）證明：直線平面P4。；

（2）若APC。的面積為2S，求四棱錐P—A8CD的體積.

【答案】（1）見解析；（2）4萬.

【解析】（1）在平面N88內(nèi)，因為/84D=NN8C=90。，所以8C〃4）.

又BCZ平面PA。，AOu平面PAO,

故BC//平面PAD.

（2）取/。的中點M,連結(jié)PM,CM,

由48=3。=，4￡）及8?！?。，ZN8O90。得四邊形N5CM為正方形，則CALL/。.

2

因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面R/OC平面ABCD=AD,

所以PALLN。，尸M_L底面N8CQ,

第32頁共42頁

因為CMu底面ABC。，所以PMVCM.

設(shè)BC=x,則CA/=x,CD=^ix，PM=6X，PC=PD=2X.

取8的中點M連結(jié)PM則PNJ_CZ),所以PN=叵

2

因為4PCD的面積為2幣,所以，x缶x—x=277，

22

解得x=-2（舍去），x=2,于是4B=BC=2,4￡>=4,PM=2^3?

所以四棱錐P-ABCD的體枳V=2x2x(2+』)x=4百.

32

【名師點睛】解答本題時，(1)先由平面幾何知識得8C〃N。，再利用線面平行的判定定

理證得結(jié)論；(2)取的中點“，利用線面垂直的判定定理證明?底面/BCD,從

而得四棱錐的高，再通過平面幾何計算得底面直角梯形的面積，最后代入錐體體積公式即

可.垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化