2024-2025學年新教材高中數(shù)學1空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理課后素養(yǎng)落實含解析新人教A版選擇性必修第一冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(三)空間向量基本定理(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．若{a，b，c}是空間的一個基底，則下列各組中不能構成空間的一個基底的是()A．a,2b,3B．a＋b，b＋c，c＋aC．a＋b＋c，b＋c，cD．a＋2b,2b＋3c,3a－9cD[因為{a，b，c}是空間的一個基底，所以a，b，c不共面．對于A，B，C選項，每組都是不共面的向量，能構成空間的一個基底；對于D：a＋2b,2b＋3c,3a－9c滿意3a－9c＝3[(a＋2b2.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，點O為空間內隨意一點，設eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，則向量eq\o(OD,\s\up7(→))可用a，b，c表示為()A．a－b＋2B．a－b－2C．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cD．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD[由AB＝2CD得eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，所以eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝c＋eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，故選D．]3．若向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))的起點M與終點A，B，C互不重合，且點M，A，B，C中無三點共線，滿意下列關系(O是空間任一點)，則能使向量eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))成為空間一個基底的關系是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))B．eq\o(MA,\s\up7(→))≠eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))C．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))D．eq\o(MA,\s\up7(→))＝2eq\o(MB,\s\up7(→))－eq\o(MC,\s\up7(→))C[若eq\o(MA,\s\up7(→))，eq\o(MB,\s\up7(→))，eq\o(MC,\s\up7(→))為空間一組基向量，則M，A，B，C四點不共面．選項A中，因為eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，所以點M，A，B，C共面；選項B中，eq\o(MA,\s\up7(→))≠eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(MC,\s\up7(→))，但可能存在實數(shù)λ，μ使得eq\o(MA,\s\up7(→))＝λeq\o(MB,\s\up7(→))＋μeq\o(MC,\s\up7(→))，所以點M，A，B，C可能共面；選項D中，四點M，A，B，C明顯共面．故選C．]4．在三棱柱A1B1C1-ABC中，D是四邊形BB1C1C的中心，且eq\o(AA1,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝c，則eq\o(A1D,\s\up7(→))＝()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c B．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cD[連接A1B(圖略)，eq\o(A1D,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(A1B,\s\up7(→))＋eq\o(A1C1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1C1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，故選D．]5.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC為正三角形，側棱垂直于底面，AB＝4，AA1＝6.若E是棱BB1的中點，則異面直線A1E與AC1A．eq\f(\r(13),13) B．eq\f(2\r(13),13)C．eq\f(3\r(13),13) D．eq\f(\r(13),26)A[設eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，則{a，b，c}構成空間的一個基底，eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(B1E,\s\up7(→))＝a－eq\f(1,2)c，eq\o(AC1,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝b＋c，cos〈eq\o(A1E,\s\up7(→))，eq\o(AC1,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(A1E,\s\up7(→))·\o(AC1,\s\up7(→)),|\o(A1E,\s\up7(→))||\o(AC1,\s\up7(→))|)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)c))·b＋c,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)c))|b＋c|)＝eq\f(－10,5×2\r(13))＝－eq\f(\r(13),13)，所以異面直線A1E與AC1所成角的余弦值為eq\f(\r(13),13).]二、填空題6．在四面體OABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq\o(OE,\s\up7(→))＝________.(用a，b，c表示)eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c[因為在四面體OABC中，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，所以eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)(b＋c)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.]7．已知{a，b，c}是空間的一個單位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空間的另一個基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示為m＝3a＋5b＋9c，則m在基底{a＋b，a－b,4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)[由題意知，m＝3a＋5b＋9c，設m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝5，,3z＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－1，,z＝3.))則m在基底{a＋b，a－b,3c}可表示為m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(38.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6.則線段PC的長為________．7[由題意知〈eq\O(\o(AD,\s\up7(→))，\o(DC,\s\up7(→)))〉＝120°.eq\o(PA,\s\up7(→))⊥eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(PA,\s\up7(→))⊥eq\o(DC,\s\up7(→))，則eq\o(PC,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))，所以|eq\o(PC,\s\up7(→))|2＝eq\o(PA,\s\up7(→))2＋eq\o(AD,\s\up7(→))2＋eq\o(DC,\s\up7(→))2＋2eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋2eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→))＋2eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→))＝36＋16＋9＋2×3×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝49，所以|eq\o(PC,\s\up7(→))|＝7.]三、解答題9．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up7(→))＝xa＋yb＋zc，求實數(shù)x，y，z的值．[解](1)eq\o(D1B,\s\up7(→))＝eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝a－b－c，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(D1A,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(a－c)．(2)eq\o(D1F,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(D1D,\s\up7(→))＋eq\o(D1B,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(DD1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(a－c－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是C1D1，D1D(1)求〈eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))〉的余弦值；(2)求證：eq\o(BD1,\s\up7(→))⊥eq\o(EF,\s\up7(→)).[解](1)eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DF,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(CC1,\s\up7(→))＋eq\o(C1E,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→)).∵eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝0，eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AA1,\s\up7(→))＝0，eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AA1,\s\up7(→))＝0，∴eq\o(CE,\s\up7(→))·eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up7(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up7(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up7(→))＋\f(1,2)\o(AA1,\s\up7(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))2＝eq\f(1,2).又|eq\o(AF,\s\up7(→))|＝|eq\o(CE,\s\up7(→))|＝eq\f(\r(5),2)，∴cos〈eq\o(CE,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))〉＝eq\f(2,5).(2)證明：eq\o(BD1,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))＋eq\o(DD1,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(ED1,\s\up7(→))＋eq\o(D1F,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))，∴eq\o(BD1,\s\up7(→))·eq\o(EF,\s\up7(→))＝(eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→)))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)\o(AB,\s\up7(→))＋\o(AA1,\s\up7(→))))＝0，∴eq\o(BD1,\s\up7(→))⊥eq\o(EF,\s\up7(→)).1．(多選題)在三棱錐P-ABC中，三條側棱PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，則下列說法正確的是()A．EG⊥PG B．EG⊥BCC．FG∥BC D．FG⊥EFABD[如圖，設eq\o(PA,\s\up7(→))＝a，eq\o(PB,\s\up7(→))＝b，eq\o(PC,\s\up7(→))＝c，則{a，b，c}是空間的一個正交基底，則a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中點H，則eq\o(PG,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PH,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，eq\o(PE,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(PC,\s\up7(→))－eq\o(PB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,3)c＋eq\f(2,3)b，eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\o(PG,\s\up7(→))－eq\o(PE,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c＝eq\f(1,3)a－eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)c，eq\o(BC,\s\up7(→))＝c－b，eq\o(FG,\s\up7(→))＝eq\o(PG,\s\up7(→))－eq\o(PF,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b－eq\f(1,3)b＝eq\f(1,3)a，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(PF,\s\up7(→))－eq\o(PE,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)b－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)c＋\f(2,3)b))＝－eq\f(1,3)c－eq\f(1,3)b，∴eq\o(EG,\s\up7(→))·eq\o(PG,\s\up7(→))＝0，A正確；eq\o(EG,\s\up7(→))·eq\o(BC,\s\up7(→))＝0，B正確；eq\o(FG,\s\up7(→))≠λeq\o(BC,\s\up7(→))(λ∈R)，C不正確；eq\o(FG,\s\up7(→))·eq\o(EF,\s\up7(→))＝0，D正確．故選ABD．]2.(多選題)如圖，一個結晶體的形態(tài)為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，其中，以頂點AA．AC1＝6eq\r(6)B．AC1⊥DBC．向量eq\o(B1C,\s\up7(→))與eq\o(AA1,\s\up7(→))的夾角是60°D．BD1與AC所成角的余弦值為eq\f(\r(6),3)AB[因為以頂點A為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是60°，所以eq\o(AA1,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝6×6×cos60°＝18，(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))2＝eq\o(AA1,\s\up7(→))2＋eq\o(AB,\s\up7(→))2＋eq\o(AD,\s\up7(→))2＋2eq\o(AA1,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＋2eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋2eq\o(AA1,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，則|eq\o(AC1,\s\up7(→))|＝|eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))|＝6eq\r(6)，所以A正確；eq\o(AC1,\s\up7(→))·eq\o(DB,\s\up7(→))＝(eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))·(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→)))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))2－eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))2＝0，所以B正確；明顯△AA1D為等邊三角形，則∠AA1D＝60°.因為eq\o(B1C,\s\up7(→))＝eq\o(A1D,\s\up7(→))，且向量eq\o(A1D,\s\up7(→))與eq\o(AA1,\s\up7(→))的夾角是120°，所以eq\o(B1C,\s\up7(→))與eq\o(AA1,\s\up7(→))的夾角是120°，所以C不正確；因為eq\o(BD1,\s\up7(→))＝eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))，所以|eq\o(BD1,\s\up7(→))|＝eq\r(\O(\o(AD,\s\up7(→))＋\o(AA1,\s\up7(→))－\o(AB,\s\up7(→))2))＝6eq\r(2)，|eq\o(AC,\s\up7(→))|＝eq\r(\o(\o(AB,\s\up7(→))＋\o(AD,\s\up7(→))2))＝6eq\r(3)，eq\o(BD1,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))＝(eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))·(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＝36，所以cos〈eq\o(BD1,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(BD1,\s\up7(→))·\o(AC,\s\up7(→)),|\o(BD1,\s\up7(→))|·|\o(AC,\s\up7(→))|)＝eq\f(36,6\r(2)×6\r(3))＝eq\f(\r(6),6)，所以D不正確．故選AB．]3．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分別為AA1，B1C的中點，若記eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，則eq\o(DE,\s\up7(→))＝________.(用a，b，c表示)eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b[eq\o(DE,\s\up7(→))＝eq\o(DA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1E,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A1B1,\s\up7(→))＋eq\o(A1C,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AA1,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)c＋eq\f(1,2)(a＋b－c)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.]4．棱長為a的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別為棱AD，BC的中點，則異面直線EF與AB所成角的大小是________，線段EF的長度為________．eq\f(π,4)eq\f(\r(2),2)a[設eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，則{a，b，c}是空間的一個基底，∴|a|＝|b|＝|c|＝a，a·b＝a·c＝b·c＝eq\f(1,2)a2.∵eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\o(AF,\s\up7(→))－eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)－eq\f(1,2)c，∴eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)a·c＝eq\f(1,2)a2，|eq\o(EF,\s\up7(→))|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\