人教 九下 數(shù)學 第29章《投影》課件

29.1投影第二十九章投影與視圖逐點導講練課堂小結作業(yè)提升課時講解1課時流程2投影平行投影中心投影正投影知識點投影知1－講11.定義：一般地，用光線照射物體，在某個平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.照射光線叫做投影線，投影所在的平面叫做投影面.知1－講2.性質：(1)光線是沿直線照射的，因此可以由物體與它的投影確定光線的方向.(2)不同時刻，物體的影子的方向和大小會發(fā)生變化；在投影線和投影面相同的情況下，不同形狀的物體的投影一般不同.知1－講特別提醒形成投影應具備的條件：1.要有物體存在，且物體處于光源與投影面之間；2.要有光線；3.要有一個呈現(xiàn)投影的面,即投影面(投影面應是平的).知1－練例1如圖29.1－1，能近似反映冬季上午10時你所在學校的旗桿與其影子的位置關系的是()知1－練解題秘方：緊扣“投影的特征”，結合生活體驗進行判斷.答案：C解：冬季上午10時，北半球太陽光下物體的影子應大致在物體的西北方向.知1－練1－1.[期末·沂源縣]每當晴天，小亮在早晨上學的路上和下午放學的路上，面朝前走時，都看不到自己的影子，那么小亮的家在學校的(

)A.東面

B.西面C.南面

D.北面B知2－講1.定義：太陽光線可以看成平行光線，由平行光線形成的投影叫做平行投影.例如，物體在太陽光的照射下形成的影子屬于平行投影.知識點平行投影2平行投影的投影線都是平行的.知2－講深度理解平行投影中對應點的連線是互相平行的；若物體與其投影的對應點的連線互相平行，就說明是平行投影.知2－講2.特征：(1)同一時刻，在太陽光下，等高的物體垂直于地面放置時，它們的影子長度相等；等長的物體平行于地面放置時，它們的影子長度也相等，并且影子的長度等于物體本身的長度.(2)在太陽光下，不同時刻，同一物體的影子長度不同；同一時刻，不同物體本身的高度與它們的影子長度成正比.知2－講

知2－練小華拿一個矩形木框在陽光下玩，矩形木框在地面上形成的影子不可能是圖29.1－2中的()例2知2－練解題秘方：緊扣“同一時刻，平行的邊的平行投影是平行或重合的”這一特征解答.解：矩形木框在地面上形成的影子應是平行四邊形或一條線段，不會是梯形.答案：A知2－練2－1.在同一時刻，兩根長度不等的木桿置于陽光之下，但它們的影長相等，那么這兩根木桿可能的相對位置是(

)A.兩根木桿都垂直于地面B.兩根木桿平行斜插在地上C.兩根木桿不平行斜插在地上D.兩根木桿都倒在地上C知2－練如圖29.1－3，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB＝5m，某一時刻AB

在陽光下的投影BC＝3m.例3知2－練(1)請你在圖中畫出此時DE在陽光下的投影(用線段EF表

示)；思路引導：知2－練解：如圖29.1－4，連接AC，過點D作DF∥AC，交直線BE于點F，則EF就是DE的投影.知2－練(2)在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為6m，請你計算DE

的長.思路引導：知2－練

知2－練3－1.小明和小麗要利用樹影來測量樹高，小明在某一時刻測得長為1m的標桿的影長為0.9m，同時小麗測量樹影，但因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面

上，有一部分影子在墻上(如圖所示)，她先測得留在墻上的影高為1.2m，又測得地面上的影長為2.7

m，那么樹高是多少米？知2－練知3－講知識點中心投影31.定義：由同一點(點光源)發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影.如物體在燈泡發(fā)出的光照射下形成的影子就是中心投影.2.特征：在中心投影的情況下，點光源、物體邊緣的點以及它在影子上的對應點在同一條直線上.這些直線相交于光源這一點.知3－講3.知識拓展：平行投影和中心投影的聯(lián)系與區(qū)別類型項目平行投影中心投影定義由平行光線形成的投影由同一點(點光源)發(fā)出的光線形成的投影區(qū)別光源太陽光等點光源(如蠟燭、路燈等)投影線平行相交投影方向相同由點光源與物體的相對位置確定聯(lián)系都是投影現(xiàn)象，都是物體在光線下形成的影子知3－講特別提醒中心投影的光源是點光源，它的光線相交于一點，常見的點光源有手電筒、路燈、臺燈等.知3－練圖29.1－5中的投影不是中心投影的是()解題秘方：緊扣“影子的位置情況”和“投影線的方向”進行辨識.例4知3－練解：A選項，影子在異側，屬于中心投影；B，C選項，影子在同側，作投影線時相交于一點，屬于中心投影；D選項，影子在同側，作投影線時平行，屬于平行投影.答案：D知3－練教你一招：判斷是中心投影還是平行投影的方法看圖中的影子：若在同側，則是平行投影或中心投影；若在異側，則一定是中心投影.作圖：過不同物體的頂端及其影子的頂端作直線，若平行，則為平行投影；若相交，則為中心投影.知3－練4－1.[期末·煙臺海陽市]如圖，小明夜晚從路燈下的甲處走到乙處的過程中，他在地面上的影子(

)A.逐漸變長B.逐漸變短C.先變長后變短D.先變短后變長D知3－練如圖29.1－6，學習中心投影后，小光同學在燈光下觀察自己的影子.線段AB表示小光，線段CD表示此時的燈桿，點C為路燈所在位置.例5知3－練(1)畫出小光在路燈C照明下的影子，并記為BE；解題秘方：連接CA并延長，交直線BD于點E，線段BE即為所作；解：如圖29.1－7，線段BE即為所作.知3－練(2)如果小光身高1.8m，他站在距離燈桿CD5m的B處時，測得自己的影長BE＝3m，求燈桿CD的高度.

知3－練

知3－練5－1.如圖，小明(記為AB)和小亮(記為FG)在同一路燈下，小明的影子是AC，路燈燈泡在線段DE上．知3－練(1)請你確定燈泡所在的位置，并畫出小亮在燈光下的影子；解：如圖，點O為燈泡所在的位置，線段FH為小亮在燈光下的影子．知3－練(2)如果小明的身高為1.6m，他的影長為1.4m，且他到路燈的距離為2.1m，求燈泡的高度．知4－講定義：投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影.(1)線段的正投影：如圖29.1－8.線段正投影的特征：平

行，長不變；傾斜，長縮短；垂直，成一點.知識點正投影4知4－講(2)平面圖形的正投影：如圖29.1－9.平面圖形正投影的特征：平行，形不變；傾斜，形改變；垂直，成線段.知4－講(3)幾何體的正投影：如圖29.1－10.幾何體的正投影與它相對于投影面的位置有關，其正投影的形狀、大小的特征服從線段和平面圖形的正投影的特征.知4－講知識鏈接正投影與平行投影、中心投影的關系：1.正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影；2.正投影是光線與投影面之間的關系，與物體距投影面的距離無關；3.物體的正投影的形狀、大小與物體相對于投影面的位置有關，一般分為物體與投影面平行、傾斜、垂直三種情況.知4－練把一個正六棱柱如圖29.1－11①擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時的正投影是圖29.1－11②中的()例6知4－練解題秘方：緊扣“立體圖形的正投影”的特征進行識別.答案：A解：由題可知正六棱柱的底面平行于投影面，所以它的正投影是與它的底面全等的正六邊形.知4－練方法點撥：判斷物體正投影的形狀關鍵要把握兩點一是投影線的方向(一般在圖中用箭頭表示)；二是物體的形狀(關鍵是正對投影線的面的形狀).知4－練6－1.如圖，水杯的杯口與投影面平行，平行光線的方向如箭頭所示，它的正投影是()D知4－練

例7知4－練(1)作出正方體在平面H上的正投影；思路引導：知4－練解：正方體在平面H上的正投影如圖29.1－13所示，為矩形MNPQ.知4－練(2)計算正投影的面積.思路引導：知4－練

知4－練7－1.已知一紙板的形狀為正方形ABCD，如圖所示，

其邊長為10厘米，AD，BC與投影面β

平行，AB，CD與投影面β

不平行，正方形ABCD在投影面β上的正投影為四邊形A1B1C1D1，若∠ABB1＝45°，求投影A1B1C1D1的面積.知4－練投影物體的投影投影線的特征平行投影投影線垂直于投影面正投影中心投影題型投影與圓1在生活中需測量一些球(如足球、籃球)的直徑，某校研究性學習小組通過實驗發(fā)現(xiàn)下面的測量方法：如圖29.1－14，將球放在水平的桌面上，在太陽光的照射下，得到球的影子AB，設光線DA，CB

分別與球相切于點E，F(xiàn)，則EF

為球的直徑.若測得AB＝40cm，∠ABC＝30°，請你計算球的直徑.例8解題秘方：緊扣“過兩切點的光線間的距離即為球的直徑”進行計算.

知識儲備1.平行線間的距離處處相等.2.直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半.題型投影與相似2[期中·濟南歷下區(qū)]如圖29.1－15，小樹AB在路燈燈泡O的照射下形成投影BC．例9解題秘方：緊扣“燈泡、樹頂、影子外端在一條直線上”建立相似三角形模型，利用相似三角形的性質解題．(1)此光源下形成的投影屬于_________(填“平行投影”或“中心投影”)；(2)若樹高AB為2m，樹影BC為3m，小樹與燈泡的水平距離BP為4.5m，求燈泡的高度OP．中心投影

小樹與地面垂直.特別提醒與中心投影有關的題，主要涉及兩個方面，一是根據(jù)影子確定點光源，解題的關鍵是找到投影線的交點；二是建立幾何模型，根據(jù)解直角三角形和相似的知識求影長、影距或物高.題型投影與解直角三角形3如圖29.1－16，某辦公樓AB的后面有一建筑物CD，當光線與地面的夾角是22°時，辦公樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；當光線與地面的夾角是45°時，辦公樓頂A在地面上的影子F與墻腳C有25m的距離(B，F(xiàn)，C

在一條直線上).例10解題秘方：用建模思想建立解直角三角形的模型，利用三角函數(shù)的邊角關系建立分式方程求解.解：如圖29.1－16，

過點E作EM⊥AB，垂足是點M.設AB的高度為x

m，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝xm.易得ME＝BC＝(x＋25)m，AM＝AB－BM＝AB－CE＝(x－2)m.(1)求辦公樓AB

的高度；

技巧點撥此處通過銳角三角函數(shù)的邊角關系建立關于x的分式方程，通過解分式方程使問題得到解決，體現(xiàn)了方程思想.

解法提醒本題是在投影知識的背景下，利用解直角三角形的知識來解決實際問題的綜合題.解題的關鍵是從題中獲取所需要的數(shù)據(jù)，然后構造直角三角形，利用解直角三角形的知識求解.題型投影與函數(shù)4夜晚，小明在路燈下散步.已知小明身高1.5m，路燈的燈柱高4.5m.(1)如圖29.1－17①，若小明(EF)在相距10m的兩路燈AB，CD之間行走(不含兩端)，他前后的兩個影子長分別為FM＝x

m，F(xiàn)N＝y(tǒng)m.試求y與x之間的函數(shù)關系式，并指出自變量x的取值范圍；例11思路引導：

易錯警示實際問題中自變量的取值范圍通常隱含在已知條件中，小明在兩路燈之間行走(不含兩端)，說明小明(EF)可以無限接近但不能到達燈柱AB

與燈柱CD，即自變量x

可以接近0和5，但不能等于0和5，審題時切記結合圖形理解題意.(2)常言道：“形影不離.”其原意為人的影子與自己緊密相

伴，無法分離.但在燈光下，人的速度與影子的速度卻不是一樣的.如圖29.1－17②，若小明(EF)在燈柱PQ前朝著影子FR的方向以0.8m/s的速度勻速行走，試求他的影子的頂端R在地面上移動的速度.思路引導：

技巧點撥解決投影與相似三角形的綜合問題的方法：解決投影與相似三角形的綜合問題要根據(jù)題意畫出圖形，結合投影的性質運用三角形相似的有關知識找出有關線段之間的長度關系，進而列式求解.易錯點混淆中心投影與正投影的特征而致錯在同一時刻的陽光下，小明的影子比小強的影子長

(兩人都是站立的)，那么在同一路燈下()A.小明的影子比小強的影子長B.小明的影子比小強的影子短C.小明的影子與小強的影子一樣長D.無法判斷誰的影子長例12答案：D錯解：A正解：太陽光下的影子屬于平行投影，遵循在同時同地的情況下，物高與影長成比例的規(guī)律；路燈下的影子屬于中心投影，無法判斷在同一路燈下誰的影子長.診誤區(qū)：平行投影中，同時同地，物高與影長成正比，但中心投影中影長不僅與物高有關，還與物體與點光源的位置有關.[中考·涼山州]如圖29.1－20，一塊面積為60cm2的三角形硬紙板(記為△ABC)平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，則△A1B1C1的面積是()A.90cm2 B.135cm2C.150cm2 D.375cm2考法利用中心投影的特征計算1例13試題評析：本題考查中心投影的特征，結合位似的性質進行計算是解題的關鍵.答案：D

[中考·陜西]一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度，如圖29.1－21，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立時身高AM與其影子長AE

正好相等；考法利用相似三角形求物高2例14接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B

處時，李明直立時身高為BN，其影子恰好是線段AB，并測得AB＝1.25m，已知李明直立時的身高為1.75m，求路燈的高(結果精確到0.1m).試題評析：本題考查相似三角形的應用，解題的關鍵是根據(jù)已知條件得到平行線，從而得到相似三角形.

考法利用解直角三角形解決斜坡投影問題3例1510.5試題評析：本題主要考查利用解直角三角形解決斜坡投影問題，解題的關鍵是將坡面上的投影轉化到水平面上，利用解直角三角形解決.

1.下列四幅圖中，能表示兩棵樹在同一時刻太陽光下的影子的是()C2.若只增大物體與投影面之間的距離，則其正投影()A.變大 B.變小C.不變 D.無法確定C3.[中考·南京]如圖，正方形紙板的一條對角線垂直于地

面，紙板上方的燈(看成一個點)與這條對角線所確定的平面垂直于紙板.在燈光照射下，正方形紙板在地面上形成的影子的形狀可以是()D4.[中考?紹興]如圖，三角板在燈光照射下形成投影，三角板與其投影的相似比為2∶5，且三角板的一邊長為8cm，則投影三角板的對應邊長為()A.20cmB.10cmC.8cmD.3.2cmA5.如圖，小亮居住的小區(qū)內有一條筆直的小路，小路的正中間有一路燈，晚上小亮由A處徑直走到B處，他在燈光照射下的影長l與行走的路程S之間的變化關系用圖象刻畫出來大致是(

)B6.《孫子算經》中有道歌謠算題：“今有竿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標桿，長一尺五寸，影長五寸.問竿長幾何？”歌謠的意思是：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺.同時立一根一尺五寸的標桿，它的影長是五寸.竹竿的長度是_______尺.(1丈等于10尺，1尺等于10寸)457.[中考·眉山]如圖，斜坡CD的坡度i＝1∶2，在斜坡上有一棵垂直于水平面的大樹AB，當太陽光與水平面的夾角為60