2024-2025學(xué)年廣東省深圳某中學(xué)高三（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年廣東省深圳第二外國語學(xué)校高三（上）第一次月考

皿「，、憶\_rx、/上

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z(l+i)=2(i為虛數(shù)單位)，則|z|=()

A.1B.72C.2D.3

2.命題“V久CR,靖+1>0”的否定是（）

x

A.3x06R,e°+1<0B.VxeR,+1<0

xx

C.3x0eR,e0+1>0D.3x0￡R,e°+1<0

3.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在（0,+8）上單調(diào)遞減的是（）

A./(x)=x2—|x|B./(%)=妥C./(%)=e因D./(%)=\lnx\

03

4.設(shè)a=0.42,b=log043,c-4,,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

5.函數(shù)丫=斗萼的圖象大致是()

6.設(shè)函數(shù)/(%)=logi(x2-ax+3)在(2,3)上單調(diào)遞減，貝!Ja的取值范圍是()

2

77

A.寫,4]B.(-co,-]C.[4,+oo)D.[6,+8)

7.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,貝!Ja+b的取值范圍是()

A.[6,+8)B.[9,+00)C.(0,6]D.(0,9)

8.設(shè)函數(shù)f(%)=｛1jgI：：：)]：'4若關(guān)于％的方程/(%)=t有四個實根久1，%2，%3，%4(%1<%2<%3<

1

%4)，則％1+久2+生匕+1%4的最小值為()

q

4547

A.yB.23c.yD.24

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.若函數(shù)/(%)=.13+/，⑴％2+c9則()

A.f(l)=1B./(%)有兩個極值點(diǎn)

C.曲線y=/(%)的切線的斜率可以為一2D.點(diǎn)(1,1)是曲線y=/(%)的對稱中心

10.已知關(guān)于％的不等式a/+b]+。>o的解集為(_8,一2)U(3,+oo),則下列選項中正確的是()

A.a<0

B.不等式力％+c>0的解集是｛%[%<-6)

C.a+b+c>0

D.不等式c%2-bx+a<0的解集為(-8,-勺u(yù)(1/+°°)

n.已知函數(shù)/(%),g(%)在R上的導(dǎo)函數(shù)分別為/'(%),g'(x),若“％+2)為偶函數(shù),y=g(%+l)-2是奇

函數(shù)，且/(3-%)+g(%-1)=2,則下列結(jié)論正確的是()

A.f'(2022)=0B.g(2023)=0

C./(%)是R上的奇函數(shù)D.“(%)是R上的奇函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知幕函數(shù)/(%)=(m2-6m+9)%加滿足/(1)=2,則/(2)=.

13.已知正數(shù)a,b滿足a+b=2,貝H+：的最小值為

ab

%2—2%+2%>0

｛上2'二的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題15分)

已知函數(shù)/(久)=言是奇函數(shù).

(1)求a的值；

(2)若/(2m—1)</(2-爪2),求機(jī)的取值范圍.

16.(本小題13分)

nn+1

已知正項等比數(shù)列｛的J中，S打為｛a九｝的前幾項和，anSn=2(2-2).

(1)求數(shù)列｛即｝的通項公式;

(口”頻為奇數(shù)

(2)令原=1八為偶數(shù)'設(shè)數(shù)列｛與｝的前幾項和Tn，求丁2.

(［。。2。九,bg20九+2

17.(本小題15分)

在銳角ATIBC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知士=吆蚱2，且aKc.

Cbz

(1)求證：B=2C；

⑵若〃BC的平分線交力C于D,且a=12,求線段BD的長度的取值范圍.

18.(本小題17分)

如圖，在三棱柱ABC-AiBiG中，平面AAiQC1平面力BC,AB=AC=BC=AAr=2,ArB=y/~6.

(1)設(shè)。為AC中點(diǎn)，證明：4。1平面4。3；

(2)求平面4遇31與平面4CC1公夾角的余弦值.

19.(本小題17分)

設(shè)力是正整數(shù)集的一個非空子集，如果對于任意xe4都有x-l€力或x+164則稱2為自鄰集.記集合

An=｛1,2...,n｝(n>2,幾eN)的所有子集中的自鄰集的個數(shù)為廝.

(1)直接寫出①的所有自鄰集；

(2)若n為偶數(shù)且n>6,求證：力九的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù)；

(3)若nN4,求證：a”W2an_1.

參考答案

l.B

2.A

3.B

4.B

5.D

6.B

7.4

8.F

9.BD

10.BD

11.AD

12.4

13.2

14.(—OO,0)U[1,+oo)

15.解:(1)因為/(x)=韶,

匚匚、、山

所以ii/(—x)2=%+Ea=1h+2”，

因為/(%)為奇函數(shù)，

后二[、1,(\\f\a+2x(l+a)(l+2x)(

所以/(—%)+/(%)=~^r+=1置=a+1=n0，

所以a=-1.

⑵由⑴矢叮⑺=|^=4=1-島，

因為y=2,為R上的增函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增，

所以不等式f(2m—1)<f(2—m2),等價于27n—1<2—m2,

即Tn?+2m—3<0,

故一3VTH<1,

即血的取值范圍是(一3,1).

16.解：(1)正項等比數(shù)列｛即｝中，S九為的前幾項和，

nn+1

由的1s九=2(2—2),可得九=1時，aKi=於=2X(4—2)=4,

解得的=2；

n=2時，a2s2=g(2+劭)=4X(8-2)=24,解得劭=4(—6舍去)，

可得正項等比數(shù)列的首項為2,公比為2,

則a九=2n；

(a.九為奇數(shù)僅九,九為奇數(shù)

(2)%=——1——，n為偶數(shù)=,內(nèi)=為偶數(shù)

’2、九為奇數(shù)

1(-九為偶數(shù)

12vnn+2y

.11111ii

則72九=(瓦+久+…+62n一1)+(62+兒+…+岳建)=(2+8+...+22n-1)+?(?-4+4_6+,"+2n_2n+2^

_2(l-4n)1A1._22rl+1—2n

―1-4+5勺―2九+2)—3+4n+4*

17.解：(1)證明：因為%=勺至，

所以由余弦定理可得q=的第=%警，即b=2ccosC,

cbb

所以由正弦定理可得s譏B=IsinCcosC=sin2C,

所以在△ABC中，8=2。或8+2。=兀，

又因為a豐c,

所以力豐C,

所以B=2C；

(2)在△BCD中，由正弦定理可得.士”=等,a=12,

sinz.D￡/Gsine

nn12BD

sin乙BDCsinC

所以BD=巷舞=二舞=白，

因為△ABC是銳角三角形，且8=2C,

0<c<^,

所以<0<2C<1,

TT

0<7r-3C<^

I，

解得、<C<p可得年<cose<苧，

o4ZZ

所以40<BD<6\<2,

所以線段BD長度的取值范圍是(4—36，^).

18.(1)證明：因為。為力C中點(diǎn)，且4B=4C=BC=2,

所以在△力BC中，有B0_L4C,且=C

又平面力CCi41，平面4BC,且平面力CCi^iC平面ABC=AC,

所以BD1平面力514,

又40u平面力CQ&,則BD1ArD,

由=y/_6,BD=<3,得

因為40=1,AAt=2,ArD=C，

所以由勾股定理，得ADLAi。，

又AC1BD,ArDnBD=D,

所以4c，平面4DB；

(2)解：如圖所不，以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

可得4(1,0,0),4(0,0,73),8(0,<3,0),

所以麗=(-l,0,73),AB=(-1,73,0),

設(shè)平面44B1的法向量為元=(x,y,z),

,(n-AA-,=—x+V3z=0人,—z??

由《一一1L，令X=g得ay=l，Z=l,

(n-AB=—x+V3y=0

所以元=(6,1,1),

由⑴知，BDJ_平面4毋41，

所以平面4CC14的一個法向量為麗=(0,-<3,0).

記平面4便當(dāng)與平面4CG4的夾角為a,

所以平面與平面2CG4夾角的余弦值為g.

19.解:⑴①的所有自鄰集有：{123,4},{1,2,3},{2,3,4},{1,2},{2,3},{3,4）.

證明：（2）對于2"的含5個元素的自鄰集B=1x^X2,x3,x4,x5},

不妨設(shè)<x2<x3<x4<x5.

因為對于都有々一1eB或%+1eB,i=1,2,3,4,5,

所以％2—X1+1，X4—X5—1,X3-%2+1或％3=X4—1?

對于集合C={n+1—X5,n+1—X4,n+1—X3,TI+1—%2>n+1-x1}，

因為1S<%2<%3<%4<%5<n,所以14ri+1—陽<n,i=1,2,3,4,5,

n+1—x5<n+l—x4<n+l—x3<n+l—x2<n+l-x1,

所以C14貯

因為乂2=/+1，X4=X5—1,X3=X2+1或久3=X4—1.

所以n+1—%2=(n+1—比1)—1>n+1——(,n+1—)+1,

=n—x

n+1—x3=(n+l—x4)+1或n+1—x3(+l2)-1'

所以對于任意n+1—+1GC或n+1—Xi—1GC,i=1,2,3,4,5,

所以集合C也是自鄰集.

因為當(dāng)n為偶數(shù)時，%3#=n+1-x3,

所以B豐C.

所以對于集合力"的含5個元素的自鄰集，在上述對應(yīng)方法下會存在一個不同的含有5個元素的自鄰集與其對

應(yīng).

所以，4t的所有含5個元素的子集中，自鄰集的個數(shù)是偶數(shù).

證明：(3)記自鄰集中最大元素為k的自鄰集的個數(shù)為尻，k=