2024-2025學(xué)年北師版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：二元一次方程組（考點(diǎn)清單）原卷版

專(zhuān)題05講：二元一次方程組（考點(diǎn)清單）

【聚焦考點(diǎn)】

題型一：二元一次方程組的概念

題型二：解二元一次方程組

題型三：解二元一次方程組的應(yīng)用

題型四：列二元一次方程組

題型五：工程問(wèn)題和行程問(wèn)題

題型六：方案問(wèn)題

題型七：數(shù)字問(wèn)題

題型八：分配問(wèn)題

題型九：銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題

題型十：和差倍問(wèn)題

題型十一：古代問(wèn)題

題型十二：幾何問(wèn)題

【題型歸納】

題型一：二元一次方程組的概念

fx=3

【典例1】（2023上?廣東揭陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）若.是關(guān)于1,V的方程x+“y=13的一個(gè)解，則加的值是

U=-2

（）

A.-5B.5C.-8D.8

【專(zhuān)訓(xùn)1-1]（2023上?河北保定?八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列關(guān)于方程x+y=l的解的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

（x=l

A.八是它的解B.它只有一個(gè)解

C.以它的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象是一條直線D.它有無(wú)數(shù)多個(gè)解

【專(zhuān)訓(xùn)1-2].（2022上.陜西西安?八年級(jí)校考期末）己知[廣：是二元一次方程組的解，則2%-〃的算術(shù)

[y=l\nx-my=Y

平方根為（）

A.±2B.-2C.2D.4

題型二：解二元一次方程組

【典例2]（2023上?山東荷澤?八年級(jí)統(tǒng)考期末）解下列方程組:

x+y=4

(1)⑵34

3x-4y=2

【專(zhuān)訓(xùn)2-1]（2023上?甘肅蘭州?八年級(jí)蘭州十一中校考期末）解方程組.

4x-y=15x=3(2y+l)

⑴y=2x+3⑵

3y—2x=-5

【專(zhuān)訓(xùn)2-2】（2023上?山東棗莊?八年級(jí)統(tǒng)考期末）解方程（組）:

x+2y=1

(1)

3x-2y=U

::時(shí)，采用了一種“整體換元,，的解法.

（2）閱讀材料：善于思考的小明同學(xué)在解方程組

3（m+5）+2（〃+3）=7

角軍：把加+5,〃+3看成一個(gè)整體，設(shè)相+5=%,n+3=y,

3x-2y=—1

原方程組可化為

3x+2y=7，

x=lfm+5=1根=一4

解得QC?,?原方程組的解為

3=2〃+3=2n=-l

3(x+y)-4(x-y)=5

請(qǐng)仿照小明同學(xué)的方法，用“整體換元”法解方程組

蟲(chóng)+0=0

I26

題型三：解二元一次方程組的應(yīng)用

2x—y=5k+6

【典例3]（2023?山東聊城?統(tǒng)考一模）若關(guān)于x,y的方程組4x+7y=k的解滿(mǎn)足》k2。23,則人的值為（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

x=2,rwc+ny=28，…,一、

【專(zhuān)訓(xùn)3-1]（2023上?遼寧沈陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知。是二元一次方程組,『融=4的解'則碗+而的乂

y=3

方根為（)

A.2B.4C.8D.16

x-(4〃-2)?2

【專(zhuān)訓(xùn)3-21,（2022上?重慶?八年級(jí)校聯(lián)考期中）若關(guān)于x的不等式組3x-li+2的解集為無(wú)＜4%且關(guān)于y、

——<——

23

。+

ty++z2z==24…5的解滿(mǎn)足j則滿(mǎn)足條件的所有整數(shù)。的和為（）

Z的二元一次方程組

A.-3B.-2C.0D.3

【典例4】（2023上?河北保定?八年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》卷八方程第十題原文為：“今有甲、乙二人持錢(qián)不知

其數(shù).甲得乙半而錢(qián)五十，乙得甲太半而亦錢(qián)五十.問(wèn)：甲、乙持錢(qián)各幾何?”題目大意是；甲、乙兩人各帶了若干

7

錢(qián)如果甲得到乙所有錢(qián)的一半，那么甲共有錢(qián)50；如果乙得到甲所有錢(qián)的那么乙也共有錢(qián)50.間：甲，乙兩

人各帶了多少錢(qián)?設(shè)甲，乙兩人持錢(qián)的數(shù)量分別為X,y,則可列方程組為（）

2%+y=50x+—y=50x--y=502x-y=50

22

A.2B.‘C2口.<

x+—y=502?X+2=50

13y+—x=50x——y=50

1313，13

【專(zhuān)訓(xùn)4-1]（2021上?陜西咸陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，10塊相同的小長(zhǎng)方形墻磚拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形，設(shè)小長(zhǎng)方

形墻磚的長(zhǎng)為％厘米，寬為V厘米，則依題意列二元一次方程組正確的是（）

x+2y=752x+y=75

C.

x=3yx=3y

【專(zhuān)訓(xùn)4-2]（2023上?重慶沙坪壩?八年級(jí)重慶一中?？计谀秾O子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，共分三卷,

在卷下中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有甲、乙二人，持錢(qián)各不知數(shù).甲得乙中半，可滿(mǎn)四十八.乙得甲太半，亦

滿(mǎn)四十八.問(wèn)甲、乙二人持錢(qián)各幾何？”譯文大致為：“甲、乙兩人帶著錢(qián)，不知道是多少.若甲得到乙錢(qián)數(shù)的看,

7

則甲的錢(qián)數(shù)為48.若乙得到甲錢(qián)數(shù)的?，則乙的錢(qián)數(shù)也為48.問(wèn)甲、乙各有多少錢(qián)？”設(shè)甲持錢(qián)無(wú)，乙持錢(qián)》

則根據(jù)題意可以列出方程組為（）

L+y=48i

x+-y=48x--y=48XH-y--=48

2-2-2-2

A.2B,c2D-

2.1

x+—y=48—x+y=48—X+y=48XH—y=48

3<3b3

題型五：工程問(wèn)題和行程問(wèn)題

【典例5】（2023上?河北保定?八年級(jí)校考期末）“低碳生活，綠色出行”是一種環(huán)保、健康的生活方式，小麗從甲

地勻速步行前往乙地，同時(shí)，小明從乙地沿同一路線勻速步行前往甲地，兩人之間的距離y（m）與步行的時(shí)間x（min）

之間的函數(shù)關(guān)系式如圖中折線段M-3C-CD所示.在步行過(guò)程中，小明先到達(dá)甲地.有下列結(jié)論：

①甲、乙兩地相距5400m；

②兩人出發(fā)后30min相遇；

③小麗步行的速度為100m/min，小明步行的速度為80m/min；

④小明到達(dá)甲地時(shí)，小麗離乙地還有980m.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

D.4

【專(zhuān)訓(xùn)5?1】（2020上.重慶沙坪壩.八年級(jí)重慶八中?？计谀┈F(xiàn)有一段長(zhǎng)為180米的河道整治任務(wù)，由A、6兩

個(gè)工程小組先后接力完成，A工程小組每天整治12米，6工程小組每天整治8米，共用時(shí)20天，設(shè)A工程小

組整治河道工天，6工程小組整治河道V天，依題意可列方程組（）

I卜+y=20

A，IA+2=20B.[12x+8y=180

1128

x+y=20

JcJx+y=180

C|A+2=20D,&+12y=20

1128

【專(zhuān)訓(xùn)5-2]（2020?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）同型號(hào)的甲、乙兩輛車(chē)加滿(mǎn)氣體燃料后均可行駛210加2.它們各自單

獨(dú)行駛并返回的最遠(yuǎn)距離是105km.現(xiàn)在它們都從A地出發(fā)，行駛途中停下來(lái)從甲車(chē)的氣體燃料桶抽一些氣體燃

料注入乙車(chē)的氣體燃料桶，然后甲車(chē)再行駛返回A地，而乙車(chē)?yán)^續(xù)行駛，到8地后再行駛返回A地.則B地最

遠(yuǎn)可距離A地（）

A.120kmB.140kmC.160kmD.180km

題型六：方案問(wèn)題

【典例6】（2021上?重慶沙坪壩?八年級(jí)重慶八中?？计谀╇S著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車(chē)

正逐步成為人們喜愛(ài)的交通工具.某汽車(chē)公司計(jì)劃正好用190萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)A,3兩種型號(hào)的新能源汽車(chē)（兩種型號(hào)的

汽車(chē)均購(gòu)買(mǎi)），其中A型汽車(chē)進(jìn)價(jià)為20萬(wàn)元/輛，3型汽車(chē)進(jìn)價(jià)為30萬(wàn)元/輛，則A,3型號(hào)兩種汽車(chē)一共最多購(gòu)

買(mǎi)（）

A.9輛B.8輛C.7輛D.6輛

【專(zhuān)訓(xùn)6-1]（2020上.浙江杭州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）小聰去商店購(gòu)買(mǎi)筆記本和鋼筆，共用了60元錢(qián)，已知每本筆記

本2元，每支鋼筆5元，若筆記本和鋼筆都需購(gòu)買(mǎi)，且筆記本的數(shù)量多于鋼筆的數(shù)量，則小聰?shù)馁?gòu)買(mǎi)方案有

（）

A.3種B.4種C.5種D.6種

【專(zhuān)訓(xùn)6-2]（2023下?云南玉溪?八年級(jí)統(tǒng)考期末）某校計(jì)劃送370名師生（其中學(xué)生362人、教師8人）到全國(guó)

中小學(xué)生研學(xué)實(shí)踐教育基地之一的澄江化石地世界自然遺產(chǎn)博物館進(jìn)行科普研學(xué)活動(dòng).現(xiàn)有甲、乙兩種大客車(chē),

甲客車(chē)每輛可坐35人，乙客車(chē)每輛可坐50人，租用一輛甲客車(chē)和一輛乙客車(chē)共需700元，租用3輛甲客車(chē)和2

輛乙客車(chē)共需1700元.

（1）租用甲、乙兩種客車(chē)每輛各需多少元？

（2）要使每輛客車(chē)上至少要有1名教師，所有參與活動(dòng)的師生都有車(chē)坐，則租用客車(chē)總數(shù)為8輛，設(shè)租用1輛甲客車(chē)，

租車(chē)的總費(fèi)用為y元，則共有幾種不同的租車(chē)方案？哪種方案租車(chē)的總費(fèi)用y最少？

題型七：數(shù)字問(wèn)題

【典例7】（2022下?黑龍江大慶?八年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)與個(gè)位上的數(shù)之和是7,如果把這個(gè)兩

位數(shù)加上9,所得的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字，十位數(shù)字恰好分別是原來(lái)兩位數(shù)的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字，則這個(gè)兩位數(shù)是

（）

A.34B.43C.25D.52

【專(zhuān)訓(xùn)7-1】（2021上?陜西西安?八年級(jí)?？计谀┯幸粋€(gè)兩位數(shù)和一個(gè)一位數(shù)若在這個(gè)一位數(shù)后面多寫(xiě)一個(gè)0,則

它與這個(gè)兩位數(shù)的和是139；若用這個(gè)兩位數(shù)除以這個(gè)一位數(shù)，則商7余3,則這個(gè)兩位數(shù)為（）

A.59B.69C.79D.89

【專(zhuān)訓(xùn)7-2］（2020上?江西萍鄉(xiāng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）小穎和小亮在做一道關(guān)于整數(shù)減法的作業(yè)題，小亮將被減數(shù)后

面多加了一個(gè)0,得到的差為750；小穎將減數(shù)后面多加了一個(gè)0,得到的差為-420,則這道減法題的正確結(jié)果為（）

A.-30B.-20C.20D.30

題型八：分配問(wèn)題

【典例8］（2022下?山東德州?七年級(jí)統(tǒng)考期末）某車(chē)間有90名工人，每人每天平均能生產(chǎn)螺栓15個(gè)或螺帽24個(gè)，

要使一個(gè)螺栓配套兩個(gè)螺帽，應(yīng)該如何分配工人才能使生產(chǎn)的螺栓和螺帽剛好配套？若設(shè)生產(chǎn)螺栓無(wú)人，生產(chǎn)螺帽

y人，則列方程組得（）

（x+y=90（x+y=9QJx+y=90x+y=90

A，jl5x=24yB，115x=48y=2（15-x）=24y

【專(zhuān)訓(xùn)8-1］

23.（2023下?黑龍江大慶?八年級(jí)?？计谀┠成痰攴謨纱钨?gòu)進(jìn)A,8型兩種臺(tái)燈進(jìn)行銷(xiāo)售，兩次購(gòu)進(jìn)的數(shù)量及費(fèi)用

如下表所示，由于物價(jià)上漲，第二次購(gòu)進(jìn)A,B型兩種臺(tái)燈時(shí)，兩種臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別上漲30%,20%.

購(gòu)進(jìn)的臺(tái)數(shù)

購(gòu)進(jìn)所需要的費(fèi)用（元）

A型8型

第一次10203000

第二次15104500

（1）求第一次購(gòu)進(jìn)A,B型兩種臺(tái)燈每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別是多少元？

（2）A,2型兩種臺(tái)燈銷(xiāo)售單價(jià)不變，第一次購(gòu)進(jìn)的臺(tái)燈全部售出后，獲得的利潤(rùn)為2800元，第二次購(gòu)進(jìn)的臺(tái)燈全部

售出后，獲得的利潤(rùn)為1800元.

①求A,B型兩種臺(tái)燈每臺(tái)售價(jià)分別是多少元？

②若按照第二次購(gòu)進(jìn)48型兩種臺(tái)燈的價(jià)格再購(gòu)進(jìn)一次，將再次購(gòu)進(jìn)的臺(tái)燈全部售出后，要想使獲得的利潤(rùn)為1000

元，求有哪幾種購(gòu)進(jìn)方案？

【專(zhuān)訓(xùn)8-2124.（2023上?四川雅安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）今年11月，某城市受疫情影響，為了人民健康采取了一系列

措施，某公司安排大、小貨車(chē)共20輛，分別從兩地運(yùn)送320噸物資到該城市，支援抗擊疫情，每輛大貨車(chē)裝25噸

物資，每輛小貨車(chē)裝10噸物資，這20輛貨車(chē)恰好裝完這批物資，已知這兩種貨車(chē)的運(yùn)費(fèi)如表：

目的地

A地（元/輛）6地（元/輛）

車(chē)型

大貨車(chē)700800

小貨車(chē)300500

要安排上述裝好物資的20輛貨車(chē)中的12輛從A地出發(fā)，其余從3地出發(fā).

⑴這20輛貨車(chē)中，若大貨車(chē)1輛、小貨車(chē)V輛，請(qǐng)求出1與V的值.

（2）若從A地出發(fā)的大貨車(chē)有〃輛（大貨車(chē)不少于5輛）這20輛貨車(chē)的總運(yùn)費(fèi)為加元，求總運(yùn)費(fèi)加的最小值.

題型九：銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題

【典例9】（2020上?遼寧遼陽(yáng)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）元旦期間，燈塔市遼東商業(yè)城“女裝部”推出“全部服裝八折”，男裝

部推出“全部服裝八五折”的優(yōu)惠活動(dòng).某顧客在女裝部購(gòu)買(mǎi)了原價(jià)1元，在男裝部購(gòu)買(mǎi)了原價(jià)y元的服裝各一套,

優(yōu)惠前需付700元，而她實(shí)際付款580元，根據(jù)題意列出的方程組是（）

(x+y=580{x+y-700

[o.8x+O.85y=700[o.85x+O.8y=58O

Jx+y=700[x+y—700

[0.8x+Q.85y=700-580[o.8x+O.85y=58O

【專(zhuān)訓(xùn)9-1].（2023下?云南紅河?八年級(jí)統(tǒng)考期末）紅星超市銷(xiāo)售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別是160元，120元的I、II兩種型

號(hào)的吹風(fēng)機(jī)，下表是近兩周的銷(xiāo)售情況.

銷(xiāo)售型號(hào)

銷(xiāo)售時(shí)間收入

團(tuán)型團(tuán)型

第一周3臺(tái)4臺(tái)1200元

第二周5臺(tái)6臺(tái)1900元

⑴求I、II兩種型號(hào)的吹風(fēng)機(jī)的銷(xiāo)售單價(jià).

（2）若紅星超市準(zhǔn)備用不多于7500元的資金再購(gòu)進(jìn)這兩種型號(hào)的吹風(fēng)機(jī)共50臺(tái)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出能取得最大利潤(rùn)的購(gòu)進(jìn)方

【專(zhuān)訓(xùn)9-2]

（2023下?河南安陽(yáng)?八年級(jí)?？计谀┠成痰赇N(xiāo)售1臺(tái)A型和2臺(tái)B型電腦的利潤(rùn)為400元，銷(xiāo)售2臺(tái)A型和1臺(tái)

8型電腦的利潤(rùn)為350元.

⑴求每臺(tái)A型電腦和2型電腦的銷(xiāo)售利潤(rùn)；

（2）該商店計(jì)劃一次購(gòu)進(jìn)兩種型號(hào)的電腦共100臺(tái)，其中B型電腦的進(jìn)貨量不超過(guò)A型電腦的2倍.設(shè)購(gòu)進(jìn)A掀電

腦x臺(tái)，這100臺(tái)電腦的銷(xiāo)售總利潤(rùn)為y元.

①求y與x的關(guān)系式；

②該商店購(gòu)進(jìn)A型、B型各多少臺(tái)，才能使銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？

⑶實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)A型電腦出廠價(jià)下調(diào)機(jī)（0＜相＜100）元，且限定商店最多購(gòu)進(jìn)A型電腦70臺(tái).若商店保持

兩種電腦的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）中的條件，設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)電腦銷(xiāo)售總利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案.

題型十：和差倍問(wèn)題

【典例10］（2012.浙江溫州.中考真題）楠溪江某景點(diǎn)門(mén)票價(jià)格：成人票每張70元，兒童票每張35元.小明買(mǎi)20

張門(mén)票共花了1225元，設(shè)其中有1張成人票，V張兒童票，根據(jù)題意，下列方程組正確的是【】

x+y=20x+y=20x+y=1225x+y=1225

A，{35^+70^=1225B-（70尤+35y=1225C'{70x+35y=20D'（35^+70y=20

【專(zhuān)訓(xùn)10-1】.

.（2020上?廣東深圳?八年級(jí)?？计谀┮阎仔Ｔ?016人，乙校原有1028人，寒假期間甲、乙兩校人數(shù)變動(dòng)的

原因只有轉(zhuǎn)出與轉(zhuǎn)入兩種，且轉(zhuǎn)出的人數(shù)比為1：3,轉(zhuǎn)入的人數(shù)比也為1：3.若寒假結(jié)束開(kāi)學(xué)時(shí)甲、乙兩校人數(shù)相

同，問(wèn)：乙校開(kāi)學(xué)時(shí)的人數(shù)與原有的人數(shù)相差多少？（）

A.6B.9C.12D.18

【專(zhuān)訓(xùn)10-21

（2022上?重慶泰江.八年級(jí)統(tǒng)考期末）新學(xué)期伊始，泰江區(qū)某中學(xué)的學(xué)子們積極響應(yīng)學(xué)校的“書(shū)香校園”活動(dòng)，踴躍

捐出自己喜愛(ài)的書(shū)籍，互相分享，讓閱讀成為一種習(xí)慣.據(jù)調(diào)查，某年級(jí)甲班、乙班共60人捐書(shū)，丙班有50人捐

書(shū)，已知乙班人均捐書(shū)數(shù)量比甲班人均捐書(shū)數(shù)量多5本，而丙班的人均捐書(shū)數(shù)量是甲班人均捐書(shū)數(shù)量的一半，若該

3

年級(jí)甲、乙、丙三班的人均捐書(shū)數(shù)量恰好是乙班人均捐書(shū)數(shù)量的《，且各班人均捐書(shū)數(shù)量均為正整數(shù)，則甲、乙、

丙三班共捐書(shū)一本.

題型十一：古代問(wèn)題

【典例10］（2023上?四川成都?八年級(jí)統(tǒng)考期末）《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：今有甲發(fā)長(zhǎng)安，五日

至齊；乙發(fā)齊，七日至長(zhǎng)安.今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長(zhǎng)安.問(wèn)：幾何日相逢?譯文：甲從長(zhǎng)安出發(fā)，5日到齊國(guó)；乙

從齊國(guó)出發(fā)，7日到長(zhǎng)安.現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長(zhǎng)安出發(fā).問(wèn)：多久后甲、乙相逢?設(shè)甲出發(fā)％日，乙出發(fā)y日后

甲、乙相逢，則所列方程組正確的是（）

x-2-y

c.《:11,

—x+—y=1

157'

【專(zhuān)訓(xùn)10-11.（2023上?遼寧錦州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量竿”問(wèn)題：“一

條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托.折回索子卻量竿，卻比竿子短一托.”題目大意是：現(xiàn)有一根竿子和一條繩索，

用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短了5尺.設(shè)竿長(zhǎng)為x尺，繩索長(zhǎng)為y

尺，則符合題意的方程組是（）

元=）+5[y=x+5,.r<

fx=y-5y=x-5

A.\1B.\1C.{：=D.V「

-尤=y-5