切線問題綜合【11類題型】-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)突破（新高考專用）

熱點(diǎn)專題3-2切線問題綜合

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2024年甲卷第6題，5分

年新高考卷第題，分

2024I135(1)求在某處的切線

(2)設(shè)切點(diǎn)求過某點(diǎn)的切

2023年甲卷第8題，5分考察導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線的相

線以及公切線

關(guān)計(jì)算求值求參

2022年I卷第15題，5分(3)利用切線的條數(shù)求參

數(shù)范圍

2021年甲卷第13題，5分

2021年I卷第7題，5分

模塊一卜熱點(diǎn)題型解讀(目錄)

【題型1】求在曲線上一點(diǎn)的切線

【題型2】求過某點(diǎn)的切線

【題型3】已知切線斜率求參數(shù)

【題型4】通過切線求曲線上的點(diǎn)到直線距離最小值

【題型5】奇偶函數(shù)的切線斜率問題

【題型6】切線斜率取值范圍問題

【題型7】公切線問題

【題型8】由切線條數(shù)求參數(shù)范圍

【題型9】?jī)蓷l切線平行、垂直、重合問題

【題型10］與切線有關(guān)的參數(shù)范圍或最值問題

【題型11］牛頓迭代法

模塊二核心題型?舉一反三

【題型1】求在曲線上一點(diǎn)的切線

基礎(chǔ)知識(shí)

yn=f（xn）

函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)A（%,/（%））處的切線方程為》-/（%）=/'（%）（"/）,抓住關(guān)鍵

［左=/（X。）

1.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文））曲線”力=爐+3>1在（O,T）處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積

為（）

A.-B.立C.-D.衛(wèi)

6222

2.（2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理））設(shè)函數(shù)/⑺,則曲線>=”可在（0,1）處的切線

與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）

【鞏固練習(xí)1］已知曲線〃力=疝比在點(diǎn)（ij（i））處的切線為/,則/在y軸上的截距為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【鞏固練習(xí)2】（23-24高三?福建寧德?期末）已知函數(shù)〃力在點(diǎn)x=-1處的切線方程為x+y-l=O,

則/'（T）+/（T）=（）

A.-1B.0C.1D.2

【題型2】求過某點(diǎn)的切線

基礎(chǔ)知識(shí)

【方法技巧】

設(shè)切點(diǎn)為尸&）,%）,則斜率左二/'（%）,過切點(diǎn)的切線方程為：y一%=

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)A（Q,。）,所以匕一%二/'（%）（。一/）然后解出/的值.

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線〃x）=e，（x2-2x+2）的切線，則切線共有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

4.（2022年新高考全國(guó)I卷T15）曲線y=m|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程

為,.

【鞏固練習(xí)1】已知直線丫="-2是曲線y=Inx的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（）

B.(e,l)D.(0,1)

【鞏固練習(xí)2】（2024.山西呂梁.二模）若曲線〃尤）=向在點(diǎn)P（x。，兀）處的切線過原點(diǎn)0（0,0）,則

xo=-------------

【鞏固練習(xí)3】（2019?江蘇卷）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=ln_x上，且該曲線在點(diǎn)A處

的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e,-l）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是—.

【鞏固練習(xí)4】（23-24高三?廣東?期中）過點(diǎn)P（l,l）作曲線y=d的兩條切線（，設(shè)（，％的夾角為。，

貝！Jtan9=（）

57911

A.—B.―C.—D.一

13131313

【題型3】已知切線斜率求參數(shù)

基礎(chǔ)知識(shí)

已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點(diǎn)處

的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在曲線上；③切點(diǎn)在切線上.

2

5.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）已知曲線/（x）=lnx+,在點(diǎn)（1J0））處的切線的傾斜角為余則。的

值為.

6.（2024?貴州六盤水?三模）已知曲線,=尤2-3欣的一條切線方程為y=T+〃z,則實(shí)數(shù)加=（）

A.-2B.-1C.1D.2

7.（2024?全國(guó)?高考真題）若曲線y=e*+x在點(diǎn)（0,1）處的切線也是曲線y=in（x+l）+a的切線，貝！]

a=.

【鞏固練習(xí)1]（23-24高三?山西晉城?期末）過原點(diǎn)O作曲線/⑴二砂-度的切線，其斜率為2,則

實(shí)數(shù)〃二（）

A.eB.2C.e+2D.e—2

【鞏固練習(xí)2】（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）已知機(jī)>0,〃>0,直線y=!x+〃z+l與曲線y=hu-"+3相

e

切，貝！J加+〃=.

【鞏固練習(xí)3]（23-24高三?安徽合肥?期末）若函數(shù)〃力=7與8（力=j"-6在》=1處有相同的

切線，則a+b=（）

A.-1B.0C.1D.2

【鞏固練習(xí)4]（2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）已知直線，：'=區(qū)是曲線〃力=片和g（x）=lnx+a的公

切線，則實(shí)數(shù)斫.

【題型4】通過切線求曲線上的點(diǎn)到直線距離最小值

基礎(chǔ)知識(shí)

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決，常用方法平移切線法.

8.（23-24高三.安徽.階段練習(xí)）已知尸是函數(shù)/（^ne,+x2圖象上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線

x-y-9=0的距離的最小值是（）

A.3行B.5C.6D.50

9.（23-24高三.廣東惠州.階段練習(xí)）已知點(diǎn)P在函數(shù)/（x）=e2，+x+9的圖象上，則尸到直線

/:3x-y-10=0的距離的最小值為.

【鞏固練習(xí)1】（23-24高三?河南南陽?階段練習(xí)）點(diǎn)尸是曲線/（x）=J7上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線

%-y+2=。的距離的最小值是（）

A.逑B.1C.逑D.之

8444

【鞏固練習(xí)2】（23-24高三?河北石家莊?階段練習(xí)）曲線y=ln（3x-2）上的點(diǎn)到直線3x-y+7=0的

最短距離是（）

A.75B.710C.3A/5D.1

【鞏固練習(xí)3]（23-24高三.河南?階段練習(xí)）最優(yōu)化原理是要求在目前存在的多種可能的方案中，選

出最合理的，達(dá)到事先規(guī)定的最優(yōu)目標(biāo)的方案，這類問題稱之為最優(yōu)化問題.為了解決實(shí)際生活中的

最優(yōu)化問題，我們常常需要在數(shù)學(xué)模型中求最大值或者最小值.下面是一個(gè)有關(guān)曲線與直線上點(diǎn)的距

離的最值問題，請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)來解答:若點(diǎn)尸是曲線y=31nx-]V上任意一點(diǎn)，則尸到直線

4x-2y+5=0的距離的最小值為.

【鞏固練習(xí)4】（2024?山西朔州?模擬預(yù)測(cè)）已知A,8分另I］為曲線y=2e,+x和直線y=3x-3上的點(diǎn),

則的最小值為.

【題型5】奇偶函數(shù)的切線斜率問題

基礎(chǔ)知識(shí)

奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).

y

10.已知/(%)為奇函數(shù)，且當(dāng)XV。時(shí)，/(%)=—,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則曲線“X)在

點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為.

11.(2024.福建福州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)是偶函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，”力=/+2%測(cè)曲線>=/(力

在x=-1處的切線方程為()

A.y=—5x—2B.y=-5x-8C.y=5x+2D.y=5x+8

12.(2024?湖北.一模)已知函數(shù)〃x)為偶函數(shù)，其圖像在點(diǎn)(I/⑴)處的切線方程為x-2y+l=0,

記/(%)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),則/'(T)=()

11

A.—B.—C.—2D.2

22

【鞏固練習(xí)1】已知“X)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(%)=—,則函數(shù)“X)的圖象在X=1處的切線

x+2

方程為()

A.2x—y+1=0B.x—2y+1=0

C.2x-y-l=0D.x-h2y-l=0

【鞏固練習(xí)2】(23-24高三.河南洛陽?期末)已知函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，其圖象在點(diǎn)(a,g(。))處的切線

方程為2x-y+l=0,記g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g'(x),則g<-a)=()

11

A.2B.—2C."D.——

【鞏固練習(xí)3】(2024.山東濟(jì)寧.三模)已知函數(shù)/J)為偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=ln(-x)+x2,則

曲線y=/(x)在點(diǎn)(1"(D)處的切線方程是()

A.3x—y-2=0B.3x+y-2=0C.3x+y+2=0D.3x—y+2=0

【鞏固練習(xí)4】(2024?海南?？?二模)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,/(x+1)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，

f(x)=ln(l-2x),則曲線y=/(x)在點(diǎn)(2)(2))處的切線斜率為()

22

A.—B.—C.2D.-2

55

【鞏固練習(xí)5]（23-24高三.廣東深圳?期中）已知函數(shù)〃x）=e1nx與偶函數(shù)g（x）在交點(diǎn)處

的切線相同，則函數(shù)g（x）在x=-1處的切線方程為（）

A."―y+e=OB.—e=0

C.ex-y-e=0D.ex+y+e=O

【題型6】切線斜率取值范圍問題

基礎(chǔ)知識(shí)

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)的值域，從而求出切線斜率的取值范圍問題.

一般地，直線的斜率與傾斜角的關(guān)系是：直線都有傾斜角，但不一定都有斜率

2

13.點(diǎn)P在曲線y=上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為a,則角a的范圍是（）

「八兀、3兀、_「3〃、,兀、3?、

A.[0,—]B.（―,--]C.[--,71）D.[r0,—）u[r—

224424

14.（2021.河南洛陽?二模）已知點(diǎn)p在曲線y=上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)p處切線的傾斜角為a,則角a

的取值范圍是.

【鞏固練習(xí)1】過函數(shù)/（x）=；e2"-x圖像上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)的切線，則切線傾斜角范圍為（

)

B.

D.

點(diǎn)在曲線+；上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)處切

【鞏固練習(xí)2]（22-23高三?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）Py=V-P

線的傾斜角為a,則角。的范圍是（

5兀2兀JIJI

A.B.,7rD.

T6,2

【題型7】公切線問題

基礎(chǔ)知識(shí)

公切線問題應(yīng)根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等，并且切點(diǎn)不但在切線上而且在曲線上，羅列出有

關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組進(jìn)行求解.

公切線問題主要有以下3類題型

(1)求2個(gè)函數(shù)的公切線

解題方法：設(shè)2個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用切線斜率相同得到3個(gè)相等的式子，聯(lián)立求解

(2)2個(gè)函數(shù)存在公切線，求參數(shù)范圍

解題方法：設(shè)2個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，列出斜率方程，再轉(zhuǎn)化為方程有解問題

(3)已知兩個(gè)函數(shù)之間公切線條數(shù)，求參數(shù)范圍

解題方法：設(shè)2個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，列出斜率方程，再轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)問題

15.(浙江紹興二模T15)與曲線y=e￡和尸-匕都相切的直線方程為.

-4

16.(2024?廣東茂名?一模)曲線y=與曲線,=%2+2以有公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.1-8,-gB.一；，+001C.(一00，；D.1

—,+00

2

17.(2024?福建泉州?模擬預(yù)測(cè))若曲線y=V與y=*(tW0)恰有兩條公切線，貝Ut的取值范圍為()

A.B.C.(-8,0)。［，，+8］D.

【鞏固練習(xí)1X23-24高三.江西吉安?期末)函數(shù)/(x)=2+lnx與函數(shù)g(x)=d公切線的斜率為()

A.1B.±eC.1或0D.1或/

【鞏固練習(xí)2】已知直線、=力+女。€&》＞0)是曲線=3與曲線g(x)=lnx+2的公切線，則

a+6的值為.

,1一

【鞏固練習(xí)3】已知直線/與曲線C］：y=『和C,:y=—-均相切，則該直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角

X

形的面積為.

與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為。,0)、(0,—4),圍成的三角形面積為：；xlx4=2.

【鞏固練習(xí)4】已知函數(shù)/(x)=3+lnx,g(x)=x2-7nr,若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)存在公切

線，則實(shí)數(shù)加的最大值為.

【鞏固練習(xí)5](2024?湖南長(zhǎng)沙三模)斜率為1的直線/與曲線y=ln(x+a)和圓/+丁=；都相切，

則實(shí)數(shù)。的值為()

A.0或2B.-2或2C.-1或0D.0或1

【鞏固練習(xí)6】(長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)月考(六))已知函數(shù)/(x)=21nx,g(x)=*_x4(a>0),若直

線y=2x-6與函數(shù)y=/(x),y=g(X)的圖象均相切，則。的值為;若總存在直線與函數(shù)

y=/(x),y=g(x)圖象均相切，則a的取值范圍是

【題型8】由切線條數(shù)求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識(shí)

設(shè)切點(diǎn)為P(x(),%),則斜率々=/'(Xo),過切點(diǎn)的切線方程為：y-y0=/XXQXX-XQ),

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)A(a,b),所以/?-%=fXx0)(a-x0)然后解出x0的值，有多少個(gè)解對(duì)應(yīng)有多少

條切線.

18.(2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題)若曲線y=(x+a)e*有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取

值范圍是.

19.(2024.河南信陽?模擬預(yù)測(cè))若過點(diǎn)(l,a)僅可作曲線y=xe，的兩條切線，貝M的取值范圍

是.

20.(2024屆廣東省六校高三第一次聯(lián)考T8)已知函數(shù)/(x)=-V+2/-x,若過點(diǎn)尸(1J)可作曲

線y=/G)的三條切線，則力的取值范圍是

【鞏固練習(xí)1](23-24高三?湖北武漢?階段練習(xí))已知過點(diǎn)4(。,。)可以作曲線，=口-1)/的兩條切

線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(1,+co)B.(-<?,-e)u(2,+oo)

C.(-oo,-2)u(2,+oo)D.(^o,-3)u(l,+oo)

【鞏固練習(xí)2】(2024屆?廣州中山大學(xué)附屬中學(xué)?？?過點(diǎn)(3,0)作曲線〃x)=xe'的兩條切線，切點(diǎn)

分別為(如/(%)),(%,八％)),則%+%=()

A.-3B.一百C.君D.3

【鞏固練習(xí)2】（2024嚀夏銀川?二模）已知點(diǎn)尸（1,力?）不在函數(shù)/（j）=x3-3mx的圖象上，且過點(diǎn)P僅

有一條直線與/（x）的圖象相切，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A-B.y,o）u（；,+s）

c.D.（一叫；）53,+8）

【鞏固練習(xí)3X2024.內(nèi)蒙古.三模）若過點(diǎn)（a,2）可以作曲線y=ln%的兩條切線，則a的取值范圍為（）

A.（-00,e2）B.（-oo,ln2）

C.（0,e2）D.（O,ln2）

【鞏固練習(xí)4］已知點(diǎn)A在直線x=2上運(yùn)動(dòng)，若過點(diǎn)A恰有三條不同的直線與曲線y=相切,

則點(diǎn)A的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.2B.4C.6D.8

【鞏固練習(xí)51若曲線y（x）=宗有三條過點(diǎn)（°，。）的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.［O,￡|BJo,￡|c.（o,jD.（。，3

【鞏固練習(xí)6］若過點(diǎn)（。1）可以作曲線y=lnx的兩條切線，貝U（）

A.eb>0>aB.lna>0>bC.eb>a>0D.lna>b>0

【鞏固練習(xí)7】（2024高三.遼寧本溪?期中）若過點(diǎn)（l,b）可以作曲線y=ln（x+l）的兩條切線，貝心）

A.In2<b<2B.b>ln2

C.0<Z?<ln2D.b>l

【題型9】?jī)蓷l切線平行、垂直、重合問題

基礎(chǔ)知識(shí)

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用兩直線平行或重合則斜率相等，兩直線垂直則斜率之積為-1.

21.（2024.河北邢臺(tái)?二模）已知函數(shù)/（x）=f+21nx的圖像在4（&/（%））,8仁"d））兩個(gè)不

同點(diǎn)處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（）

A.%+/=2B.玉+/=C.石4=2D.x^2—

22.已知函數(shù)/（xNS-Sks+g-ZW+STx+a若對(duì)任意％eR,曲線y=/（x）在點(diǎn)（%,/（%））

和（-%,/（-%））處的切線互相平行或重合，則實(shí)數(shù)”=（）

A.0B.1C.2D.3

23.（2024?遼寧?二模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)為=屋（。>0且"1）的圖象在公共點(diǎn)處有相同

的切線，則4=，切線方程為.

【鞏固練習(xí)1]（2024.全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（尤）=（尤+°）2+lnx的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A5,

使得曲線y=/（x）在點(diǎn)AB處的切線都與直線x+2y=0垂直，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.^—oo,l—V2jB.（1-V^,0）C.卜00,1+A/^）D.（0,1+A/5）

【鞏固練習(xí)2】（23-24高三?遼寧?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=x（相-嗎，曲線y=〃x）上存在不同

的兩點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與直線y=%平行，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是（）

A.（1-e』l）B.（-l-e-2,-l）C.（-e",0）D.（l-e之+s）

x+—\ex,x>0,

【鞏固練習(xí)3】（2024?河南?三模）已知函數(shù)/（尤）=12；點(diǎn)A,3在曲線'=/（?上（A

x3,x<0,

iBgl

在第一象限），過A,3的切線相互平行，且分別交y軸于p,Q兩點(diǎn)，則骨的最小值為.

【鞏固練習(xí)4]（2024?北京朝陽?一模）已知函數(shù)〃x）=；sin2x.若曲線y=/（x）在點(diǎn)處

的切線與其在點(diǎn)8（%,/（%））處的切線相互垂直，則再-々的一個(gè)取值為.

【題型10］與切線有關(guān)的參數(shù)范圍或最值問題

基礎(chǔ)知識(shí)

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，從而求出相關(guān)式子的取值范圍.

24.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若直線y=2x-6與曲線/（j）=e2x-2ax（a〉-1）相切，則b的最小值為（）

A.-eB.-2D.0

【鞏固練習(xí)1】（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知直線y=a%+6與曲線y=eX相切于點(diǎn)（X0,e&）,若

天?YO,3）,則a+%的取值范圍為（)

A.(-oo,e]B.C.(0,e)D.(O,e3]

【鞏固練習(xí)2】（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）已知直線k點(diǎn)+b恒在曲線y=ln（x+2）的上方，則一的

取值范圍是（）

；,+0O

A.(1,+co)B.C.(0,+力)D.

【鞏固練習(xí)3］已知直線丫=丘+萬與函數(shù)+lnx的圖象相切，則左-6的最小值為.

【鞏固練習(xí)3】對(duì)給定的實(shí)數(shù)b,總存在兩個(gè)實(shí)數(shù)。，使直線y=與曲線y=ln（x-A）相切，則b

的取值范圍為.

【題型11］牛頓迭代法

基礎(chǔ)知識(shí)

數(shù)形結(jié)合處理

25.（23-24高三?河南關(guān)B州?期中）“以直代曲”是微積分中的重要思想方法，牛頓曾用這種思想方法

求高次方程的根.如圖，廠是函數(shù)〃力的零點(diǎn)，牛頓用“作切線”的方法找到了一串逐步逼近「

的實(shí)數(shù)X。，為，巧，…，X"，其中毛是〃X）在x=x0處的切線與無軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，4是“X）

在X=X處的切線與無軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，…，依次類推.當(dāng)|七-「|足夠小時(shí)，就可以把X“的值作

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為方程〃x）=0的近似解.若/0）=百/-丁2+2尤一二，%=4,則方程〃x）=0的近似解

26.（2024?山東濰坊?三模）牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法.如圖，方程/（x）=0的根就

是函數(shù)/（X）的零點(diǎn)「，取初始值與,“X）的圖象在點(diǎn)（X。,"%））處的切線與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

為小"》）的圖象在點(diǎn)&"&））處的切線與％軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為々，一直繼續(xù)下去，得到

石,程…，毛，它們?cè)絹碓浇咏??設(shè)函數(shù)/（力=