探索勾股定理（學(xué)生版+解析）-2022-2023學(xué)年浙教版八年級數(shù)學(xué)上冊同步講義

第13課探索勾股定理

號目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

L掌握勾股定理，會用勾股定理解決簡單的幾何問題.

2.掌握勾股定理定理，會用上述定理判定一個三角形是不是直角三角形.

施知識精講

知識點(diǎn)01勾股定理

勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么/+62=02.

注：解決直角三角形三邊有關(guān)問題

知識點(diǎn)02勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.

注：直角三角形的判定方法

能力拓展

考點(diǎn)01勾股定理的應(yīng)用

【典例1】如圖所示，在RtZXABC中，NC=90°,平分/C4B,于點(diǎn)E,若AC=6,BC=8,

CD=3.

(1)求A2和。E的長；

(2)求的面積.

A

【即學(xué)即練1】如圖，在△ABC中，若A8=AC=6,BC=4,A。平分/BAC,則AD的長等于（

c.2775D.4

考點(diǎn)02勾股定理的逆定理的應(yīng)用

【典例2】以下列各組數(shù)為邊長，不能構(gòu)成直角三角形的是（

A.0.3,0.4,0.5B.1,1,V2C.6,8,13D.9,12,15

【即學(xué)即練2】如圖，RtZ\ABC中，ZB=90°,AB=12,BC=16,CD=21,4。=29,點(diǎn)E是A。的中點(diǎn),

求CE的長.

fii分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1.如圖，字母A所代表的正方形的面積是（）

2.直角△ABC的斜邊為5,一條直角邊為4,則此三角形的面積是（)

A.10B.20C.12D.6

3.已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5,12,則斜邊上的中線長為（）

A.反B.6C.區(qū)D.13

22

4.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)P（-6,8）到原點(diǎn)的距離是（）

A.7B.8C.9D.10

5.下面四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）

A.娓,J10B.62,82,102C.1,娓,2D.1,1,1

345

6.下列條件中，不能判定△ABC為直角三角形的是（）

A.c2=a2+b2B.ZA+ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=2：3：5D.a=6,b=12,c-二13

7.如圖，已知BD是△ABC的角平分線,ED是BC的垂直平分線，ZBAC=90°,AD=3,則CD的長為

8.ZkABC中，AC=8,BC=6,在AABE中，DE為AB邊上的高，DE=12,SMBE=60,則A8=

NC=

9.如圖，四邊形A8CZ)中，ABLBC,AB=4,BC=3,A￡)=12,CD=13,則四邊形ABC。的面積是

10.已知a,b,c滿足=0,請判斷以a,b,c為邊長的三角形是否是直角三角形，并說明理由.

11.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=9Q°,垂直4?于點(diǎn)。，AC=2&，BC=2娓.

(1)求斜邊AB的長；

(2)求斜邊上的高C。的長.

A

D

CB

12.(1)如圖1,在△ABC中，CD1AB,AC=3炳,CD=6,8c=10,求△ABC的面積.

(2)如圖2,在△ABC中，AC=8,AB=4,ZBAC=120°,求△ABC的面積.

題組B能力提升練

13.斜邊長是4的直角三角形，它的兩條直角邊可能是（)

A.3,V7B.2,3C.3,5D.2,2

14.△ABC的三邊滿足G-13）2+|b-12|=0，貝必人尤為（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.直角三角形

15.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為8cm,則

17.如圖，在△ABC中，邊上的垂直平分線。E與A3、AC分別交于點(diǎn)E和。，且。笈二人小一°2.

(1)求證：ZC=90°；

(2)若AC=4,BC=3,求CO的長.

A

E

D

CB

18.已知a,b,c為△ABC的三邊，且滿足/02_62°2=々4_。4,試判斷△ABC的形狀，解題過程如下:

224

2c2-l）c—a-匕4①

c2（a2-Z?2）=（a1-伊）（/+廬）②

c1—c^+b1?

:.AABC是直角三角形

上述解題過程有誤，請指出錯誤在①②③的哪一步，并作改正.

題組C培優(yōu)拔尖練

19.在△ABC中，ZA,NB,NC的對邊分別記為a,b,c,下列結(jié)論中不正確的是（）

A.如果a：b：c=l：1：那么△ABC是直角三角形

B.如果NA=NB-NC,那么△ABC是直角三角形

C.如果a=3c,b=2c,那么△ABC為直角三角形

55

D.如果戶=/-02,那么△ABC是直角三角形且/8=90°

20.直角三角形的兩條邊長分別為3和4,則這個直角三角形斜邊上的高為（）

D

A.5平噂

21.如圖，由6個相同小正方形組成的網(wǎng)格中，A,B,C均在格點(diǎn)上，則NABC的度數(shù)為（）

22.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,為中線，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，連結(jié)。F.若

AC=4?,DF1BE,則。尸的長為2

23.如圖，AB_LBC于點(diǎn)8,于點(diǎn)A,點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，若BC=5,AD=10,BE=^-,則A8的

2

長是

射線AC運(yùn)動，則點(diǎn)。運(yùn)動中使得△A3。為等腰三角形的所有時間，等于一秒.

B

25.如圖，在△ABC中，AC=BC=6,E為BC邊上一點(diǎn)，且CE=2,

(1)求A8的長；

(2)點(diǎn)P為AB邊上的動點(diǎn)，當(dāng)為等腰三角形時，求AF的長.

B

E

CA

c=

（2）在（1）的條件下判斷：以〃，b,c為邊的三角形是否為直角三角形？證明你的結(jié)論.

第13課探索勾股定理

號目標(biāo)導(dǎo)航

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握勾股定理，會用勾股定理解決簡單的幾何問題.

2.掌握勾股定理定理，會用上述定理判定一個三角形是不是直角三角形.

琬知識精講

知識點(diǎn)01勾股定理

勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為C,那么/+廬=02.

注：解決直角三角形三邊有關(guān)問題

知識點(diǎn)02勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是

直角三角形.

注：直角三角形的判定方法

能力拓展

考點(diǎn)01勾股定理的應(yīng)用

【典例1】如圖所示，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AQ平分/CAB,OE_LA8于點(diǎn)E,若

AC=6,BC=8,C￡>=3.

(1)求AB和DE的長；

(2)求△AD2的面積.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)根據(jù)勾股定理得到A8,根據(jù)角平分線性質(zhì)得出CD=DE,代入

求出即可;

(2)利用勾股定理求出A3的長，然后計算的面積.

【解析】解：(1)VZC=90°,

*'-AB=VAC2+BC2==10;

「A。平分/GW,DELAB,ZC=90°,

：.CD=DE,

VCD=3,

.*.￡>￡=3；

(2)由(1)知，A2=10,

△AQB的面積為10X3=15.

22

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊

的距離相等.

【即學(xué)即練1】如圖，在△ABC中，若A2=AC=6,BC=4,AD平分NBAC,則的長

B.275c.2V10D.4

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AALBC,BD=2,根據(jù)勾股定理計算，得到答

案.

【解析】解：BC=4,AO平分NB4C,

C.ADLBC,BD=DC=LC=2,

2

?1?A￡,=VAB2-BD2==4A/2-

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握等腰三角形的三線合一是解

題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)02勾股定理的逆定理的應(yīng)用

【典例2】以下列各組數(shù)為邊長，不能構(gòu)成直角三角形的是()

A.0.3,0.4,0.5B.1,1,V2C.6,8,13D.9,12,15

【思路點(diǎn)撥】欲判斷能否構(gòu)成直角三角形，只需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的

平方.

【解析】解:A、0.32+0.42=0.52,能構(gòu)成直角三角形；

B、12+12=（V2）2,能構(gòu)成直角三角形；

C、62+827^132,不能構(gòu)成直角三角形；

D、92+122=152,能構(gòu)成直角三角形.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的方法.在應(yīng)用勾股定理的

逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方

和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷.

【即學(xué)即練2】如圖，RtZkABC中，ZB=90°,AB=12,BC=16,CD=21,AD=29,點(diǎn)

E是A。的中點(diǎn)，求CE的長.

【思路點(diǎn)撥】先由勾股定理求得AC的長度，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定△ADC是直

角三角形，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解.

【解析】解：在RtZXABC中，ZB=90°,

'：AB=n,BC=16,

AAC=VAB2+BC2=V122+162=20'

:CD=21,AD=29,

VAC2+CD2=202+212=841,

A￡）2=841,

:.AC2+CD2=AD2,

：.ZACD=9Q°,

...△AC。是直角三角形，

:點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

CE=Ain=Ax29=-^..

2仙22

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及直角三角形的性質(zhì)，能根據(jù)勾股

定理的逆定理判斷出△ADC是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵.

M分層提分

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式，得字母A所代表的正方形的面積等于

其它兩個正方形的面積差.

【解析】解：由勾股定理得：字母A所代表的正方形的面積=169-144=25.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形的性質(zhì)；熟記：以直角三角形的兩條直角邊為邊

長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積.

2.直角△ABC的斜邊為5,一條直角邊為4,則此三角形的面積是（）

A.10B.20C.12D.6

【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理求出另一條直角邊，即可得出面積.

【解析】解：由勾股定理得，另一條直角邊為沖彳=3，

此三角形的面積是/x3X4=6，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，三角形的面積，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5,12,則斜邊上的中線長為（）

A.BB.6C.衛(wèi)D.13

22

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理求出斜邊的長度，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊的

一半即可求解.

【解析】解:由勾股定理得：斜邊的長為：752+122=13;

.?.斜邊上的中線的長為：堂，

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，解此題的關(guān)鍵是熟記直角三

角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

4.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)尸（-6,8）到原點(diǎn)的距離是（）

A.7B.8C.9D.10

【思路點(diǎn)撥】點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的絕對值和這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離組成一個直角三角形，利用勾

股定理求解即可.

【解析】解：點(diǎn)尸（-6,8）到原點(diǎn)的距離=[（-6）2+g2=io,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式，用到的知識點(diǎn)為：點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是此點(diǎn)的橫

縱坐標(biāo)的絕對值為兩直角邊的直角三角形的斜邊的長度.

5.下面四組線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）

A.娓,Vs，V10B.62,82,102C.1,V5-2D.-1,A,1

345

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，

那么這個三角形是直角三角形.如果沒有這種關(guān)系，這個就不是直角三角形，逐一判定

即可.

【解析】解：4（V6）2+（V8）2#（V10）2,不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成

直角三角形，故本選項不符合題意；

B、（62）2+（82）2#（102）2,不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本

選項不符合題意；

C>12+22=（V5）2,符合勾股定理的逆定理，能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意；

D、（1）2+（1）2會（1）2,不符合勾股定理的逆定理，不能構(gòu)成直角三角形，故本

453

選項不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所

給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)

系，進(jìn)而作出判斷.

6.下列條件中，不能判定AABC為直角三角形的是（）

A.c2=a2+b2B.ZA+ZB=ZC

C.ZA：ZB：ZC=2：3：5D.a=6,b=12,c=13

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計算逐一判斷即可解答.

【解析】解：Vc2=a2+Z>2,

能判定△ABC為直角三角形，

故A不符合題意；

B、VZA+ZB=ZC,ZA+ZB+ZC=180°,

.?.2/C=180°,

：.ZC=90°,

能判定AABC為直角三角形，

故B不符合題意；

C、VZA：/B：NC=2：3：5,ZA+ZB+ZC=180°,

AZC=180°X―§—=90°,

2+3+5

/.能判定△ABC為直角三角形，

故C不符合題意；

￡>、'."a=6,6=12,c=13,

：.a2+b2=62+122=180,/=132=169,

".cr+b1^^,

/.不能判定AABC為直角三角形，

故。符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定

理，三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，已知2。是△ABC的角平分線，ED是2C的垂直平分線，ZBAC=90°,A￡>=3,

則CD的長為

B

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)角平分線和中垂線可得/4。8=/。8。=/。54=30°,DE=AD,因

此△CDE為含30°角的直角三角形，因此可求出結(jié)果.

【解析】解：???EO是8c的垂直平分線，

J.DEYBC,CD=BD,

：.ZDCB=ZDBC,

:BD是△ABC的角平分線，

AZDBC=ZDBA,DE=AD=3,

VZA=90°,

ZACB=ZDBC=ZDBA=30°,

:.CE=MDE=3?,

故答案為：373.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、中垂線的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)，屬

于?？碱}型.

8.△ABC中，AC=8,BC=6,在△ABE中，為AB邊上的高，DE=U,SAABE=60,

則10,NC=90°.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的面積公式求出AB,再根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可.

【解析】解：'."SAABE=60,

：.^AB-DE^6Q,即工XABX12=60,

22

解得：AB=1O,

VAC2+BC2=82+62=100,AB2=102=100,

/.ZC=90°,

故答案為：10,90.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理、三角形的面積計算，如果三角形的三邊長分

別是。，b,C,且。2+必=02,那么這個三角形是直角三角形.

9.如圖，四邊形A8C。中，AB±BC,4B=4,BC=3,AO=12,CD^13,則四邊形ABC。

的面積是36

【思路點(diǎn)撥】先連接AC,由勾股定理求得AC的長度，然后根據(jù)勾股定理的逆定理判定

△ACD是直角三角形，最后根據(jù)四邊形ABC。的面積=直角△ABC的面積+直角△ADC

的面積，列式計算即可.

【解析】解：如圖，連接AC,

在△ABC中，ABLBC,AB=4,BC=3,

AC=22

-,-VAB+BC==5.

在△AOC中，AD=U,CD=13,AC=5.

V122+52=132,BPAD2+AC2=CD1,

.,.△ADC是直角三角形，且NZMC=90°,

S四邊形ABCD—SAABC+SAADC

22

=AX4X3+AX5X12

22

=6+30

=36.

故答案為：36.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，用到的知識點(diǎn)是三角形的面積，注

意：勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

10.已知a,b,c滿足=0,請判斷以a,b,c為邊長的三角形是否是直角三角形，并說明

理由.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)非負(fù)性求出a,b,c,再根據(jù)勾股定理的逆定理解答即可.

【解析】解：以a,b,c為邊長的三角形是直角三角形，理由如下：

根據(jù)題意得：a-5=0,b-2a=0,c-炳=3

解得：a=5,b=2,\[^）,c=V5>

（2V5）2+（V5）2=52,

...以a,6,c為邊長的三角形是直角三角形.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)非負(fù)性得出a,6,c的值.

11.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,垂直A8于點(diǎn)。，AC=2&，BC=2娓.

（1）求斜邊A8的長；

（2）求斜邊上的高CD的長.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理求解即可;

（2）利用等面積法可以求出CD.

【解析】解：（1）VZACB=90°,

AAB=VAC2+BC2=4V2-

(2)由題意得：CDXAB=ACXBC,

22

,.cg=ACXBC=2V2><2V6rr.

AB4V2

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和等面積法，解題的關(guān)鍵是利用等面積法求出CO的長.

12.(1)如圖1,在△ABC中，CDLAB,AC=3粕，CD=6,BC=10,求△ABC的面積.

(2)如圖2,在△ABC中，AC=8,AB=4,ZBAC=120°,求△ABC的面積.

【思路點(diǎn)撥】(1)利用勾股定理分別得出ZM,8。的長，再利用三角形面積公式求出即

可；

(2)過點(diǎn)C作交BA的延長線于點(diǎn)。，由勾股定理求出CD的長，利用三角

形面積公式可求出答案.

【解析】解：(1),:CDLAB,

；.NADC=/BDC=90°,

：AC=3心CD=6,BC=10,

2222

???AD=VAC-CD=V(3V5)2-62=3,BD=7BC-CD=V102-62=8，

.,.AB=AD+BZ)=3+8=11,

.?.SAABC=AAB?CD=Ax11X6=33；

22

(2)過點(diǎn)C作CDLAB,交BA的延長線于點(diǎn)D,

c

DAB

圖？

VZBAC=120°,

：.ZDAC=6Q°,

：.ZACD^3Q°,

VAC=8,

'.AD——AC—^,

2

22

,■,CD=VAC-AD==4如,

/.SAABC=AAB?C￡)=AX4X4V3=8V3.

22

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，三角形面積公式，求得出A8,C。的長是解題的關(guān)

鍵.

題組B能力提升練

13.斜邊長是4的直角三角形，它的兩條直角邊可能是（）

A.3,VVB.2,3C.3,5D.2,2

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理，計算42與兩條直角邊的平方和是否相等，可作判斷.

【解析】解：V32+（V7）2=42,符合題意；

B、22+32^42,不符合題意；

C、32+52#42,符合題意；

D、22+22^42,不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用.本題比較簡單，解題的關(guān)鍵是熟記勾股定理：如

果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么“2+廬=02.

14.△ABC的三邊滿足G-13產(chǎn)+|b-12|則△人2。為（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.直角三角形

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)偶次方、絕對值、算術(shù)平方根的非負(fù)性求出。、6、c,根據(jù)勾股定理的

逆定理判斷即可.

【解析】解：???（a-13）2+|b-12|W^=0，

'.a-13=0,b-12=0,c-5=0,

解得，4=13,b=12,c=5,

：.c2+b2=52+122=169,a2=169,

即c2+b2=a2,

.?.△ABC為直角三角形，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理、偶次方、絕對值、算術(shù)平方根的非負(fù)性，掌

握如果三角形的三邊長a,b,c滿足/+/=02,那么這個三角形就是直角三角形是解題

的關(guān)鍵.

15.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的

邊長為8c7W,則圖中所有正方形的面積的和是192cm2.

【思路點(diǎn)撥】設(shè)圖中正方形的面積分別為A,B,C,D,E,F,根據(jù)勾股定理得A+B=E,

C+D=F,E+F=82=64,從而解決問題.

【解析】解：如圖，設(shè)圖中正方形的面積分別為A,B,C,D,E,F,

由勾股定理得，A+B=E,C+D=F,E+F=82=64,

圖中所有正方形的面積的和64X3=192(cm2),

故答案為：192.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

16.在三角形ABC中，AB=13,BC=12,AC=5.點(diǎn)。在直線AC上，且AD=11,則線

段BD的長為6祈或20.

【思路點(diǎn)撥】先利用勾股定理的逆定理得出△A2C是直角三角形，再分。在AC的延長

線上與D'在CA的延長線上兩種情況進(jìn)行討論.

【解析】解：在三角形ABC中，AB=13,BC=T2,AC=5,

:.AC2+BC2=AB2,

.,.△ABC是直角三角形，且BCLAC.

如果。在AC的延長線上時，

'：AD=11,

：.CD=AD-AC=11-5=6,

BD=VBC24CD2=V122+62=6浜；

如果。'在CA的延長線上時，

'：AD'=11,

:.CD'=ADr+AC=11+5=16,

?'-BD，=VBC2K：D/2=V122+162=20-

綜上所述，線段的長為6機(jī)或20.

故答案為：6典或20.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足/+7=02,

那么這個三角形就是直角三角形.也考查了勾股定理以及分類討論思想.

17.如圖，在△ABC中，邊上的垂直平分線。E與A3、AC分別交于點(diǎn)E和。，且。生

=A￡>2_C￡)2.

(1)求證：ZC=90°；

(2)若AC=4,BC=3,求CO的長.

A

E

D

CB

【思路點(diǎn)撥】（1）連接BD根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的逆定理即可求解;

(2)設(shè)CD=x,則AD=BD=4-x,在RtABCD中，根據(jù)BD2-CD2^BC2列出方程計

算即可求解.

【解析】（1）證明：連接3D,

?：AB邊上的垂直平分線為DE,

：.AD=BD,

"：CB2=AD2-CD1,

：.CB2=BD1-CD1,

J.CE^+CE^^BD1,

AZC=90°；

(2)解：設(shè)CD=x,貝lj4。=2￡)=4-x,

在RtABCD中，BD2-CD2^BC2,

(4-x)2-^=32,

解得：尸工，

8

：.CD的長為工.

8

【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程

思想的運(yùn)用.

18.已知4,b,C為△ABC的三邊，且滿足-b2c2=“4-。4,試判斷△人3。的形狀，解

題過程如下：

2c2-62c2=q4_°4①

.'.c2(a2-b2)=(a2-Z>2)(a:2+Z>2)②

：.c2=a2+b2@

AABC是直角三角形

上述解題過程有誤，請指出錯誤在①②③的哪一步，并作改正.

【思路點(diǎn)撥】在解方程或作討論時，字母在討論的范圍內(nèi)時，不能約分，否則會漏掉一

種情況.如進(jìn)行第三步時，應(yīng)考慮。和b的關(guān)系.

【解析】解：錯誤在第③步，應(yīng)改為

c2=C^+b2或/=廿=4=b,

...△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，注意約分時要考慮字母的取值.

題組C培優(yōu)拔尖練

19.在△A8C中，ZA,/B,/C的對邊分別記為a,b,c,下列結(jié)論中不正確的是()

A.如果a：b：c=l：1：&，那么△ABC是直角三角形

B.如果NA=N3-NC,那么△ABC是直角三角形

C.如果a=2c,b=^c,那么△ABC為直角三角形

55

D.如果62=°2-02,那么△ABC是直角三角形且N8=90°

【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計算逐一判斷即可解答.

【解析】解：A>Vfl：b：c=1：1：y[2,

；.設(shè)。=左，b=k,c=y12k,

c^+b2=1^+1^=2lr,c2=(V2^)2=2A2,

.".a2+b2=c1,

.?.△ABC是直角三角形，

故A不符合題意；

B、VZA=ZB-ZC,

，ZA+ZC=ZB,

VZA+ZB+ZC=180°,

2/8=180°,

.,.ZB=90",

.?.△ABC是直角三角形，

故8不符合題意；

.,.a2+b2=(2c)2+(Ac)2=c2,

55

...△ABC為直角三角形，

故C不符合題意；

D、'."tP'—a2-c2,

Ir+c1—a1,

...△ABC為直角三角形，

AZA=90°,

故。符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握勾股定理的逆定

理，以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

20.直角三角形的兩條邊長分別為3和4,則這個直角三角形斜邊上的高為()

A.5B.四C.&ZD.曼L或衛(wèi)

5445

【思路點(diǎn)撥】分長為4的邊是直角邊、長為4的邊是斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理和三

角形的面積公式計算即可.

【解析】解：設(shè)直角三角形斜邊上的高為/I,

當(dāng)長為4的邊是直角邊時，斜邊長=432+42=5,

則上X3X4=_lx5X/z,

22

解得：h=—,

5

當(dāng)當(dāng)長為4的邊是斜邊時，另一條直角邊長==巾，

Ax3xV7=-X4X/1,

22

解得：h=ML,

4

綜上所述，直角三角形斜邊上的高為」2或里工，

54

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，掌握勾股定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)

鍵.

21.如圖，由6個相同小正方形組成的網(wǎng)格中，A,B,C均在格點(diǎn)上，則NABC的度數(shù)為

（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【思路點(diǎn)撥】先計算出AC、BC、AB的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷出△ABC

的形狀，從而可以得到/A2C的度數(shù).

【解析】解：連接AC,

設(shè)每個小正方形的邊長為a,

22=22=

則AC=Q&2+⑵）2=代小BC=yJa+（2a）V5?>AB=（3a）+aVIo?>

：.AC2+BC2=（V5a）2+（aa）2^AB2,AC=BC,

.?.△ACB是等腰直角三角形，

AZABC=45°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆

定理的知識解答.

22.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AD為中線，E為的中點(diǎn)，尸為BE的中點(diǎn)，

連結(jié)若AC=4?,DFLBE,則DF的長為2.

【思路點(diǎn)撥】連接CE,由中位線的性質(zhì)可得CE=2OF,DF//CE,再證ADEF咨ADBF

(SAS),進(jìn)而可證CD=ED,然后證CZ)=Lz),AD=4DF,利用勾股定理求出AD的

2

長，即可解決問題.

【解析】解：如圖，連接CE,

是BC邊上的中線，/點(diǎn)為BE的中點(diǎn)，

...D尸為△BCE的中位線，

：.CE=2DF,DF//CE,

：.ZBDF=ZDCE,NEDF=/DEC,

:DFLBE,

：.ZDFE=ZDFB=90°,

在△DEB和/中，

：./\DEF^/\DBF(SAS),

：.ZEDF=ZBDF,

：.ZDEC=ZDCE,

：.CD=ED,

為A。的中點(diǎn)，ZACB=90°,

:.CE=ED=CD=1AD,

2

：.AD=4DF,

：AC=4心

在RtZxACO中，由勾股定理得：CEr+AC^^AD1,

即(JLAD)2+(4/§)2=AD2,

2

解得：AD=8(負(fù)值已舍去)，

:.DF=2.

故答案為：2.

D

hB

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，

三角形中位線定理等知識，熟練掌握勾股定理，證出40=4。尸是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，于點(diǎn)8,于點(diǎn)A,點(diǎn)E是CD中點(diǎn),若8C=5,AD=10,BE

【思路點(diǎn)撥】延長BE交AD于點(diǎn)F,由“ASA”可證△BCE之△即E,可得￡＞尸=2。=5,

BE=EF,由勾股定理可求AB的長.

【解析】解：如圖，延長BE交A。于點(diǎn)后

：.DE=CE,

'：AB.LBC,ABLAD,

：.AD//BC,

；./D=/BCE,/FEDjBEC,

???△BCE注LFDE(ASA),

：.DF=BC=5,BE=EF,

:?BF=2BE=13,

在RtZXAB尸中，由勾股定理可得A3=12.

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三

角形是本題的關(guān)鍵.

24.如圖，及△ABC中，ZACB=90°,AB=10cmfBC=8cm,動點(diǎn)。從A點(diǎn)出發(fā)，以每

秒2cm的速度沿射線AC運(yùn)動，則點(diǎn)。運(yùn)動中使得△A3。為等腰三角形的所有時間/等

于5或6或至秒.

6―

B

【思路點(diǎn)撥】由題意可知AD=2f,當(dāng)時，有2/=10；當(dāng)時，則可知

AC=CD,則4。=12,即2f=12；當(dāng)時，CD=2t-6,BD=2t,在RtZkBDC中，

由勾股定理可得8。2+必=瓦)2,