2024-2025學(xué)年云南省大理州某中學(xué)高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年云南省大理州民族中學(xué)高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1?2-+=（）

A.|+|iC.|+1iD.|-1i

2.已知不等式/一3x+2WO的解集為4,不等式三<0的解集為B,貝必是8的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.已知向量沅，n,且|沅|=|元|=1,|3記一2元|=，!回，則向量沆，元的夾角為（）

A.0D.TT

4.將%i，x2,0每個數(shù)均加上9,得到第1+9,次+9，…，xn+9,則兩組數(shù)數(shù)字特征不同的是（）

A.平均數(shù)B.方差C.極差D.眾數(shù)的個數(shù)

5.已知Z,m是兩條不重合的直線，a,/?是兩個不重合的平面，下列結(jié)論正確的是（）

A.若2ua,mu',I1m,則a1夕

B.ca,me/?,a1S，則21m

C.若=a±S，mca,mil,則7nls

D.若Eua,me/?,a//p,則〃“n

6.已知函數(shù)/（%）=仇％+a/一3汽在0,3）上單調(diào)遞增，貝I]Q的取值范圍為（）

4499

A.[§,+8）B.（0,-]C.[§,+OO）D.（0,-]

7.已知拋物線C:*=2px（p>0）的焦點F到其準線的距離為4,M是拋物線C上一點，若4（2,3）,則|MF|+

|M川的最小值為（）

A.8B.6C.5D.4

8.十八世紀早期，英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了公式s譏久=久—盤+2一4+…+（-1廠】#士+…，（其中

3!5!7!''（2n-i）\'

ill

xER,neN*,n!=1X2X3X...Xn,0/=1）,現(xiàn)用上述公式求1一25—…+

2!4!6!

訪%+…的值，下列選項中與該值最接近的是（）

A.sin30°B.sin330C.sin36°D.s仇39°

二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.對于函數(shù)/（久）=s譏久+cosx,下列說法正確的有（）

A.2兀是f（久）的最小正周期B.關(guān)于6,0）對稱

C.在［0,芻的值域為D.在已初上遞增

10.已知拋物線「：%2=2py（p>0）,過其準線上的點T（t,—1）作r的兩條切線，切點分別為4、B,下列說

法正確的是（）

A.p=4B.當(dāng)力=1時，TA1TB

C.當(dāng)t=1時，直線力B的斜率為2D.直線4B過定點（0,1）

11.觀察圖象，下列結(jié)論錯誤的有（）

A.若圖中為/（%）圖象，則/O）在工=-2處取極小值

B.若圖中為尸（久）圖象，則/（久）有兩個極值點

C.若圖中為y=（久-2）（0）圖象，則/（久）在（0,2）上單調(diào)遞增

D.若圖中為y=（%+2）/（?圖象，則/（￡）<0的解集為｛x|—23xW2｝

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.等差數(shù)列｛曲｝的前n項和為%,若S3=6,59=27,則56=?

13.現(xiàn)有3名男生，3名女生和2名老師站成一排照相，2名老師分別站兩端，且3名女生互不相鄰，則不同的

站法為.

2

14.已知（1—2x）2°24=劭+arx+a2x+—Fa2024K之。?"，則+2a2+3a3H---F2024a2024=.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題12分）

已知AABC內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,且，Wbs譏C=3ccosB.

（1）求角B的值；

（2）若6=4,ac=16,求ZiABC的周長.

16.（本小題12分）

若數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，則稱數(shù)列｛aj為調(diào)和數(shù)列.若實數(shù)a、b、c依次成調(diào)和數(shù)列，則稱b是a和c的調(diào)和中

項.

⑴求：和1的調(diào)和中項;

(2)已知調(diào)和數(shù)列｛an｝,a】=6,a4=2,求｛an｝的通項公式.

17.(本小題12分)

AC=AD=BC=BD=5,CD=6.

(1)求證：AB1CD；

(2)求二面角B-AC-D平面角的余弦值.

18.(本小題12分)

每年的4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”，又稱“世界圖書和版權(quán)日”，為了解某地區(qū)

高一學(xué)生閱讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了1000名高一學(xué)生進行在線調(diào)查，得到了這1000名學(xué)

生的日平均閱讀時間(單位：小時)，并將樣本數(shù)據(jù)分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],

(14,16],(16,18]九組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.

,頻率

0.15--------

05

04

03

02

01。246824

1018日平均閱讀時間(小時)

(1)求a的值；

(2)為進一步了解這1000名學(xué)生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質(zhì)圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在

(8,10],(10,12]兩組內(nèi)的學(xué)生中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，記日平均

閱讀時間在(10,12]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.(本小題12分)

設(shè)橢圓C；捻+，=l(a>6〉0)的左焦點為尸，上頂點為8,離心率為?，。是坐標原點，且|。8|?

\FB\=<6.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/：y=依與橢圓C在第一象限內(nèi)的交點為P,|PB|=|PO|,直線BF與直線［的交點為Q,求小

BPQ的面積.

參考答案

l.D

2.C

3.C

4.A

5.C

6.C

l.D

8.B

9.AC

10.BD

11.ABD

12.15

13.288

14.4048

15.解：(1)因為=3ccosB,所以V3s譏BsinC=3sinCcosB,

又C為△ABC內(nèi)角，sinC0,所以=3cosB,

顯然8=]不滿足=3cosB,即有tcmB=y[3,

而B￡(0,兀)，所以B=全

(2)由余弦定理得爐—a2+c2—2accosB=(a+c)2—3ac,

b—4,ac—16,則a+c=yjb2+3ac—8,

所以△ABC的周長為a+b+c=12.

16.1?：(1)設(shè)3和1的調(diào)和中項為b,依題意得：3、卜1成等差數(shù)列,

所以仁亨=2,解得：

b22

11

故目和1的調(diào)和中項為-;

(2)依題意，｛，｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,

111

則3d=5-￡今d=d，

zoy

所以工=工+(n一l)d=11(n-1)=,

由1al6918

I，,18

故斯=向?

17.1?：(1)取CD的中點E,連接2E,BE,

由力C=4D,所以4E1CD,

由8c=BD,所以BE1CD,

又BECAE=E,BE、AEu平面ABE,

所以CD1平面ABE,

又ABu平面ABE,

所以力B1CD；

(2)由(1)知CD_L平面ABE,又CDu平面BCD,所以平面BCD_L平面ABE,

由4C=8C=5,CE=3,所以4E=BE=4,

又力B=4,所以回ABE為正三角形，

取BE,BC的中點。，F(xiàn),貝!M01BE,

又平面BCD1平面ABE,平面BCDC平面力BE=BE,4。u平面4BE,

所以力。1平面BCD,

又OF,OEu平面BCD,

所以4。1OF,AO1OE,

因為。F〃C。，CD1OE,

所以。F1OE,

則。4OF,OE兩兩垂直，

以。為原點，。尸,。&。4所在的直線分別為居％2軸，建立如圖所示的空間坐標系:

貝1口(。,。,2q，5(0,-2,0),C(3,2,0),￡>(-3,2,0),

所以說=(0,2,2門)，AC=(3,2,-2A<3),CD=(-6,0,0),

設(shè)％=(Xi，y1,zi)是平面48c的一個法向量，

所以叵%=°,即色+2爪zi1,

（汨?AC=0+2yl—2v3zt=0

令Z]=所以%i=4,Yi=—3,即4=（4,—3,，W）；

設(shè)近=（%2，、2*2）是平面ZCO的一個法向量，

所以花口=°,叫/°,

顯?4C=0出2+2y2-2V3z2=0

令Z2=V-3,則4=0，＞2=3,即底=（0,3,V~3）?

設(shè)二面角B-AC-D的平面角為0,。為銳角，

<21

所以cos。=|cos〈蘇尼）|=篇露

二面角B-AC-D平面角的余弦值為署.

18.解：（1）由頻率分布直方圖得：2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01）=1,

解得a=0.10；

（2）由頻率分布直方圖得：這1000名學(xué)生中日平均閱讀時間在（8,10],（10,12]兩組內(nèi)的學(xué)生人數(shù)之比為

0.15:0.1=3:2,

若采用分層抽樣的方法抽取了10人，則從日平均閱讀時間在（8,10]內(nèi)的學(xué)生中抽取|x10=6（人）,

在日平均閱讀時間在（10,1刀內(nèi)的學(xué)生中抽取4人,

現(xiàn)從這10人中隨機抽取3人，則X可能取值為0,1,2,3,

P(x=o)3將/P(X=1)=*嶄4

P(X=2)=娶-受3