甘肅省蘭州市2024年中考數(shù)學(xué)真題試卷（含答案）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）2024的絕對(duì)值是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．2．（3分）若∠A＝80°，則∠A的補(bǔ)角是（）A．100° B．80° C．40° D．10°3．（3分）2024年一季度，蘭州市堅(jiān)持穩(wěn)中求進(jìn)、綜合施策，全市國(guó)民經(jīng)濟(jì)起步平穩(wěn)，開局良好．一季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值87790000000元，數(shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．87.79×109 B．8.779×109 C．8.779×1010 D．8.779×10114．（3分）計(jì)算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（）A．a(chǎn) B．﹣a C．2a D．﹣2a5．（3分）一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖象不經(jīng)過(guò)（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．（3分）如圖，小明在地圖上量得∠1＝∠2，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據(jù)是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．對(duì)頂角相等 第6題圖 第7題圖7．（3分）如圖，小張想估測(cè)被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在AB外取一點(diǎn)C，然后步測(cè)出AC，BC的中點(diǎn)D，E，并步測(cè)出DE的長(zhǎng)約為18m，由此估測(cè)A，B之間的距離約為（）A．18m B．24m C．36m D．54m8．（3分）七巧板、九連環(huán)、華容道、魯班鎖是深受大家喜愛(ài)的益智玩具．現(xiàn)將1個(gè)七巧板，2個(gè)九連環(huán)，1個(gè)華容道，2個(gè)魯班鎖分別裝在6個(gè)不透明的盒子中（每個(gè)盒子裝1個(gè)），所有盒子除里面的玩具外均相同．從這6個(gè)盒子中隨機(jī)抽取1個(gè)盒子，抽中七巧板的概率是（）A． B． C． D．9．（3分）關(guān)于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c＝（）A．﹣9 B．4 C．﹣1 D．110．（3分）數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國(guó)元代重要的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載著這樣一個(gè)問(wèn)題，大意是：999文錢買了甜果和苦果共1000個(gè)，11文錢可買9個(gè)甜果，4文錢可買7個(gè)苦果，問(wèn)甜果，苦果各買了多少個(gè)？設(shè)買了甜果x個(gè)，苦果y個(gè)，則可列方程組為（）A． B． C． D．11．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，則∠ADB＝（）A．100° B．115° C．130° D．145° 第11題圖 第12題圖12．（3分）如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，連接BD，點(diǎn)M從B出發(fā)沿BD方向以的速度運(yùn)動(dòng)至D，同時(shí)點(diǎn)N從B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△BMN的面積為y（cm2）．y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為（）A． B． C．4cm D．8cm二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）因式分解：a2﹣2a+1＝．14．（3分）如圖，四邊形ABCD為正方形．△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點(diǎn)F，若AD＝4，則EF＝． 第14題圖 第15題圖15．（3分）“輪動(dòng)發(fā)石車”是我國(guó)古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型．圖2是模型驅(qū)動(dòng)部分的示意圖，其中⊙M，⊙N的半徑分別是1cm和10cm，當(dāng)⊙M順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周時(shí)，⊙N上的點(diǎn)P隨之旋轉(zhuǎn)n°，則n＝．16．（3分）甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次．兩人的成績(jī)（單位：環(huán)）如圖所示．現(xiàn)有以下三個(gè)推斷：①甲的成績(jī)更穩(wěn)定；②乙的平均成績(jī)更高；③每人再射擊一次，乙的成績(jī)一定比甲高．其中正確的是（填序號(hào)）三、解答題（本大題共12小題，共72分．解答時(shí)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（4分）計(jì)算：﹣×． 18．（4分）解不等式組：．19．（4分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a＝4．20．（6分）如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝mx+1的圖象交于點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，BC⊥x軸于點(diǎn)C，交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，連接AB．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝mx+1的表達(dá)式；（2）當(dāng)OC＝4時(shí)，求△ABD的面積．21．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的長(zhǎng)．22．（6分）在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進(jìn)行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號(hào)水火箭的實(shí)物圖，水火箭發(fā)射后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關(guān)性能，同學(xué)們進(jìn)一步展開研究．如圖2建立直角坐標(biāo)系．水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號(hào)水火箭與地面成一定角度時(shí)，從發(fā)射到著陸過(guò)程中，水火箭距離地面OA的豎直高度y（m）與離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離x（m）的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：水平距離x（m）0341015202227豎直高度y（m）03.244.168987.043.24（1）根據(jù)如表，請(qǐng)確定拋物線的表達(dá)式；（2）請(qǐng)計(jì)算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離為5m時(shí)，水火箭距離地面的豎直高度．23．（6分）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動(dòng)人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡(jiǎn)單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”．如圖1，他用木條能快速畫出一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，具體作法如下：①木條的兩端分別記為點(diǎn)M，N，先將木條的端點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，任意擺放木條后，另一個(gè)端點(diǎn)N的位置記為點(diǎn)B，連接AB；②木條的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)B處，將木條繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點(diǎn)M的落點(diǎn)記為點(diǎn)C（點(diǎn)A，B，C不在同一條直線上）；③連接CB并延長(zhǎng)，將木條沿點(diǎn)C到點(diǎn)B的方向平移，使得端點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，端點(diǎn)N在CB延長(zhǎng)線上的落點(diǎn)記為點(diǎn)D；④用另一根足夠長(zhǎng)的木條畫線，連接AD，AC，則畫出的∠DAC是直角．操作體驗(yàn)：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法．如圖2，BA＝BC．請(qǐng)畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，記作∠DAC；推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請(qǐng)你補(bǔ)全括號(hào)里的證明依據(jù)：證明：∵AB＝BC＝BD，∴△ABC與△ABD是等腰三角形．∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD．（依據(jù)1）∴∠BCA+∠BDA＝∠BAC+∠BAD＝∠DAC．∵∠DAC+∠BCA+∠BDA＝180°，（依據(jù)2）∴2∠DAC＝180°．∴∠DAC＝90°．依據(jù)1：：依據(jù)2：；拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時(shí)學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點(diǎn)O在直線l上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角，記作∠POQ，使得直角邊OP（或OQ）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）24．（6分）為落實(shí)“雙減”政策，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時(shí)代新人，某校組織調(diào)研學(xué)生體育和美育發(fā)展水平．現(xiàn)從七年級(jí)共180名學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，對(duì)每位學(xué)生的體育和美育水平進(jìn)行測(cè)評(píng)后按百分制分?jǐn)?shù)量化，并進(jìn)行等級(jí)評(píng)定（成績(jī)用x表示，分為四個(gè)等級(jí)，包括優(yōu)秀：90≤x≤100；良好：80≤x＜90；合格：70≤x＜80；待提高：x＜70）．對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：體育成績(jī)的人數(shù)（頻數(shù)）分布圖如圖．信息二：美育成績(jī)的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下．分組90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜80x＜70人數(shù)m727信息三：20位學(xué)生的體育成績(jī)和美育成績(jī)得分統(tǒng)計(jì)如下（共20個(gè)點(diǎn)）．根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）填空：m＝；（2）下列結(jié)論正確的是；（填序號(hào)）①體育成績(jī)低于80分的人數(shù)占抽取人數(shù)的40%；②參與測(cè)評(píng)的20名學(xué)生美育成績(jī)的中位數(shù)對(duì)應(yīng)的等級(jí)是“合格”；③在信息三中，相比于點(diǎn)A所代表的學(xué)生，點(diǎn)B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進(jìn)一步提升；（3）請(qǐng)結(jié)合以上信息，估計(jì)七年級(jí)全體學(xué)生中體育和美育兩項(xiàng)成績(jī)均屬于“優(yōu)秀”等級(jí)的人數(shù)．25．（6分）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置．某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下．實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中高度的變化實(shí)驗(yàn)用具擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等實(shí)驗(yàn)說(shuō)明如圖1，在支架的橫桿點(diǎn)O處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運(yùn)動(dòng)．（擺線的長(zhǎng)度變化忽略不計(jì)）如圖2，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處，BD⊥OA．∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，∠COA＝37°，CE⊥OA．（點(diǎn)O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）實(shí)驗(yàn)圖示解決問(wèn)題：根據(jù)以上信息，求ED的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1cm）參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．26．（7分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，BC＝BD，延長(zhǎng)BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．（1）求證：ED是⊙O的切線；（2）若BO＝4，，求ED的長(zhǎng)．27．（8分）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景．探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何問(wèn)題．如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N分別為AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且AN＝BM．【初步嘗試】（1）如圖1，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，小顏發(fā)現(xiàn)：將MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到MD，連接BD，則MN＝DB，請(qǐng)思考并證明；【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，將MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到MD，連接DA，DB．試猜想四邊形AFBD的形狀，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，連接BN，CM，請(qǐng)直接寫出BN+CM的最小值．28．（9分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：點(diǎn)P是圖形W外一點(diǎn)，點(diǎn)Q在PO的延長(zhǎng)線上，使得，如果點(diǎn)Q在圖形W上，則稱點(diǎn)P是圖形W的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”．例如：如圖1，A（2，4），B（2，2），是線段AB外一點(diǎn)，Q（2，3）在PO的延長(zhǎng)線上，且，因?yàn)辄c(diǎn)Q在線段AB上，所以點(diǎn)P是線段AB的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”．（1）如圖1，已知圖形W1：線段AB，A（2，4），B（2，2），在，P2（﹣1，﹣1），P3（﹣1，﹣2）中，是圖形W1的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”；（2）如圖2，已知圖形W2：線段BC，B（2，2），C（5，2），若直線MN：y＝﹣x+b上存在點(diǎn)P是圖形W2的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”，求b的最小值；（3）如圖3，已知圖形W3：以T（t，1）為圓心，半徑為1的⊙T，若以D（﹣1，﹣2），E（﹣1，1），F(xiàn)（2，1）為頂點(diǎn)的等腰直角三角形DEF上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P是圖形W3的“延長(zhǎng)2分點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．

2024年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（3分）2024的絕對(duì)值是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．【分析】依據(jù)題意，根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)行計(jì)算可以得解．【解答】解：由題意得，|2024|＝2024．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．2．（3分）若∠A＝80°，則∠A的補(bǔ)角是（）A．100° B．80° C．40° D．10°【分析】直接利用互補(bǔ)兩角的關(guān)系進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠A補(bǔ)角為：180°﹣80°＝100°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了互補(bǔ)兩角的關(guān)系，正確把握定義是解題關(guān)鍵．3．（3分）2024年一季度，蘭州市堅(jiān)持穩(wěn)中求進(jìn)、綜合施策，全市國(guó)民經(jīng)濟(jì)起步平穩(wěn)，開局良好．一季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值87790000000元，數(shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．87.79×109 B．8.779×109 C．8.779×1010 D．8.779×1011【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)，n是負(fù)整數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．【解答】解：數(shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為8.779×1010．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵．4．（3分）計(jì)算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（）A．a(chǎn) B．﹣a C．2a D．﹣2a【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式去括號(hào)，再用整式的加減法則計(jì)算即可．【解答】解：2a（a﹣1）﹣2a2＝2a2﹣2a﹣2a2＝﹣2a．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、整式的加減，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（3分）一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖象不經(jīng)過(guò)（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的a、b的符號(hào)判定該一次函數(shù)所經(jīng)過(guò)的象限即可．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝2x﹣3的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，∴一次函數(shù)y＝2x﹣3圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，即一次函數(shù)y＝2x﹣3圖象不經(jīng)過(guò)第二象限．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)的圖象，即直線y＝kx+b所在的位置與k、b的符號(hào)有直接的關(guān)系．k＞0時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)一、三象限．k＜0時(shí)，直線必經(jīng)過(guò)二、四象限．b＞0時(shí)，直線與y軸正半軸相交．b＝0時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)；b＜0時(shí)，直線與y軸負(fù)半軸相交．6．（3分）如圖，小明在地圖上量得∠1＝∠2，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據(jù)是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行 D．對(duì)頂角相等【分析】根據(jù)∠1和∠2在圖中的位置判斷這兩個(gè)角是什么角，即可從選項(xiàng)中找出小明判斷的依據(jù)．【解答】解：∵∠1和∠2是內(nèi)錯(cuò)角，∠1＝∠2，∴判斷幸福大街與平安大街互相平行的依據(jù)是：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線的判定，熟練掌握平行線的幾個(gè)判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，小張想估測(cè)被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在AB外取一點(diǎn)C，然后步測(cè)出AC，BC的中點(diǎn)D，E，并步測(cè)出DE的長(zhǎng)約為18m，由此估測(cè)A，B之間的距離約為（）A．18m B．24m C．36m D．54m【分析】依據(jù)題意，由D，E分別是邊AC，BC的中點(diǎn)，首先判定DE是三角形的中位線，然后根據(jù)三角形的中位線定理求得AB的值即可【解答】解：∵D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線．∴根據(jù)三角形的中位線定理，得：AB＝2DE＝36m．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中位線定理的運(yùn)用，解題時(shí)要能熟練掌握并能靈活運(yùn)用三角形中位線定理是關(guān)鍵．8．（3分）七巧板、九連環(huán)、華容道、魯班鎖是深受大家喜愛(ài)的益智玩具．現(xiàn)將1個(gè)七巧板，2個(gè)九連環(huán)，1個(gè)華容道，2個(gè)魯班鎖分別裝在6個(gè)不透明的盒子中（每個(gè)盒子裝1個(gè)），所有盒子除里面的玩具外均相同．從這6個(gè)盒子中隨機(jī)抽取1個(gè)盒子，抽中七巧板的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)概率公式計(jì)算即可．【解答】解：從這6個(gè)盒子中隨機(jī)抽取1個(gè)盒子，抽中七巧板的概率．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率公式以及七巧板，熟練掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵．9．（3分）關(guān)于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c＝（）A．﹣9 B．4 C．﹣1 D．1【分析】因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝b2﹣4ac＝0，建立關(guān)于c的方程，解方程即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×9×c＝0，解得：c＝1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．切記不要忽略一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零這一隱含條件．總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．10．（3分）數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國(guó)元代重要的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載著這樣一個(gè)問(wèn)題，大意是：999文錢買了甜果和苦果共1000個(gè)，11文錢可買9個(gè)甜果，4文錢可買7個(gè)苦果，問(wèn)甜果，苦果各買了多少個(gè)？設(shè)買了甜果x個(gè)，苦果y個(gè)，則可列方程組為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“999文錢買了甜果和苦果共1000個(gè)，11文錢可買9個(gè)甜果，4文錢可買7個(gè)苦果”列方程組求解．【解答】解：由題意得：，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考差了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，則∠ADB＝（）A．100° B．115° C．130° D．145°【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B＝∠C，根據(jù)∠BAC＝130°即可求出∠C的度數(shù)，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，從而求出∠ADC的度數(shù)，問(wèn)題得解．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝130°，∴∠B＝∠C＝＝25°，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，連接BD，點(diǎn)M從B出發(fā)沿BD方向以的速度運(yùn)動(dòng)至D，同時(shí)點(diǎn)N從B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至C，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），△BMN的面積為y（cm2）．y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)為（）A． B． C．4cm D．8cm【分析】根據(jù)題意可知，BN＝xcm，BM＝xcm，結(jié)合菱形的性質(zhì)得∠DBC＝30°，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H，則HM＝xcm，那么y＝x2；設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為acm，則BD＝acm，那么點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)到達(dá)點(diǎn)D和點(diǎn)C，此時(shí)△BMN的面積達(dá)到最大值4，利用最大值即可求得x，即可知菱形的邊長(zhǎng)a．【解答】解：根據(jù)題意可知，BN＝xcm，BM＝xcm，∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H，連接AC交BD于O，如圖，則MH＝BM×sin∠MBH＝x（cm），∴y＝S△BMN＝BN?MH＝x2（cm2），設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為acm，∴BD＝2BO＝2BCcos∠OBC＝2×a×＝a（cm），∴點(diǎn)M和點(diǎn)N同時(shí)到達(dá)點(diǎn)D和點(diǎn)C，此時(shí)△BMN的面積達(dá)到最大值4，∴x2＝4，解得x＝4（負(fù)值舍去），∴BC＝4，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)圖象得出△BMN的面積達(dá)到最大值4時(shí)，M，N的位置．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）因式分解：a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．【分析】本題直接利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【解答】解：a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故答案為：（a﹣1）2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．14．（3分）如圖，四邊形ABCD為正方形．△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點(diǎn)F，若AD＝4，則EF＝2．【分析】由等邊三角形得出AE＝AD＝4，再利用Rt△AEF即可求解．【解答】解：∵△ADE是等邊三角形，∴AE＝AD＝4，∠DAE＝90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAF＝30°，∴EF＝AE＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含有30°的直角三角形等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．（3分）“輪動(dòng)發(fā)石車”是我國(guó)古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型．圖2是模型驅(qū)動(dòng)部分的示意圖，其中⊙M，⊙N的半徑分別是1cm和10cm，當(dāng)⊙M順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周時(shí)，⊙N上的點(diǎn)P隨之旋轉(zhuǎn)n°，則n＝108．【分析】利用弧長(zhǎng)公式根據(jù)點(diǎn)P移動(dòng)的弧長(zhǎng)＝3個(gè)⊙M周長(zhǎng)，列出關(guān)于n的方程，解方程即可．【解答】解：∵⊙M的周長(zhǎng)為2πcm，∴⊙M順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周時(shí)，點(diǎn)P移動(dòng)的弧長(zhǎng)為6πcm，∴6π＝，解得n＝108，故答案為：108．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，掌握弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．16．（3分）甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次．兩人的成績(jī)（單位：環(huán)）如圖所示．現(xiàn)有以下三個(gè)推斷：①甲的成績(jī)更穩(wěn)定；②乙的平均成績(jī)更高；③每人再射擊一次，乙的成績(jī)一定比甲高．其中正確的是①②.（填序號(hào)）【分析】①根據(jù)方差的意義判斷即可；②根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的定義判斷即可；③根據(jù)隨機(jī)事件的意義判斷即可．【解答】解：由折線統(tǒng)計(jì)圖可知，甲的成績(jī)?cè)?和5之間波動(dòng)，乙的成績(jī)?cè)?和9之間波動(dòng)，所以甲的成績(jī)更穩(wěn)定，故①結(jié)論正確；乙的10次成績(jī)中有9次成績(jī)大于甲，其中一次相同，可推知②正確；每人再射擊一次，乙的成績(jī)不一定比甲高，故③的結(jié)論錯(cuò)誤．故答案為：①②．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了方差和折線統(tǒng)計(jì)圖，掌握方差的意義是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共12小題，共72分．解答時(shí)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．（4分）計(jì)算：﹣×．【分析】先化簡(jiǎn)二次根式，再按照實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：﹣×＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．18．（4分）解不等式組：．【分析】先求出不等式組中每一個(gè)不等式的解集，再求出它們的公共部分，得出解集．【解答】解：，由①得：x＞﹣6，由②得：x＜1，∴﹣6＜x＜1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每一個(gè)不等式的解集，再求出公共部分是解題的關(guān)鍵．19．（4分）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中a＝4．【分析】利用分式的混合運(yùn)算的法則化簡(jiǎn)后，將a＝4代入運(yùn)算即可．【解答】解：原式＝÷＝÷＝＝，當(dāng)a＝4時(shí)，原式＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握分式混合運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．20．（6分）如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝mx+1的圖象交于點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)B是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，BC⊥x軸于點(diǎn)C，交一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D，連接AB．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝mx+1的表達(dá)式；（2）當(dāng)OC＝4時(shí)，求△ABD的面積．【分析】（1）分別將點(diǎn)A坐標(biāo)代入兩個(gè)函數(shù)解析式求出m、k值即可得到兩個(gè)函數(shù)解析式；（2）將x＝4分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式得到點(diǎn)B、D的坐標(biāo)求出BD長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝mx+1的圖象交于點(diǎn)A（2，3），∴k＝2×3＝6，3＝2m+1，解得：k＝6，m＝1，∴一次函數(shù)解析式為：y＝x+1，反比例函數(shù)解析式為y＝；（2）將x＝4代入一次函數(shù)得y＝5，∴D（4，5），將x＝4代入反比例函數(shù)得y＝，∴B（4，），∴BD＝5﹣＝，∴S△ABD＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)解析式是關(guān)鍵．21．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，由CE∥AD得∠ECD＝∠ADB＝90°，由AE⊥AD得∠EAD＝90°，則∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，由此即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得BD＝CD＝BC＝2，根據(jù)四邊形ADCE是矩形，則AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，進(jìn)而可在Rt△AEC中求出AC＝，然后根據(jù)三角形的面積公式可求出EF的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，∴四邊形ADCE是矩形；（2）解：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，BC＝4，∴BD＝CD＝BC＝2，由（1）可知：四邊形ADCE是矩形，∵AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3，由勾股定理得：AC＝＝，∴EF⊥AC，由三角形的面積公式得：S△AEC＝AC?EF＝AE?CE，∴EF＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理及三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．（6分）在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進(jìn)行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號(hào)水火箭的實(shí)物圖，水火箭發(fā)射后的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關(guān)性能，同學(xué)們進(jìn)一步展開研究．如圖2建立直角坐標(biāo)系．水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號(hào)水火箭與地面成一定角度時(shí)，從發(fā)射到著陸過(guò)程中，水火箭距離地面OA的豎直高度y（m）與離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離x（m）的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：水平距離x（m）0341015202227豎直高度y（m）03.244.168987.043.24（1）根據(jù)如表，請(qǐng)確定拋物線的表達(dá)式；（2）請(qǐng)計(jì)算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點(diǎn)O的水平距離為5m時(shí)，水火箭距離地面的豎直高度．【分析】（1）依據(jù)題意可得，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝＝15，故拋物線的頂點(diǎn)為（15，9），從而可設(shè)拋物線為y＝a（x﹣15）2+9，又拋物線過(guò)（10，8），求出a即可得解；（2）依據(jù)題意，結(jié)合（1）y＝﹣（x﹣15）2+9，令x＝5，則y＝﹣（5﹣15）2+9＝5，計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）由題意可得，拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝＝15，∴拋物線的頂點(diǎn)為（15，9）．∴可設(shè)拋物線為y＝a（x﹣15）2+9．又拋物線過(guò)（10，8），∴25a＝﹣1．∴a＝﹣．∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣15）2+9．（2）由題意，結(jié)合（1）y＝﹣（x﹣15）2+9，∴令x＝5，則y＝﹣（5﹣15）2+9＝5．∴水火箭距離地面的豎直高度為5m．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．23．（6分）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動(dòng)人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡(jiǎn)單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”．如圖1，他用木條能快速畫出一個(gè)以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，具體作法如下：①木條的兩端分別記為點(diǎn)M，N，先將木條的端點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，任意擺放木條后，另一個(gè)端點(diǎn)N的位置記為點(diǎn)B，連接AB；②木條的端點(diǎn)N固定在點(diǎn)B處，將木條繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點(diǎn)M的落點(diǎn)記為點(diǎn)C（點(diǎn)A，B，C不在同一條直線上）；③連接CB并延長(zhǎng)，將木條沿點(diǎn)C到點(diǎn)B的方向平移，使得端點(diǎn)M與點(diǎn)B重合，端點(diǎn)N在CB延長(zhǎng)線上的落點(diǎn)記為點(diǎn)D；④用另一根足夠長(zhǎng)的木條畫線，連接AD，AC，則畫出的∠DAC是直角．操作體驗(yàn)：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法．如圖2，BA＝BC．請(qǐng)畫出以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的直角，記作∠DAC；推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請(qǐng)你補(bǔ)全括號(hào)里的證明依據(jù)：證明：∵AB＝BC＝BD，∴△ABC與△ABD是等腰三角形．∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD．（依據(jù)1）∴∠BCA+∠BDA＝∠BAC+∠BAD＝∠DAC．∵∠DAC+∠BCA+∠BDA＝180°，（依據(jù)2）∴2∠DAC＝180°．∴∠DAC＝90°．依據(jù)1：等邊對(duì)等角（等腰三角形的性質(zhì)）：依據(jù)2：三角形內(nèi)角和定理；拓展探究：（3）小亮進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時(shí)學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點(diǎn)O在直線l上，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)的直角，記作∠POQ，使得直角邊OP（或OQ）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，且DB＝CB，連接CA，AD即可知以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的∠DAC為直角；（2）根據(jù)作圖可知利用了等邊對(duì)等角，以及三角形內(nèi)角和定理；（3）根據(jù)過(guò)定點(diǎn)作已知直線的垂線的方法作圖即可．【解答】解：（1）；（2）依據(jù)1：等邊對(duì)等角（等腰三角形的性質(zhì)）；依據(jù)2：三角形內(nèi)角和定理；故答案為：等邊對(duì)等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理；（3）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及尺規(guī)作圖的作垂線操作體驗(yàn)．24．（6分）為落實(shí)“雙減”政策，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時(shí)代新人，某校組織調(diào)研學(xué)生體育和美育發(fā)展水平．現(xiàn)從七年級(jí)共180名學(xué)生中隨機(jī)抽取20名學(xué)生，對(duì)每位學(xué)生的體育和美育水平進(jìn)行測(cè)評(píng)后按百分制分?jǐn)?shù)量化，并進(jìn)行等級(jí)評(píng)定（成績(jī)用x表示，分為四個(gè)等級(jí)，包括優(yōu)秀：90≤x≤100；良好：80≤x＜90；合格：70≤x＜80；待提高：x＜70）．對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：體育成績(jī)的人數(shù)（頻數(shù)）分布圖如圖．信息二：美育成績(jī)的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下．分組90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜80x＜70人數(shù)m727信息三：20位學(xué)生的體育成績(jī)和美育成績(jī)得分統(tǒng)計(jì)如下（共20個(gè)點(diǎn)）．根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）填空：m＝4；（2）下列結(jié)論正確的是①③；（填序號(hào)）①體育成績(jī)低于80分的人數(shù)占抽取人數(shù)的40%；②參與測(cè)評(píng)的20名學(xué)生美育成績(jī)的中位數(shù)對(duì)應(yīng)的等級(jí)是“合格”；③在信息三中，相比于點(diǎn)A所代表的學(xué)生，點(diǎn)B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進(jìn)一步提升；（3）請(qǐng)結(jié)合以上信息，估計(jì)七年級(jí)全體學(xué)生中體育和美育兩項(xiàng)成績(jī)均屬于“優(yōu)秀”等級(jí)的人數(shù)．【分析】（1）用樣本總體減去良好、合格、待提高成績(jī)的人數(shù)即可得出答案；（2）①用體育成績(jī)低于80分的人數(shù)8除以樣本總體20即可得出判斷；②用中位數(shù)的定義判斷即可；③根據(jù)坐標(biāo)得出點(diǎn)A和點(diǎn)B各自的美育和體育的成績(jī)判斷即可；（3）用樣本估計(jì)總體即可．【解答】解：（1）m＝20﹣7﹣2﹣7＝4，故答案為：4，（2）①根據(jù)20位學(xué)生的體育成績(jī)得分統(tǒng)計(jì)圖可知：體育成績(jī)低于80分的人數(shù)有8人，因此體育成績(jī)低于80分的人數(shù)有占抽取人數(shù)的（8÷20）×100%＝40%，故①正確；②根據(jù)20位學(xué)生的美育成績(jī)得分統(tǒng)計(jì)圖可知一共有20人，成績(jī)從小到大排序，中位數(shù)為第10位和第11位的平均數(shù)，因此中位數(shù)位于80≤x＜90之間，即參與測(cè)評(píng)的20名學(xué)生美育成績(jī)的中位數(shù)對(duì)應(yīng)的等級(jí)是“良好”，故②錯(cuò)誤；③在信息三中，點(diǎn)A的美育成績(jī)?yōu)?0，體育成績(jī)?yōu)?0，點(diǎn)B的美育成績(jī)?yōu)?0，體育成績(jī)?yōu)?0，所以相比于點(diǎn)A所代表的學(xué)生，點(diǎn)B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進(jìn)一步提升，故③正確；故答案為：①③；（3）根據(jù)信息三，可知：美育和體育成績(jī)都在90分以及以上的只有2人，故七年級(jí)全體學(xué)生中體育和美育兩項(xiàng)成績(jī)均屬于“優(yōu)秀”等級(jí)的人數(shù)有180×＝18（人）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻數(shù)分布圖和分布表，個(gè)體占比，中位數(shù)的意義，用樣本估計(jì)總體等知識(shí)，能從圖表中獲取有用信息進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．25．（6分）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動(dòng)的裝置．某興趣小組利用擺球和擺線進(jìn)行與單擺相關(guān)的實(shí)驗(yàn)探究，并撰寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告如下．實(shí)驗(yàn)主題探究擺球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中高度的變化實(shí)驗(yàn)用具擺球，擺線，支架，攝像機(jī)等實(shí)驗(yàn)說(shuō)明如圖1，在支架的橫桿點(diǎn)O處用擺線懸掛一個(gè)擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運(yùn)動(dòng)．（擺線的長(zhǎng)度變化忽略不計(jì)）如圖2，擺球靜止時(shí)的位置為點(diǎn)A，拉緊擺線將擺球拉至點(diǎn)B處，BD⊥OA．∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；當(dāng)擺球運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C時(shí)，∠COA＝37°，CE⊥OA．（點(diǎn)O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）實(shí)驗(yàn)圖示解決問(wèn)題：根據(jù)以上信息，求ED的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到0.1cm）參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．【分析】在Rt△BOD中，根據(jù)BD的長(zhǎng)，由tan∠BOA，求出OD的長(zhǎng)，由sin∠BOA，求出OB的長(zhǎng)，在Rt△COE中，根據(jù)OB＝OC，利用cos∠COE，求出OE的長(zhǎng)，由OE﹣OD求出ED的長(zhǎng)即可．【解答】解：在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm，∴tan∠BOA＝，sin∠BOA＝，∵2.05≈，0.90≈，∴OD≈10（cm），OB≈22.78（cm），在Rt△COE中，OC＝OB＝22.78cm，∠COA＝37°，∴cos∠COA＝，即cos37°≈，整理得：OE≈22.78×0.80≈18.224（cm），則ED＝OE﹣OD≈8.2（cm）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．26．（7分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，BC＝BD，延長(zhǎng)BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．（1）求證：ED是⊙O的切線；（2）若BO＝4，，求ED的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，則OD＝OB，進(jìn)而得∠DBA＝∠BDO證明Rt△BCD和Rt△BDA全等得∠CBA＝∠DBA，根據(jù)∠ADE＝∠CBA，得∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，再根據(jù)∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°得∠ADE+∠ADO＝90°，即ED⊥OD，據(jù)此可得出結(jié)論；（2）根據(jù)BO＝4得AB＝2OB＝8，則EB＝AE+8，根據(jù)∠CBA＝∠DBA得tan∠DBA＝，則tan∠DBA＝AD/BD＝，設(shè)AD＝a，BD＝2a，證明△EAD∽△EDB得ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，即ED：（AE+8）＝AE：ED＝a：2a，由AE：ED＝a：2a，得AE＝ED，由ED：（AE+8）＝a：2a，得2ED＝AE+8，則2ED＝ED+8，據(jù)此可得ED的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示：∵AB為⊙O的直徑，∴∠BCA＝∠BDA＝90°，OB＝OD，∴∠DBA＝∠BDO，在Rt△BCA和Rt△BDA中，，∴Rt△BCA≌Rt△BDA（HL），∴∠CBA＝∠DBA，∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO，∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，∵∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°，∴∠ADE+∠ADO＝90°，即ED⊥OD，∵OD為⊙O的半徑，∴ED是⊙O的切線；（2）解：∵BO＝4，∴AB＝2OB＝8，∴EB＝AE+AB＝AE+8，∵tan∠CBA＝，∠CBA＝∠DBA，∴tan∠DBA＝，在Rt△ABD中，tan∠DBA＝，∴設(shè)AD＝a，BD＝2a，∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，∴△EAD∽△EDB，∴ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，即ED：（AE+8）＝AE：ED＝a：2a，由AE：ED＝a：2a，得：AE＝ED，由ED：（AE+8）＝a：2a，得：2ED＝AE+8，∴2ED＝ED+8，∵ED＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)進(jìn)行計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．27．（8分）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景．探究動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何問(wèn)題．如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N分別為AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且AN＝BM．【初步嘗試】（1）如圖1，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，小顏發(fā)現(xiàn)：將MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到MD，連接BD，則MN＝DB，請(qǐng)思考并證明；【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M(jìn)一步探究：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，將MA繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到MD，連接DA，DB．試猜想四邊形AFBD的形狀，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，連接BN，CM，請(qǐng)直接寫出BN+CM的最小值．【分析】（1）證明△ANM≌△MBD（SAS），得到MN＝DB；（2）證明AD∥BF，DB∥AF，得出四邊形AFBD為平行四邊形；（3）過(guò)點(diǎn)A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，連接GM、GC，BG，延長(zhǎng)CB，過(guò)點(diǎn)G作GO⊥CB于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)G、M、C三點(diǎn)共線時(shí)，BN+CM的值最小，最小值為CG的值，在Rt△GOC中，，得出BN+CM的最小值為．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC，∵M(jìn)A繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到MD，∴DM＝AM，∠AMD＝120°，∴∠DMB＝60°，∵AN＝BM，∠DMB＝∠A＝60°，∴△ANM≌△MBD（SAS），∴MN＝DB；（2）解：四邊形AFBD為平行四邊形，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵M(jìn)A繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到MD，∴MA＝MD，∠MAD＝∠MDA＝45°，∠DMA＝∠DMB＝90°，∴∠MAD＝∠ABF＝45°，則AD∥BF，在△ANM和△MBD中，，∴△ANM≌△MBD（SAS），∴∠AMN＝∠MDB，∵AE⊥MN，∴∠AMN+∠MAE＝90°，∵∠MDB+∠MBD＝90°，∴∠DBM＝∠MAF，∴DB∥AF，∴四邊形AFBD為平行四邊形；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，連接GM、GC，BG，延長(zhǎng)CB，過(guò)點(diǎn)G作GO⊥CB于點(diǎn)O，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠AC